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 #1 - 02-12-2015 18:43:48

nodgim
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une suite à destin invertain. ii

Bonsoir à tous,
La première suite à destin incertain présentée sur ce forum consistait à fabriquer un nombre à partir des sommes des chiffres voisins d'un nombre donné. 372--->109-->19--->10--->1

Cette seconde suite est une petite variante: on fabrique un nombre à partir du produit des chiffres voisins d'un nombre donné.

147--->428--->816--->86--->48--->32--->6 Fin.

Donc mêmes questions que pour la 1ère suite:
-Le plus petit nombre dont la suite diverge ?
-Le plus grand nombre dont la suite converge ?
-Les suites périodiques ?

Cette énigme est spécialement dédiée à Portugal qui est affamé de ce genre de problèmes...



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 #2 - 02-12-2015 19:46:16

golgot59
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une suite à destin uncertain. ii

Le plus grand convergeant est l'infini : 11111111111111111111...

Pour les autres je vais chercher...

 #3 - 02-12-2015 19:49:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Une suite à destin incertain.. II

Oui Golgot, mais ce n'est pas le seul.

 #4 - 02-12-2015 20:45:07

golgot59
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Une suite à desitn incertain. II

Il me semblait que comme tu voulais le plus grand, l'infini faisait l'affaire wink

 #5 - 03-12-2015 10:10:27

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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une duite à destin incertain. ii

Merci pour la dédicace...je viens de découvrir le problème (j'avais pas capté le II hier soir)...Effectivement c'est tout ce que j'aime...

Je vais m'y atteler en parallèle du fameux gâteau qui vient de sortir du four !!

 #6 - 03-12-2015 12:40:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Une suite à destin incertai.n II

Golgot, oui je n'ai pas dit le contraire.
Pourras tu faire un état exhaustif du format de ces nombres infinis ? Tu en as donné: 111..111

 #7 - 03-12-2015 14:07:56

masab
Expert de Prise2Tete
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une suite à destin oncertain. ii

Trouver le plus petit nombre engendrant une suite tendant vers l'infini.

Le 1er nombre à engendrer une suite tendant vers l'infini est 166.
Cette suite commence par   166 -> 636 -> 1818 -> 888 -> ...

Cette suite tend vers l'infini d'après l'étude suivante de la descendance d'un entier formé de r fois le chiffre 8. Une telle suite commence par
888888....8 avec r chiffres
646464...64 avec 2(r-1) = 2r-2 chiffres
242424...24 avec 2(2r-3) = 4r-6 chiffres
888888....8 avec 4r-7 chiffres

La condition r < 4r-7 est équivalente à r>=3.
Il en résulte que la suite tend vers l'infini si r>=3.
Pour r=2 on a 88 -> 64 -> 24 -> 8.
Il en résulte qu'une suite commençant par un entier formé de r chiffres 8 ne peut jamais être périodique à partir d'un certain rang ; cela résulte aussi de ce que l'on a jamais r=4r-7 pour r entier.

 #8 - 03-12-2015 15:05:35

masab
Expert de Prise2Tete
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une suite à destin incertain. ui

Trouver le plus grand nombre engendrant une suite qui converge.
Notons que
100000000000000000 -> 0
111111111111111111 -> ... -> 1
211111111111111111 -> ... -> 2
311111111111111111 -> ... -> 3
411111111111111111 -> ... -> 4
511111111111111111 -> ... -> 5
611111111111111111 -> ... -> 6
711111111111111111 -> ... -> 7
811111111111111111 -> ... -> 8
911111111111111111 -> ... -> 9
Il n'y a donc pas de plus grand nombre dont la suite converge vers 0 (resp. 1,...,9).

Il semble qu'il n'y ait pas de suites périodiques ni de suites périodiques à partir d'un certain rang.
Encore faudrait-il le prouver rigoureusement...

 #9 - 03-12-2015 15:18:19

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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yne suite à destin incertain. ii

Observations initiales dans le désordre

On note f(N,X) la Nieme "transformation" d'un nombre X

a ) De manière brutale  : f(1,"1 00..00") = 0 (ainsi que tous les nombres x0y0zf et les nombres "composés de 0 et de 1 au moins 1 chiffre sur 2")
Il n'y a donc pas de plus grand nombre qui converge

b ) Les nombres de 2 chiffres ne peuvent pas diverger (car leur produit est au max 81 à 2 chiffres donc récurrence immédiate)

c ) Par récurrence immédiate,  f(N,10^k * X) = 10^k *  f(N, X) ce qui veut dire que si l'on trouve au moins 1 nombre d'un style (convergent, divergent, cyclique), on en a une infinité.

**On peut prolonger ce résultat **

- en partant d'un nombre X, alors tot nombre s'écrivant X_(séries quelconque de chiffres 0 et 1) est également du même style

- en ajoutant 11...11 (k  fois "1") à X  'double' le dernier chiffre de f(N,X) suivi de (k-1) fois le chiffre1

- en ajoutant 0x0y0z.... ajoute  le nombre de chiffre fois le chiffre zéro au résultat dès que X a au moins 2 chiffres (sinon c'est direct zéro comme résultat comme vu en a ) )

- en ajoutant à X toute combinaison de 1 et de 0 garde également un postfix stable après une transformation (sauf si X est un nombre de 1 chiffre ET que ce postfix initial démarre par 0 bien sur)

illustration : X11010011100-->f(X)"last digit de f(X)"1000001100

- cela marche aussi avec tout combinaison de type 1x1y1z...


On voit ainsi que l'on peut adjoindre à tout nombre une "grande famille" de nombres ayant les même propriétés que lui.


d ) Il existe des suites stationnaires 999-->8181-->999 par exemple donc il y en a une infinité

e ) Il existe des suites divergentes

Soit X= 9..9 (n fois)
f(X) = (81)(81)..(81)  (n-1) fois
f(2,X) = 9..9   (2*n-3 fois  qui est supérieur à n pour n>3 )

Reste à trouver le minimum de divergence et éventuellement d'autres "familles cycliques"

Pour le moment j'ai 444->1616--->666-->3636 -->181818--->9999 donc 444 est mon score a battre mais ce n'est qu'un début sur quelques tentatives au hasard en remontant de 9999. Je ne pense pas qu'on puisse aller plus loin dans cette voie car 1414 ne semble pas avoir de "petit "antécédent. D'ailleurs, 16 étant le plus petit carré à 2 chiffres, si solution plus petite elle est avec une autre famille de nombres je crois.

Je vais essayer de rationaliser la démarche...

 #10 - 03-12-2015 17:08:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Une suite à destin inccertain. II

@Masab, on a trouvé le même min. qui diverge, bravo. Pour les plus grands qui convergent, il y a d'autres formats possibles. Il y en a même sans 0 ni 1...

@Portugal: tu n'as pas trouvé le min qui diverge et ta suite périodique ne l'est pas. Sinon, l'analyse est bonne.

 #11 - 03-12-2015 19:12:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Une suite à destin inertain. II

Attention Portugal, ta suite périodique ne l'est pas !
En effet, 81 donne 8 et non 9.

 #12 - 03-12-2015 20:25:30

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Une suite à destin icertain. II

Houps...trop l'habitude de la suite précédente... Je revois tout ca...

Il y avait aussi une faute dans la divergence.

Cependant :

8..8 (n fois)  -->  ((64)..(64) (n-1) fois -->(24).(24)--->2n-3 fois
                   -->  8...8 (4n-7 fois)

donc à partir de n>2 cette série est divergente et on recolle les morceaux pour  la divergence mais comme pour n=2 ça converge, il n'y a pas de pallier cyclique avec cette suite...

Ce qui me fait gagner un cran dans la convergence car en remontant
888 <--- 2424  <-- 383
888 <--1818   <---363 


On ne peut pas remonter facilement de 363 car  si on ecrit le précédent 66x ca marche pas..

Par contre   1818 < -- 292 

PS : tu m'as mis une telle pression que j'ai un peu répondu à l'arrache...trop...;=)


en cherchant plus petit (dans les 1xx ) j'ai trouvé ca

177 -->749 -->2836 -->162418 --->612848 --->62163232 --->
122618666 ---> X3636 --->X181818--->X888 donc diverge (car 888 diverge)


Ma notation sous entends une chose évidente Si Y diverge alors XY diverge..

car f(XY) s'ecrit f(X) ( facteur transition) f(Y)


j'améliore progressivement mais pas de logique véritable...donc soit je suis Mr Lucky soit il y a mieux... cependant on est pas loin donc on peut voir si ca peut se résoudre à la main

- jusqu'à 133 ça converge de manière évidente
puis à toute allure la convergence s'impose pour :
- de 134 a 139 aussi
- 140-149 aussi
- dans les 150 aussi (trop de zéros)
Les premiers 160 non plus jusqu'à ...
(les critères d'élimination instantané sont abc converge si a,b,c <=3 et a1b converge tout le temps)



166 --->636 --->1818 --->888

Sauf erreur de ma part c'est le record !!!

 #13 - 03-12-2015 22:01:08

masab
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yne suite à destin incertain. ii

Voici des exemples d'entiers sans 0 ni 1 engendrant des suites convergentes.

Code:

[599623, 458154126, 204085204212, 401000822, 164, 624, 128, 216, 26, 12, 2]
[525724, 101035148, 155432, 52520126, 10101000212, 22, 4]
[595857, 4545404035, 20202020000015, 5]
[599626, 4581541212, 204085204222, 401000844, 3216, 626, 1212, 222, 44, 16, 6]
[595876, 4545405642, 202020200030248, 832, 246, 824, 168, 648, 2432, 8126, 8212, 1622, 6124, 628, 1216, 226, 412, 42, 8]
[33, 9]

Il en existe beaucoup d'autres !

 #14 - 03-12-2015 22:54:30

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Unee suite à destin incertain. II

Pour me rattraper j'expose (mais je pense que ca a déjà été trouvé)

sans les bras (enfin sans 0 ni 1...)

5..5 (n fois) -->(25)..(25) (n-1 fois) ---> (10)...(10) on s'en fout combien de fois-->0 !!!


Je suis désolé pour ces messages à rallonge pour cette énigme...j'ai écrit au fil de ma pensée son noter ce qui n'est pas très sympa pour les lecteurs, et pas très joli d'un point de vue mathématique.

La prochaine énigme, je peaufinerai..(enfin j'essaierai...)

 #15 - 03-12-2015 23:22:43

enigmatus
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Une suit eà destin incertain. II

Bonsoir,

-Le plus petit nombre dont la suite diverge ?

166

 #16 - 04-12-2015 09:57:36

nodgim
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Une suite à desti nincertain. II

@Portugal et Enigmatus: c'est bon pour le plus petit divergeant, bravo à vous deux.

@Masab et Portugal: C'est bon pour les convergeants sans 0 ni 1.

Les critères Divergence/Convergence sont bien sûr différents pour la suite à sommes.
Est il possible de déterminer un ensemble fermé qui définisse les divergeants ?
Autrement dit, pour un nombre donné, est il possible de dire si oui ou non il va diverger ou converger ?
Je n'ai pas la réponse finalisée, mais des idées seulement pour l'instant. En particulier, il y a une notion de parité qui n'a pas été évoquée encore.

 #17 - 04-12-2015 10:26:43

portugal
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Une suuite à destin incertain. II

un exemple à mon avis intéressant pour un éventuel critère de convergence

167  642  248  832  246  824  168  648  2432  8126  8212  1622  6124  628  1216  226  412  42  8

Si critère de convergence, ce nombre montre qu'il doit être assez subtil

En ce qui concerne la parité je vais y réfléchir mais il ne faudra pas prendre le critère tel que vu que :

ajouter 0 (ou 10...) garde la convergence intacte
ajouter 1 (ou 01...) aussi

donc à chaque nombre convergent/divergent on peut associer un nombre pair/impair ayant même propriété.

Une petite propriété triviale au sujet de la parité : si une suite est convergente, elle converge vers un nombre impair si et seulement si tous ses chiffres sont impairs


Une propriété amusante également :
f(N,"X_0_Y" ) s’écrit  f(N,X) 0...0 (N+1 fois) f(N,Y)
donc de suites convergentes séparées par des zéros sont toujours convergentes...

 #18 - 05-12-2015 21:21:37

masab
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Une suite à destin incertain. III

Si un entier est pair, son suivant est pair. C'est immédiat car si un entier se termine par un chiffre pair, il en sera de même du suivant.
On en déduit que si une suite converge vers un chiffre impair, alors elle a tous ses éléments impairs.

 #19 - 06-12-2015 08:44:39

nodgim
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une suite à deqtin incertain. ii

Bon, tout le monde a donné à peu près les mêmes réponses. Le 166 est bien le plus petit nombre divergent.
Pour l'instant, aucune suite périodique n'a été trouvée et sans doute il n'y en a pas.
Pour ce que j'ai trouvé:

Les convergeants sont en nombre illimité mais on peut les classer en 2 groupes.
Les convergeants peuvent être les antécédents d'un chiffre unique non nul. On les trouve en cherchant les antécédents de ce chiffre. Ils sont en quantité limitée, sauf pour les nombres de la forme a11..11b, où a et b sont différents de 0.
A partir de ces convergeants de base, il suffit soit d'ajouter un ou des zéros, soit de les grouper en les séparant par un ou des zéros. Le résultat sera 0.

Un nombre divergent quant à lui est un nombre croissant dont, à partir d'un certain nombre d'itérations, au moins un chiffre sur 2 est pair, et les impairs sont 1 ou 3. En effet, le seul résultat impair (1 ou 2 chiffres impairs) du produit de 2 impairs différents de 1 et 5 est 3*3=9. Les 1 consécutifs sont régressifs. Les 1 isolés ne vivent qu'un seul tour. Les 5 donnent 5 mais momentanément, car ils voisinent tôt ou tard un chiffre pair. Pour obtenir un 7, il faut 3*9 ou 8*9, mais le 9 ne peut survivre, et donc 7 non plus. Et donc les chiffres pairs sont invasifs. 
A partir de ces observations, on en déduit qu'il existe, parmi les 64 nombres à 3 chiffres ne comportant que des chiffres pairs non nuls, 34 nombres qui forment un ensemble tel que, en partant de l'un d'eux, on aboutit à un nombre avec plus de chiffres dont un extrait est aussi un nombre de cet ensemble. Cette propriété garantit le caractère strictement divergent de tout nombre contenant l'un des nombres de cet ensemble.
On peut lister cet ensemble:
266;268;282;284;286;288;444;448;464;466;468;484;486;488;646;662;664;666;668;682;684;686;688
;826;828;848;862;864;866;868;882;884;886;888.

A partir de là, on peut établir une conjecture forte sur le fait que tout nombre non identifié comme convergent donnera à un moment ou à un autre (une dizaine d'itérations ?) l'un de ces nombres, ce qui garantira son caractère divergent.

 #20 - 09-12-2015 18:29:46

masab
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Une suite à destin incertai. II

Qu'appelez-vous nombre croissant ?

 #21 - 09-12-2015 19:17:44

nodgim
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une suite à destun incertain. ii

Il faut lire nombre à l'origine d'une suite croissante. En fait, j'aurais dû dire: nombre non répertorié comme à l'origine d'une suite convergente.
Et tu peux me tutoyer, comme il est d'usage ici, à moins que, bien entendu, ce ne soit pas naturel pour toi.

 #22 - 10-12-2015 18:12:32

masab
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Une suite à destin incertian. II

Si on se limite à des entiers ne comportant pas trois chiffres 1 consécutifs, alors les chiffres admettent un nombre fini d'antécédents.
Voici un tableau donnant des résultats :

[n, nombre d'antécédents de n, le plus grand antécédents de n]
[0, 646, 811230]
[1, 1, 11]
[2, 57, 61121]
[3, 4, 311]
[4, 49, 71121]
[5, 17, 7115]
[6, 179, 61123]
[7, 4, 711]
[8, 183, 81123]
[9, 8, 3113]

Par suite tout entier > 811230 et ne comportant pas trois chiffres 1 consécutifs engendre une suite tendant vers l'infini ou périodique à partir d'un certain rang.

 #23 - 11-12-2015 16:40:26

nodgim
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Une suite à destin incertani. II

Bien Masab.
Moins de 1000 convergents, c'est nettement moins qu'avec les sommes.
Note tout de même que je n'ai pas écrit qu'il n'y avait pas de périodiques, mais que la proba de cette éventualité est quasi nulle. Peut être avec ta routine en es tu venu à cette conclusion ?

 #24 - 12-12-2015 11:43:59

masab
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Une suite à destn incertain. II

Effectivement, il faudrait montrer qu'il n'existe pas de suites périodiques !
J'ai donc modifié ma conclusion précédente...

 

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