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#1 - 11-05-2023 23:08:49
- aunryz
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Suite à "Éngme arithmétique" de Poalo
Je me suis aperçu que https://www.wolframalpha.com/input pouvait aider à répondre de façon très brutale à l'énigme de Poalo* Sans passer par le raisonnement (congruence des nombres donnés à 7 ... = 1)
(Ce qui m'a permis d'ailleurs de vérifier le résultat, je fais tellement de bourdes que j'aurais pu une fois de plus ...)
Cela m'a donné envie de faire une proposition relativement similaire pour laquelle cet outil semble ne pas pouvoir donner brutalement la réponse.
Quel est le reste dans la division par 5 du nombre [TeX]\\[/TeX][TeX] 13^{1109761}+17^{107670002}+23^{139539}+29^{11544004} [/TeX][TeX]\text{?} [/TeX] Précision (merci Pascal) Ici on fait une division "entière" (on s'arrête lorsque ce qui reste est plus petit que 5 ... 19 : 5 donne 3 et il reste 4 ) __ * l'énigme de Poalo http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=14263
Solution brutale : https://www.wolframalpha.com/input?i=78 … 5+modulo+7
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#2 - 14-05-2023 12:42:36
- Vasimolo
- Le pâtissier
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suire à "Énigme arithmétique" de poalo
Bonjour
Pour moi ce n'est toujours pas une énigme mais une question de cours pour "matheux" . On regarde la base modulo 5 et l'exposant modulo 4 :
[latex]3^1+2^2+3^4+4^0\equiv 0\ [mod\ 5][/latex] .
Vasimolo
#3 - 14-05-2023 17:49:20
- LeJeu
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Suite à "Énigme arithmétique" de Poaloo
pour du brutal Wolfram :
(PowerMod(13,1109761,5 ) + PowerMod(17,107670002,5) +PowerMod(23,139539,5) + PowerMod(29,11544004,5) ) mod 5
= zero
#4 - 14-05-2023 23:35:51
- aunryz
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suitz à "Énigme arithmétique" de poalo
Vasimolo : ok je reçois ton jugement concernant ma ... question (qu'en est-il de l'énigme de Poalo et des réponses données ?)
Ceci étant acté, il manque quelque chose dans ton développement pour qu'un non matheux puisse comprendre le sens de ton "modulo 4"
Ce qu'il y a de bien avec les maths c'est que leurs tautologies peuvent être parcourues par un non praticien* connaissant simplement les notations proposées.
Ici par exemple *il pourrait commencer par regarder les premières puissances des nombres donnés.
LeJeu : J'ai testé Wolfram en augmentant l'exposant, jusqu'à ce qu'il n'y ait pas de réponse Mais ... je n'ai pas essayé la notation que tu as utilisée ... bien joué.
Reste à dire ... un peu ... pourquoi.
____________
PS bientôt (...? ) jouer aux échecs sera inutile l'unique chemin vers la victoire des blancs ou évitant toute erreur jusqu'au nul aura asséché ce divertissement qui nous a donné "l'Immortelle" __ https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_immortelle
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#5 - 15-05-2023 10:30:23
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Suite à "Éigme arithmétique" de Poalo
On peut toujours redécouvrir les résultats élémentaires d'algèbre
L'ensemble des éléments inversibles de Z/5Z est un groupe multiplicatif d'ordre 4 donc toute puissance d'exposant 4 d'un élément de cet ensemble est égale à 1 .
Vasimolo
#6 - 15-05-2023 11:54:27
- aunryz
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Suite à "Énigme aithmétique" de Poalo
Vasimolo Le pâtissier
tu as raison ... C'est cette solution qu'il faut proposer comme réponse à ma question.
Trève de Glaisanterie , j'ai échangé avec un ami concernant cette question et il m'a demandé quelques précisions concernant ce que j'appelais le reste (il a un CAP de magasinier, il est peintre de natures mortes, et joue aux échecs en club, mais n'a aucune connaissance en mathématiques) Je lui ai donné le cas où l'on ne calcule pas le quotient décimal, ... (partage d'oranges)
Cela m'a montré qu'il manquait une précision dans mon énoncé (division entière) et aussi que n'importe qui pouvait aborder ce sujet, voir même s'y intéresser, bien que quelques théorèmes d'arithmétique le rendent trivial pour ceux qui les maîtrisent.
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#7 - 15-05-2023 12:08:31
- Vasimolo
- Le pâtissier
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suite à "Énigmz arithmétique" de poalo
Reste entier ou pas , la réponse est la même , non ?
Sinon je suis d'accord , les maths c'est pour tout le monde et ils se cachent à peu près partout où on veut bien les chercher . Pour cette raison je n'aime pas ces exercices trop scolaires qui font fuir ( à juste titre ) les non-matheux .
Vasimolo
#8 - 16-05-2023 01:13:18
- aunryz
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Suite à "Énigme arithmétique" de Poao
Solution :
J'aime bien celle, très concise, de Vasimolo Le pâtissier
On regarde la base modulo 5 et l'exposant modulo 4 : [TeX]\\[/TeX] [latex] 3^{1}+2^{2}+3^{4}+4^{0} \equiv 0 \mod{5} [/latex]
qu'il a complété par
L'ensemble des éléments inversibles de Z/5Z est un groupe multiplicatif d'ordre 4 donc toute puissance d'exposant 4 d'un élément de cet ensemble est égale à 1 .
Pour ceux qui ne sont pas familiers de la théorie des groupes et qui n'auraient pas compris le rôle des quatre termes de l'addition qu'il propose il est possible de calculer les 8 premières puissances* des nombres proposés (13, 17, 23 et 29) On s'aperçoit alors que le chiffre des unités revient tous les 4 calculs (cyclique)
pour 13 : 3,9,7,1,3,9,7,1,... pour 17 : 7,9,3,1,7,9,3,1,... pour 23 : 3,9,7,1,3,9,7,1,... pour 29 : 9,1,9,1,9,1,9,1,...
En calculant le reste dans la division par 4 des exposants pour 1109761 c'est 1 on prendra donc le chiffre de la puissance 1 c'est 3 (13) pour 107670002 c'est 2 on prendra donc le chiffre de la puissance 2 c'est 9, 13²=(169) pour 139539 c'est 3 on prendra donc le chiffre de la puissance 3 c'est 7 (12167) pour 11544004 c'est 0 on prendra donc le chiffre de la puissance 4 c'est 1
3 + 9 + 7 + 1 = 10 Le résultat du calcul donné aura donc pour chiffre des unités un 0 C'est un multiple de 5 Sa division par 5 donnera donc un reste nul ("tombera juste" )
La case réponse valide donc 0
______ PS : avec un opinel on peut aussi sculpter le bois, c'est plus long, mais c'est possible... si on en a envie.
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#9 - 16-05-2023 07:29:54
- Franky1103
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Suite à "Éniggme arithmétique" de Poalo
Vasimolo a écrit:[latex]3^1+2^2+3^4+4^0\equiv 0\ [mod\ 5][/latex]
Je crois qu'il y a une petite coquille car c'est: [latex]3^1+2^2+3^3+4^0\equiv 0\ [mod\ 5][/latex] mais on aura tous compris le raisonnement.
Merci et bonne journée.
#10 - 16-05-2023 12:21:16
- aunryz
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suite à "Énigme arithmétique&suot; de poalo
Franky1103 à écrit
Vasimolo a écrit:
[latex]\\[/latex]
[latex] 3^{1}+2^{2}+3^{4}+4^{0} \equiv 0 \mod{5} [/latex]
.
Je crois qu'il y a une petite coquille ...
Effectivement cet exposant 4 est étrange au coeur d'un raisonnement où l'on parle de congruence modulo 4 ((PLNM*)le reste dans la division par 4 ne peut être 4)
Effectivement cette coquille n'empêche pas (PLM*) la compréhension du raisonnement et Franky1103 a raison de conclure (PLM*)
mais on aura tous compris le raisonnement.
Merci et bonne journée.
___ Mon copain Pascal n'a pas trop compris la solution de Vasimolo - quand je lui ai traduit - Elle ne collait pas avec la mienne. (et ne donnait pas le résultat attendu)
En calculant le reste dans la division par 4 des exposants pour 1109761 c'est 1 on prendra donc le chiffre de la puissance 1 c'est 3 (13) pour 107670002 c'est 2 on prendra donc le chiffre de la puissance 2 c'est 9, 13²=(169) pour 139539 c'est 3 on prendra donc le chiffre de la puissance 3 c'est 7 (12167) pour 11544004 c'est 0 on prendra donc le chiffre de la puissance 4 c'est 1
___ REM : 1) Ma marque de fabrique étant l'erreur bête, je ne jette pas la pierre à propos de cette coquille. Juste une précision sur l'accessibilité des solutions *PLNM et *PLM.
2) Mon contact avec les Non Matheux autour de moi, m'a fait renoncer de raccourcir en "Il suffit de s'occuper du chiffre des unités" ... dans un premier temps.
___ Note *PLNM Pour Les Non Matheux *PLM Pour Les Matheux
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#11 - 16-05-2023 12:50:17
- Vasimolo
- Le pâtissier
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duite à "Énigme arithmétique" de poalo
Pourquoi passer tant de temps pour répondre un à simple bug dont je suis coutumier ?
Vasimolo
#12 - 23-05-2023 10:03:07
- scarta
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suite à &qupt;Énigme arithmétique" de poalo
Mince j'avais raté ça - pour une fois que je comprends l'énoncé 😂 Petit théorème de Fermat : a^4 mod 5 = 1 pour tout a non divisible par 5. On simplifie en 13^1+17^2+23^3+29^4 mod 5 d'abord, puis en 3^1+2^2+(-2)^3+(-1)^4 et on trouve 3 + 4 -8 +1 = 0 mod 5
#13 - 15-06-2023 20:03:20
- Poalo
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suite à "Énigme arithmétiqur" de poalo
étant donné que la réponse à déjà été donné, mon intervention n'est pas très utile.
Cependant je vois ce post alors que ça fait environ une année que je ne me suis pas connecté. Comme quoi le hasard fait bien les choses
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