Oui Golgot, mais ce n'est pas le seul.

Merci pour la dédicace...je viens de découvrir le problème (j'avais pas capté le II hier soir)...Effectivement c'est tout ce que j'aime...

Je vais m'y atteler en parallèle du fameux gâteau qui vient de sortir du four !!

Trouver le plus petit nombre engendrant une suite tendant vers l'infini.

Le 1er nombre à engendrer une suite tendant vers l'infini est 166.
Cette suite commence par   166 -> 636 -> 1818 -> 888 -> ...

Cette suite tend vers l'infini d'après l'étude suivante de la descendance d'un entier formé de r fois le chiffre 8. Une telle suite commence par
888888....8 avec r chiffres
646464...64 avec 2(r-1) = 2r-2 chiffres
242424...24 avec 2(2r-3) = 4r-6 chiffres
888888....8 avec 4r-7 chiffres

La condition r < 4r-7 est équivalente à r>=3.
Il en résulte que la suite tend vers l'infini si r>=3.
Pour r=2 on a 88 -> 64 -> 24 -> 8.
Il en résulte qu'une suite commençant par un entier formé de r chiffres 8 ne peut jamais être périodique à partir d'un certain rang ; cela résulte aussi de ce que l'on a jamais r=4r-7 pour r entier.

Observations initiales dans le désordre

On note f(N,X) la Nieme "transformation" d'un nombre X

a ) De manière brutale  : f(1,"1 00..00") = 0 (ainsi que tous les nombres x0y0zf et les nombres "composés de 0 et de 1 au moins 1 chiffre sur 2")
Il n'y a donc pas de plus grand nombre qui converge

b ) Les nombres de 2 chiffres ne peuvent pas diverger (car leur produit est au max 81 à 2 chiffres donc récurrence immédiate)

c ) Par récurrence immédiate,  f(N,10^k * X) = 10^k *  f(N, X) ce qui veut dire que si l'on trouve au moins 1 nombre d'un style (convergent, divergent, cyclique), on en a une infinité.

**On peut prolonger ce résultat **

- en partant d'un nombre X, alors tot nombre s'écrivant X_(séries quelconque de chiffres 0 et 1) est également du même style

- en ajoutant 11...11 (k  fois "1") à X  'double' le dernier chiffre de f(N,X) suivi de (k-1) fois le chiffre1

- en ajoutant 0x0y0z.... ajoute  le nombre de chiffre fois le chiffre zéro au résultat dès que X a au moins 2 chiffres (sinon c'est direct zéro comme résultat comme vu en a ) )

- en ajoutant à X toute combinaison de 1 et de 0 garde également un postfix stable après une transformation (sauf si X est un nombre de 1 chiffre ET que ce postfix initial démarre par 0 bien sur)

illustration : X11010011100-->f(X)"last digit de f(X)"1000001100

- cela marche aussi avec tout combinaison de type 1x1y1z...


On voit ainsi que l'on peut adjoindre à tout nombre une "grande famille" de nombres ayant les même propriétés que lui.


d ) Il existe des suites stationnaires 999-->8181-->999 par exemple donc il y en a une infinité

e ) Il existe des suites divergentes

Soit X= 9..9 (n fois)
f(X) = (81)(81)..(81)  (n-1) fois
f(2,X) = 9..9   (2*n-3 fois  qui est supérieur à n pour n>3 )

Reste à trouver le minimum de divergence et éventuellement d'autres "familles cycliques"

Pour le moment j'ai 444->1616--->666-->3636 -->181818--->9999 donc 444 est mon score a battre mais ce n'est qu'un début sur quelques tentatives au hasard en remontant de 9999. Je ne pense pas qu'on puisse aller plus loin dans cette voie car 1414 ne semble pas avoir de "petit "antécédent. D'ailleurs, 16 étant le plus petit carré à 2 chiffres, si solution plus petite elle est avec une autre famille de nombres je crois.

Je vais essayer de rationaliser la démarche...

Attention Portugal, ta suite périodique ne l'est pas !
En effet, 81 donne 8 et non 9.

Voici des exemples d'entiers sans 0 ni 1 engendrant des suites convergentes.

[599623, 458154126, 204085204212, 401000822, 164, 624, 128, 216, 26, 12, 2]
[525724, 101035148, 155432, 52520126, 10101000212, 22, 4]
[595857, 4545404035, 20202020000015, 5]
[599626, 4581541212, 204085204222, 401000844, 3216, 626, 1212, 222, 44, 16, 6]
[595876, 4545405642, 202020200030248, 832, 246, 824, 168, 648, 2432, 8126, 8212, 1622, 6124, 628, 1216, 226, 412, 42, 8]
[33, 9]

Il en existe beaucoup d'autres !

Bonsoir,

-Le plus petit nombre dont la suite diverge ?

166

un exemple à mon avis intéressant pour un éventuel critère de convergence

167  642  248  832  246  824  168  648  2432  8126  8212  1622  6124  628  1216  226  412  42  8

Si critère de convergence, ce nombre montre qu'il doit être assez subtil

En ce qui concerne la parité je vais y réfléchir mais il ne faudra pas prendre le critère tel que vu que :

ajouter 0 (ou 10...) garde la convergence intacte
ajouter 1 (ou 01...) aussi

donc à chaque nombre convergent/divergent on peut associer un nombre pair/impair ayant même propriété.

Une petite propriété triviale au sujet de la parité : si une suite est convergente, elle converge vers un nombre impair si et seulement si tous ses chiffres sont impairs


Une propriété amusante également :
f(N,"X_0_Y" ) s’écrit  f(N,X) 0...0 (N+1 fois) f(N,Y)
donc de suites convergentes séparées par des zéros sont toujours convergentes...

Bon, tout le monde a donné à peu près les mêmes réponses. Le 166 est bien le plus petit nombre divergent.
Pour l'instant, aucune suite périodique n'a été trouvée et sans doute il n'y en a pas.
Pour ce que j'ai trouvé:

Les convergeants sont en nombre illimité mais on peut les classer en 2 groupes.
Les convergeants peuvent être les antécédents d'un chiffre unique non nul. On les trouve en cherchant les antécédents de ce chiffre. Ils sont en quantité limitée, sauf pour les nombres de la forme a11..11b, où a et b sont différents de 0.
A partir de ces convergeants de base, il suffit soit d'ajouter un ou des zéros, soit de les grouper en les séparant par un ou des zéros. Le résultat sera 0.

Un nombre divergent quant à lui est un nombre croissant dont, à partir d'un certain nombre d'itérations, au moins un chiffre sur 2 est pair, et les impairs sont 1 ou 3. En effet, le seul résultat impair (1 ou 2 chiffres impairs) du produit de 2 impairs différents de 1 et 5 est 3*3=9. Les 1 consécutifs sont régressifs. Les 1 isolés ne vivent qu'un seul tour. Les 5 donnent 5 mais momentanément, car ils voisinent tôt ou tard un chiffre pair. Pour obtenir un 7, il faut 3*9 ou 8*9, mais le 9 ne peut survivre, et donc 7 non plus. Et donc les chiffres pairs sont invasifs. 
A partir de ces observations, on en déduit qu'il existe, parmi les 64 nombres à 3 chiffres ne comportant que des chiffres pairs non nuls, 34 nombres qui forment un ensemble tel que, en partant de l'un d'eux, on aboutit à un nombre avec plus de chiffres dont un extrait est aussi un nombre de cet ensemble. Cette propriété garantit le caractère strictement divergent de tout nombre contenant l'un des nombres de cet ensemble.
On peut lister cet ensemble:
266;268;282;284;286;288;444;448;464;466;468;484;486;488;646;662;664;666;668;682;684;686;688
;826;828;848;862;864;866;868;882;884;886;888.

A partir de là, on peut établir une conjecture forte sur le fait que tout nombre non identifié comme convergent donnera à un moment ou à un autre (une dizaine d'itérations ?) l'un de ces nombres, ce qui garantira son caractère divergent.

Il faut lire nombre à l'origine d'une suite croissante. En fait, j'aurais dû dire: nombre non répertorié comme à l'origine d'une suite convergente.
Et tu peux me tutoyer, comme il est d'usage ici, à moins que, bien entendu, ce ne soit pas naturel pour toi.

Bien Masab.
Moins de 1000 convergents, c'est nettement moins qu'avec les sommes.
Note tout de même que je n'ai pas écrit qu'il n'y avait pas de périodiques, mais que la proba de cette éventualité est quasi nulle. Peut être avec ta routine en es tu venu à cette conclusion ?