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 #1 - 01-11-2015 11:51:09

nodgim
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Enigmes résolues : 0
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Suite de nombes à destin incertain...

Bonjour à tous,
Cette suite crée un nombre en remplaçant le nombre précédent par la somme des couples de chiffres voisins pris dans l'ordre de lecture.
Par exemple 1385 devient (1+3)(3+8)(8+5)=41113. On arrête si on tombe sur un nombre compris entre 1 et 9.

1) Existe t'il une suite périodique ?

2) Quel est le plus grand nombre qui donnera une suite finie ?

3) Quelle somme de chiffres minimale doit comporter un nombre pour obtenir une suite infinie non périodique ?

4) Quel est le plus petit nombre qui engendre une suite infinie non périodique ?

Bon amusement.



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 #2 - 01-11-2015 12:20:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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quite de nombres à destin incertain...

1 ) Oui. 999 1818 999 ....
2 ) aucun vu que toute puissance de 10 engendre une suite finie.
3 ) je tente 10 avec  23140
4 ) je dirais 999

 #3 - 01-11-2015 12:40:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite de nombres à destin incertai...

Gwen, 1) et 2) OK, mais il y a mieux pour 3) et 4).
Et pour 1), il existe au moins une autre solution.

 #4 - 01-11-2015 16:59:26

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Suite de nomres à destin incertain...

Effectivement, tous les nombres des 991 à 999 marchent.

Et 6 avec 120210 ... 32231 ... 5454 ... 999

 #5 - 01-11-2015 19:30:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Suite ed nombres à destin incertain...

Gwen, on peut faire mieux pour 3) et 4).

 #6 - 01-11-2015 21:15:05

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Suite de nombres à desitn incertain...

Bonsoir,

nodgim #1 a écrit:

On arrête si on tombe sur un chiffre unique.

Est-ce que ça veut dire que le nombre est composé d'un nombre impair de chiffres, ou d'un seul chiffre ?
Dans le second cas, quel est le successeur de 41113 ?

 #7 - 01-11-2015 22:43:05

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Suitee de nombres à destin incertain...

1) Existe t'il une suite périodique ?
Oui, par exemple : 999 -->1818--->999
                            998--->1817---->998
                               .... ..... ...
                            991--->1810 ---->991

2) Quel est le plus grand nombre qui donnera une suite finie ?
Il n'y en a pas car pour tout k
10^k--->10^(k-1) --- 10^(k-2) --->1

3) Quelle somme de chiffres minimale doit comporter un nombre pour obtenir une suite infinie ?
a) Tout nombre de 2 chiffres donne une suite finie
AB--->(A+B) (qui est donc inférieur à 18) ---> "un nombre à un chiffre"

b) Tout nombre de 3 chiffres donne une suite finie ou périodique
ABC---> (A+B)(B+C)=  {1X1Y avec X<9et Y<9 }  OU un nombres de 3 chiffres au plus
        ----> (1+X)(1+X)(1+Y) qui est donc un nombre de 3 chiffres
En partant d'un nombre de 3 chiffres, on a donc une suite finie ou périodique (application évidente du principe des tiroirs)

Avec les exemple précédents (100 et 999) on voit que les 2 cas sont possibles

c ) divergence pour un nombre de 4 chiffres
9....9 (n fois) ---->(18)(18)...(18) (n-1 fois) ---->9...9 (2n-3 fois) donc pour n>=4, 9..9 (n fois), la suite a un nombre de chiffres divergent et est donc infinie

4) Quel est le plus petit nombre qui engendre une suite infinie ?
On cherche donc un nombre de 4 chiffres

Une intuition : 991 semble être le plus petit nombre cyclique (à démontrer) : 1991 pourrait bien être le plus petit nombre divergent

La suite présente alternativement un final 991 ou 1810 précédés de préfixes composés d'un nombre croissants de chiffres.

La démonstration par récurrence rigoureuse nécessite une étude conjointe des propriétés exactes des préfixes et du soin en particulier dans l'étude du nombre de chiffres de f(X991) en utilisant le fait que quand le dernier chiffre de X est non nul on gagne un chiffre pas évident dans le passage


Suis je sur la bonne piste pour me motiver a écrire tout ça proprement ?

 #8 - 02-11-2015 08:11:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite de nombres à destin inxertain...

@ Enigmatus, j'ai rectifié l'énoncé pour éviter l'ambiguïté.
41113
5224
746
1110
221
43
7
fin.

@Portugal

Pour le 1):
C'est OK, tu as trouvé des suites périodiques que je n'avais pas vues.

Pour le 2)
OK

Pour le 3)
La question porte sur la somme des chiffres du nombre, pas sur son nombre de chiffres.   

Pour le 4)
il y a mieux.

La théorie de cet algorithme est compliquée (par exemple, peut on deviner pour un nombre n s'il va donner une suite finie ou infinie ?) et toutes les idées  sont bonnes à prendre.

 #9 - 02-11-2015 09:48:56

enigmatus
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Suite de nomres à destin incertain...

1) Le plus petit nombre qui donne une suite périodique : 991
2) Tout nombre de la forme [latex]10^n[/latex] donnera une suite finie, mais il y en a d'autres (par exemple [latex]10^n+1[/latex])
4) 991 : la suite étant périodique, elle est infinie

 #10 - 02-11-2015 10:39:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Suite de nombres à destin incertaiin...

@Enigmatus et @tous,

Pour le 3) et 4),  la question porte sur le plus petit nombre qui donne une suite infinie non périodique, c'est à dire divergente. En gros, il y a des suites qui convergent, des suites périodiques et des suites divergentes.

Sinon, Enigmatus, pour le reste c'est OK.

 #11 - 02-11-2015 11:26:31

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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suite de nombres à destin incertzin...

4) Le plus petit nombre pour lequel la suite semble diverger est 1496

 #12 - 02-11-2015 12:26:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite de nombrzs à destin incertain...

Bravo Enigmatus, tu as trouvé plus petit que le mien !

 #13 - 02-11-2015 13:00:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Suite de nombers à destin incertain...

@Enigmatus,
Il est possible de prouver que la suite issue de ton nombre record est divergente. Ce n'est pas très compliqué en fait.

 #14 - 02-11-2015 13:08:17

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Suite de nombres à desti nincertain...

Ah oui. À la 7ème itération, on obtient 18169. À partir de là, on a une succession de nombres commençant alternativement par 997 et 1816.

 #15 - 02-11-2015 15:56:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite de nombreq à destin incertain...

C'est exact, mais c'est insuffisant pour démontrer la divergence.

 #16 - 02-11-2015 17:42:45

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Suite de nombres à destin incertain....

Exact. Ça ne démontre que le fait qu'on ne puisse finir avec un seul chiffre.

 #17 - 02-11-2015 18:25:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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suite de nombres à destin inxertain...

Oui, tu as démontré que la suite était soit divergente soit périodique. Il manque un petit quelque chose pour conclure que c'est divergent.

 #18 - 03-11-2015 18:33:54

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 681

Suit de nombres à destin incertain...

1) Existe t'il une suite périodique ?
Le plus petit nombre donnant une suite périodique est 991.
Il donne la suite périodique
[TeX][991, 1810, 991,...][/TeX]
Elle est périodique de période 2.

Le plus petit nombre donnant une suite périodique à partir d'un certain rang est 1082.
Il donne la suite
[TeX][1082, 1810, 991, 1810,...][/TeX]
A partir de 1810 on retombe sur la suite précédente.

2) Quel est le plus grand nombre qui donnera une suite finie ?
Il n'y a pas de plus grand nombre donnant une suite finie.
En effet pour tout entier r>=0, on a la suite finie
[TeX][10^r,  10^{r-1}, ..., 1000, 100, 10, 1][/TeX]
3) Quelle somme de chiffres minimale doit comporter un nombre pour obtenir une suite infinie non périodique ?
L'entier [latex]100100000[/latex] donne une suite non périodique à partir d'un certain rang.
La somme de chiffres minimale est donc égale exactement à [latex]2[/latex].

Preuve. En effet si u_1=100100000, on a u_{18}=13171412121211
Et si on se restreint à la fin 12121211 de u_{18}, on part de 12121211 .
Or soit un nombre v_1 de 2r chiffres formé d'entiers 12 consécutifs et terminé par 11,
son suivant v_2 est formé de 2r-2 chiffres 3 suivi de 2, en tout 2r-1 chiffres ;
donc v_3 est formé de 2r-3 chiffres 6 suivi de 5, en tout 2r-2 chiffres ;
donc v_4 est formé de 2(2r-4) entiers 12 suivi de 11, en tout 2(2r-3) chiffres .
Par suite si r<2r-3, c-à-d si r>3, la suite commençant à v_1 est infinie non périodique à partir d'un certain rang.
cqfd

4) Quel est le plus petit nombre qui engendre une suite infinie non périodique ?
Je montre d'abord l'existence de suites non périodiques à partir d'un certain rang.
Considérons un entier [latex]u_1[/latex] de longueur k formé de k chiffres 9.
Le suivant [latex]u_2[/latex] sera formé de k-1 entiers 18 mis bout à bout, donc aura 2k-2 chiffres.
Le suivant [latex]u_3[/latex] sera donc formé de 2k-3 chiffres 9 mis bout à bout.
Or on a k<2k-3 si k>3. Par suite si [latex]k\geq 4[/latex], le nombre de 9 dans [latex]u_{2r+1}[/latex] augmente strictement.
Donc si [latex]k\geq 4[/latex] on obtient une suite infinie non périodique à partir d'un certain rang
[TeX][9999, 181818, 99999, 18181818, 9999999, 181818181818, 99999999999,...][/TeX]
La suite commençant à 1496 est peut-être infinie et non périodique à partir d'un certain rang. Encore faudrait-il le démontrer...
Et alors (facile à vérifier) 1496 serait le plus petit nombre ayant cette propriété.

 #19 - 03-11-2015 19:28:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Suit ede nombres à destin incertain...

Masab, c'est OK pour les questions 1) et 2), bravo.

La question 3) n'a pas encore reçu de réponse correcte, mais il est vrai que l'imprécision de l'énoncé entre suite périodique et suite divergente a faussé les raisonnements. Cette question est très abordable.

La question 4) est plus ouverte, tu peux essayer de donner ton record perso. Sans qu'on en ait la preuve, le nombre donné par Enigmatus semble le meilleur.

 #20 - 04-11-2015 01:09:03

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Suite de nombres à desitn incertain...

Pensées de dernière minute ..

A) Conjecture "un peu" argumentée : 2 est le minimum de somme  des chiffres pour une suite divergente

11 (0...0)   (0 répété n fois avec n suffisamment grand pour toujours avoir un 0 de libre avant que la partie avant du nombre ne diverge par lui même.

PS : on peut partir de  : 1  (0...0) 1 (0...0)  avec suffisamment de zéros dans les 2 bloc pour que le 1 du milieu se reproduise à toute allure.


en notant *une serie de 0 assez longue
1*1*  ---> 1*11*  ---> 1*121*---- > 1*131* ---------->1*191*
-----> 1*1101*  ---->1*1211* ---->  1*13321*  --->1*146231* ---->
-----> 1*1510854*   ----> 1*16618139*

et on sent bien entre l'allongement moyen du bloc non nul combiné à l'augmentation de la somme des chiffres un sentiment de divergence

Au bout d'un moment, on n'aura plus besoin des zéros autour (c'est déjà la cas semble il ) mais il vont s'autodétruire quand leurs réserves seront épuisées...


Si c'est solution, on a déjà montré que 1 ne marche pas car 10^k -->10^(k-1)

B ) En partant de 1991 qui etait mon "best" l'idée est :

-c'est forcément un nombre de 4 chiffres donc le 1 est forcément bon
-le dernier chiffre ne compte "qu'une fois" dans la somme mais ne coûte pas grand chose donc il est possible qu'il faille le remonter ou pas.
Il faut faire baisser en priorité le premier chiffre intermédiaire pour minimiser le nombre
Avec cette piste on commence par tester

1891 ---> 91710 --->10881 --->18169 ---> 99715 et le grossissement des chiffres et du nombre de chiffre indique une divergence possible

1791--->81610 --->9771 ---->16148 --->77512 --->141263 --->55389 --->1081117 ca semble bon

1691 --->71510 --->8661 --->14127 --->5539 --->10812 --->1893 --->91712 --->10883 --->181611  --->99772   ca semble bon

1591 --->61410 --->7551 --->12106 --->3316 --->647 ca semble mauvais

On fait baisser le 3eme chiffre pour voir
1681 --->7149 --->8513 --->1364 --->4910 --->13101--->4411--->852 qui semble mauvais

En conclusion, je trouve comme plus petit nombre conjecturé 1691

 #21 - 04-11-2015 08:26:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite de nombres à destin incertain..

@Portugal,

Pour A) c'est ça. Il y a en effet un minimum de chiffres au dela duquel on ne peut plus régresser, je donnerai la démo. Tu es le seul à avoir émis cette hypothèse, bravo !

Pour B), j'étais arrivé au même résultat que le tien, mais Enigmatus est passé par là et son record a remis en cause le principe selon lequel si ça marche pour un nombre n, alors forcément ça marche aussi pour tout nombre dont chaque chiffre est au moins aussi grand que chaque chiffre respectif de m. Etonnant non ?

 #22 - 04-11-2015 10:13:13

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
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suite de nomnres à destin incertain...

Voir à ce lien
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 34#p188071
les réponses aux questions 1) à 4) mises hier sur le forum.
Il me reste une preuve à faire pour la question 4).
Un délai supplémentaire serait judicieux...

 #23 - 04-11-2015 10:33:31

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Suite de nmobres à destin incertain...

J'ai trouvé une belle démo pour montrer que somme = 2 peut diverger....enfin j'espère...

1 ) Eléments nécessaires

* A chaque étape ,la somme des chiffres double soustrait :
- de la valeur des deux extrémités et
-du nombre de fois ou le chiffre s'allonge multiplié par 9
exemple  (6+6)--->12   on gagne un chiffre mais on "perd" 9 de somme.

* A chaque étape la longueur baisse de 1 mais augmente du nombre de fois ou l'on "traverse 10"

2 ) démo

Notons f la fonction qui a un nombre associe "9 fois sa longueur + sa somme"
x est un nombre et x' sa transformation par l'opération

On note gap le nombre de fois où, dans la transformation,  une somme est supérieure à 10

f(x) = 9L + S

Les extrémités étant égales à 9 chacune au plus, on a donc en utilisant les observations précédentes

f(x') >=9 (L-1)+ 2*S - 18   +9 Gap - 9*Gap

(les 2 derniers termes sont l'accroissement de longueur et la perte de somme qui s'annulent..ce qui est assez sympa). On a donc :

f(x')>= 9L + S   + (S - 27)

Ainsi, si S>27, f(x) est croissante à chaque étape ultérieure.

Le serpent s'allonge ou grossit progressivement, mais il va bien finir par exploser...

( 28 est bien un minimum vu que l'on a vu que 999 est stationnaire... )

La "somme de 2" est bonne avec notre nombre 1*1* qu'il suffit de transformer jusqu'à observer la somme égale a 28 ce qui est assez rapide... et  c'est terminé...

(On a montré au passage que si S=27 la somme ne peut pas être finie mais est au moins cyclique. Elle est même divergente si l'une des extrémités au moins n'est pas égale à 9... )

3 )explication du pourquoi on pense à la fonction f

- la longueur seule ne marche pas 10^k le montre bien

-la somme seule ne suffit pas car elle peut baisser au profit d'un allongement

- le seul raisonnement qui montre la divergence d'une étape à une autre doit donc intégrer les deux en 1. Le *9 est évident si on pense comme ça en une "évaluation" qui prend en compte les 2 facteurs et qui est linéaire.

 #24 - 04-11-2015 11:29:27

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Suite de nombres à destin ncertain...

Preuve. Posons [latex]u_1=1496[/latex] . On calcule [latex]u_{35}[/latex] et on constate que ce nombre a 102 chiffres et contient dans son écriture la séquence 7777 .
Or soit un entier n composé de r chiffres 7 consécutifs ;
son suivant est composé de r-1 entiers 14 consécutifs, donc a 2r-2 chiffres ;
son suivant est composé de 2r-3 chiffres 5 consécutifs ;
son suivant est composé de 2r-4 entiers 10 consécutifs, donc a 4r-8 chiffres ;
son suivant est composé de 4r-9 chiffres 1 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-10 chiffres 2 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-11 chiffres 4 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-12 chiffres 8 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-13 entiers 16 consécutifs, d'où 8r-26 chiffres ;
son suivant est composé de 8r-27 chiffres 7 consécutifs.
Par suite si r<8r-27, c-à-d 7r>27, c-à-d r>= 4, la suite commençant à n = 777..7 est infinie non périodique à partir d'un certain rang.
En particulier la suite commençant par 7777 est infinie non périodique à partir d'un certain rang.

Et comme [latex]u_{35}[/latex] contient 7777 dans son écriture, on en déduit que la suite commençant en [latex]u_1=1496[/latex] est infinie non périodique à partir d'un certain rang.
Et alors (facile à vérifier) 1496 est le plus petit nombre ayant cette propriété.
cqfd

 #25 - 04-11-2015 11:49:47

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Site de nombres à destin incertain...

je vois qu'on joue les prolongations.lol..super problème en tout cas. juste difficile comme il faut pour un débutant comme moi..merci..j'en veux d'autres comme ca...

Pour la question 4), le résultat trouvé est il "logique" ou bien vient il de simulations informatiques ?

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