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 #1 - 11-11-2011 17:01:02

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

un polynôme inique !

Prouver que, pour tout entier [latex]n[/latex], il existe un unique polynôme [latex]Q[/latex] à coefficients dans      {[latex]0, 1, ..., 9[/latex]} tel que [latex]Q(-2)=Q(-5)=n[/latex] .

Bonne chance smile



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 #2 - 11-11-2011 17:24:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,568E+3

un polynôme uniquz !

Je ne comprends pas l'énoncé...

Pour n=0 , tous les polynomes de la forme (x+2)(x+5)(x+k)(x+k').... marchent non ?
Ca fait plein de polynomes pour lesquels Q(-2) = Q(-5) = n =0

Edit : 2x5 = 10 donc pas valable...

Mais un contre-exemple quand même :

2 polynomes au moins  donnent Q(-2) = Q(-5) = n

x^3 + 6x^2 +3x +n -10

x^2 + 7x +n +10

Re Edit: n-10 ne peut pas être toujours entre 0 et 9, j'ai encore dit une idiotie...

 #3 - 11-11-2011 22:03:43

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 28
Lieu: Université Paul Verlaine

Un polynôme unique

J'ai essayé par la méthode d'interpolation de Lagrange.
Je précise immédiatement que je n'ai jamais utilisé cette méthode et que je n'ai jamais eu de cours à ce sujet (hormis que je savais déjà que c'est une méthode de recherche de polynômes quand on à n+1 points).

Notons l'ensemble de nos points d'interpolations [latex](x_i,y_i)[/latex] : [latex]{(-2,n)(-5,n)}[/latex] avec n un entier naturel. Notons [latex]f[/latex], une fonction tel que [latex]f(-2)=n[/latex] et [latex]f(-5)=n[/latex]

La méthode d'interpolation de Lagrange nous assure l'unicité d'un polynôme de degrés 2-1=1 de la forme
[TeX]P_1(x)=\sum^1_{i=0}l_k(x)f(x_k)[/TeX]
où [latex]l_k(x)=\prod^1_{{i=0}_{i\neq k}}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}[/latex]

En suivant la formule des [latex]l_k[/latex], on obtient
[TeX]
l_0(x)=\frac{x+2}{3}[/latex] et [latex]l_1(x)=\frac{x+5}{-3}[/TeX]
En conclusion on a
[TeX]P_1(x)=n\times\frac{x+2}{3}+n\times\frac{x+5}{-3}=n[/TeX]


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #4 - 12-11-2011 23:51:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Un plynôme unique !

J'ai trouvé l'existence pour n=0 à 20 ( après ou avant je n'ai plus le courage ) on sent bien que le -2 et le -5 en base (-2)*(-5) jouent un rôle , mais les histoires de polynômes sont souvent astucieuses .

On n'a pas le droit à un petit indice ?

Vasimolo

 #5 - 13-11-2011 01:12:58

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

un polynômr unique !

Indices :

Prouvez que :
Q(x) = (x+2)(x+5).R(x) + n  avec R un polynôme à coefficients entiers.
Montrer que les coefficients de R sont uniques ! Conclure smile


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 #6 - 13-11-2011 10:57:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Un oplynôme unique !

C'est vrai que vu comme ça c'est plus simple smile

Pour l'unicité :

On cherche un polynôme Q à coefficients entiers et avec Q(-2)=Q(-5)=n , c'est à dire Q(X)-n=(X+2)(X+5)R(X) . Comme (X+1)(X+5) est unitaire R est à coefficients  entiers il est de la forme :[latex]R(X)=\sum_{i=0}^{\infty}a_iX^i[/latex] les coefficients étant nuls à partir d'un certain rang . On développe Q :
[TeX]Q(X)=(10a_0+n)+(7a_0+10a_1)X+(10a_2+7_a_1+a_0)X^2+...+(10a_p+7_{ap-1}+a_{p-2})X^p+...[/TeX]
Et on voit que les [latex]a_i[/latex] se calculent de proche en proche avec [latex]a_0=\lceil-\frac n{10}\rceil[/latex] , [latex]a_1=\lceil-\frac{7a_0}{10}\rceil[/latex] , [latex]a_2=\lceil-\frac{7a_1+a_0}{10}\rceil[/latex] , ... ,  [latex]a_p=\lceil-\frac{7a_{p-1}+a_{p-2}}{10}\rceil[/latex] , ...

Il reste à montrer l'existence de R c'est à dire à prouver que les coefficients finissent bien par être tous nuls .

Ca ne doit pas être trop difficile  (on a déjà une décroissance large sur les valeurs absolus des coefficients ) mais là je n'ai pas le temps smile

En tout cas c'est un magnifique problème !!!

Vasimolo

 #7 - 13-11-2011 11:59:31

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un polynôme unique

Bravo à Vasimolo qui est tout près smile


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 #8 - 14-11-2011 08:11:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

ub polynôme unique !

Bon en fait c'est assez simple mais un peu long à écrire smile

En valeur absolue les [latex]|a_k|[/latex] sont décroissants et même strictement si [latex]a_k[/latex] est positif et comme [latex]|a_k|=|a_{k+1}|[/latex] entraîne que [latex]a_k[/latex] et [latex]a_{k+1}[/latex] sont de signes contraires on a fini .

Vasimolo

 #9 - 15-11-2011 02:34:24

Azdod
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Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un poynôme unique !

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