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 #1 - 11-11-2011 17:01:02

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

un oolynôme unique !

Prouver que, pour tout entier [latex]n[/latex], il existe un unique polynôme [latex]Q[/latex] à coefficients dans      {[latex]0, 1, ..., 9[/latex]} tel que [latex]Q(-2)=Q(-5)=n[/latex] .

Bonne chance smile



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 #2 - 11-11-2011 17:24:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Un polynôem unique !

Je ne comprends pas l'énoncé...

Pour n=0 , tous les polynomes de la forme (x+2)(x+5)(x+k)(x+k').... marchent non ?
Ca fait plein de polynomes pour lesquels Q(-2) = Q(-5) = n =0

Edit : 2x5 = 10 donc pas valable...

Mais un contre-exemple quand même :

2 polynomes au moins  donnent Q(-2) = Q(-5) = n

x^3 + 6x^2 +3x +n -10

x^2 + 7x +n +10

Re Edit: n-10 ne peut pas être toujours entre 0 et 9, j'ai encore dit une idiotie...

 #3 - 11-11-2011 22:03:43

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 28
Lieu: Université Paul Verlaine

Un polynôme nique !

J'ai essayé par la méthode d'interpolation de Lagrange.
Je précise immédiatement que je n'ai jamais utilisé cette méthode et que je n'ai jamais eu de cours à ce sujet (hormis que je savais déjà que c'est une méthode de recherche de polynômes quand on à n+1 points).

Notons l'ensemble de nos points d'interpolations [latex](x_i,y_i)[/latex] : [latex]{(-2,n)(-5,n)}[/latex] avec n un entier naturel. Notons [latex]f[/latex], une fonction tel que [latex]f(-2)=n[/latex] et [latex]f(-5)=n[/latex]

La méthode d'interpolation de Lagrange nous assure l'unicité d'un polynôme de degrés 2-1=1 de la forme
[TeX]P_1(x)=\sum^1_{i=0}l_k(x)f(x_k)[/TeX]
où [latex]l_k(x)=\prod^1_{{i=0}_{i\neq k}}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}[/latex]

En suivant la formule des [latex]l_k[/latex], on obtient
[TeX]
l_0(x)=\frac{x+2}{3}[/latex] et [latex]l_1(x)=\frac{x+5}{-3}[/TeX]
En conclusion on a
[TeX]P_1(x)=n\times\frac{x+2}{3}+n\times\frac{x+5}{-3}=n[/TeX]


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #4 - 12-11-2011 23:51:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Un polynôm unique !

J'ai trouvé l'existence pour n=0 à 20 ( après ou avant je n'ai plus le courage ) on sent bien que le -2 et le -5 en base (-2)*(-5) jouent un rôle , mais les histoires de polynômes sont souvent astucieuses .

On n'a pas le droit à un petit indice ?

Vasimolo

 #5 - 13-11-2011 01:12:58

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

un polynôme unoque !

Indices :

Prouvez que :
Q(x) = (x+2)(x+5).R(x) + n  avec R un polynôme à coefficients entiers.
Montrer que les coefficients de R sont uniques ! Conclure smile


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 #6 - 13-11-2011 10:57:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Un polynôem unique !

C'est vrai que vu comme ça c'est plus simple smile

Pour l'unicité :

On cherche un polynôme Q à coefficients entiers et avec Q(-2)=Q(-5)=n , c'est à dire Q(X)-n=(X+2)(X+5)R(X) . Comme (X+1)(X+5) est unitaire R est à coefficients  entiers il est de la forme :[latex]R(X)=\sum_{i=0}^{\infty}a_iX^i[/latex] les coefficients étant nuls à partir d'un certain rang . On développe Q :
[TeX]Q(X)=(10a_0+n)+(7a_0+10a_1)X+(10a_2+7_a_1+a_0)X^2+...+(10a_p+7_{ap-1}+a_{p-2})X^p+...[/TeX]
Et on voit que les [latex]a_i[/latex] se calculent de proche en proche avec [latex]a_0=\lceil-\frac n{10}\rceil[/latex] , [latex]a_1=\lceil-\frac{7a_0}{10}\rceil[/latex] , [latex]a_2=\lceil-\frac{7a_1+a_0}{10}\rceil[/latex] , ... ,  [latex]a_p=\lceil-\frac{7a_{p-1}+a_{p-2}}{10}\rceil[/latex] , ...

Il reste à montrer l'existence de R c'est à dire à prouver que les coefficients finissent bien par être tous nuls .

Ca ne doit pas être trop difficile  (on a déjà une décroissance large sur les valeurs absolus des coefficients ) mais là je n'ai pas le temps smile

En tout cas c'est un magnifique problème !!!

Vasimolo

 #7 - 13-11-2011 11:59:31

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un polynôme uunique !

Bravo à Vasimolo qui est tout près smile


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 #8 - 14-11-2011 08:11:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

n polynôme unique !

Bon en fait c'est assez simple mais un peu long à écrire smile

En valeur absolue les [latex]|a_k|[/latex] sont décroissants et même strictement si [latex]a_k[/latex] est positif et comme [latex]|a_k|=|a_{k+1}|[/latex] entraîne que [latex]a_k[/latex] et [latex]a_{k+1}[/latex] sont de signes contraires on a fini .

Vasimolo

 #9 - 15-11-2011 02:34:24

Azdod
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Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un polynômme unique !

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