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 #1 - 11-05-2023 23:08:49

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 742

suite à &qupt;Énigme arithmétique" de poalo

Je me suis aperçu que
https://www.wolframalpha.com/input
pouvait aider à répondre de façon très brutale à l'énigme de Poalo*
Sans passer par le raisonnement (congruence des nombres donnés à 7 ... = 1)

(Ce qui m'a permis d'ailleurs de vérifier le résultat, je fais tellement de bourdes que j'aurais pu une fois de plus ...)

Cela m'a donné envie de faire une proposition relativement similaire
pour laquelle cet outil semble ne pas pouvoir donner brutalement la réponse.

Quel est le reste dans la division par 5 du nombre
[TeX]\\[/TeX][TeX] 13^{1109761}+17^{107670002}+23^{139539}+29^{11544004} [/TeX][TeX]\text{?}  [/TeX]
Précision (merci Pascal) Ici on fait une division "entière" (on s'arrête lorsque ce qui reste est plus petit que 5 ... 19 : 5 donne 3  et il reste 4 )
__
* l'énigme de Poalo
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=14263

Solution brutale :
https://www.wolframalpha.com/input?i=78 … 5+modulo+7


Du fagot des Nombreux
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 #2 - 14-05-2023 12:42:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,397E+3

Suiet à "Énigme arithmétique" de Poalo

Bonjour

Pour moi ce n'est toujours pas une énigme mais une question de cours pour "matheux" . On regarde la base modulo 5 et l'exposant modulo 4 :

[latex]3^1+2^2+3^4+4^0\equiv 0\ [mod\ 5][/latex] .

Vasimolo

 #3 - 14-05-2023 17:49:20

LeJeu
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 71

suite à &qiot;Énigme arithmétique" de poalo

pour du brutal Wolfram :

(PowerMod(13,1109761,5 ) + PowerMod(17,107670002,5) +PowerMod(23,139539,5) + PowerMod(29,11544004,5) ) mod 5

= zero

 #4 - 14-05-2023 23:35:51

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 742

uite à "Énigme arithmétique" de Poalo

Vasimolo : ok je reçois ton jugement concernant ma ... question
(qu'en est-il de l'énigme de Poalo et des réponses données ?)

Ceci étant acté, il manque quelque chose dans ton développement
pour qu'un non matheux puisse comprendre le sens de ton "modulo 4"

Ce qu'il y a de bien avec les maths c'est que leurs tautologies peuvent être parcourues par un non praticien* connaissant simplement les notations proposées.

Ici par exemple *il pourrait commencer par regarder les premières puissances des nombres donnés.

LeJeu : J'ai testé Wolfram en augmentant l'exposant, jusqu'à ce qu'il n'y ait pas de réponse
Mais ... je n'ai pas essayé la notation que tu as utilisée ... bien joué.

Reste à dire ... un peu ... pourquoi.

____________

PS bientôt (...? )  jouer aux échecs sera inutile l'unique chemin vers la victoire des blancs ou évitant toute erreur jusqu'au nul aura asséché ce divertissement qui nous a donné "l'Immortelle"
__
https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_immortelle


Du fagot des Nombreux

 #5 - 15-05-2023 10:30:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,397E+3

Suite à "Énigme arithmétique" d ePoalo

On peut toujours redécouvrir les résultats élémentaires d'algèbre smile

L'ensemble des éléments inversibles de Z/5Z est un groupe multiplicatif d'ordre 4 donc toute puissance d'exposant 4 d'un élément de cet ensemble est égale à 1 .

Vasimolo

 #6 - 15-05-2023 11:54:27

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 742

Suite à "Énigme arithmétique" de Poalo

Vasimolo
Le pâtissier

tu as raison
...
C'est cette solution qu'il faut proposer comme réponse à ma question.

Trève de Glaisanterie smile , j'ai échangé avec un ami concernant cette question
et il m'a demandé quelques précisions concernant ce que j'appelais le reste
(il a un CAP de magasinier, il est peintre de natures mortes, et joue aux échecs en club, mais n'a aucune connaissance en mathématiques)
Je lui ai donné le cas où l'on ne calcule pas le quotient décimal, ... (partage d'oranges)

Cela m'a montré qu'il manquait une précision dans mon énoncé (division entière)
et aussi que n'importe qui pouvait aborder ce sujet, voir même s'y intéresser, bien que quelques théorèmes d'arithmétique le rendent trivial pour ceux qui les maîtrisent.


Du fagot des Nombreux

 #7 - 15-05-2023 12:08:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,397E+3

Suite àà "Énigme arithmétique" de Poalo

Reste entier ou pas , la réponse est la même , non ?

Sinon je suis d'accord , les maths c'est pour tout le monde et ils se cachent à peu près partout où on veut bien les chercher . Pour cette raison je n'aime pas ces exercices trop scolaires qui font fuir ( à juste titre ) les non-matheux .

Vasimolo

 #8 - 16-05-2023 01:13:18

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 742

Suite à "Énigme arithmétique" de Polao

Solution :

J'aime bien celle, très concise, de
Vasimolo
Le pâtissier

On regarde la base modulo 5 et l'exposant modulo 4 :
[TeX]\\[/TeX]
[latex] 3^{1}+2^{2}+3^{4}+4^{0}   \equiv 0 \mod{5}  [/latex]

qu'il a complété par

L'ensemble des éléments inversibles de Z/5Z est un groupe multiplicatif d'ordre 4 donc toute puissance d'exposant 4 d'un élément de cet ensemble est égale à 1 .

Pour ceux qui ne sont pas familiers de la théorie des groupes
et qui n'auraient pas compris le rôle des quatre termes de l'addition qu'il propose
il est possible de
calculer les 8 premières puissances* des nombres proposés (13, 17, 23 et 29)
On s'aperçoit alors que le chiffre des unités revient tous les 4 calculs (cyclique)

pour 13 : 3,9,7,1,3,9,7,1,...
pour 17 : 7,9,3,1,7,9,3,1,...
pour 23 : 3,9,7,1,3,9,7,1,...
pour 29 : 9,1,9,1,9,1,9,1,...


En calculant le reste dans la division par 4 des exposants
pour 1109761 c'est 1 on prendra donc le chiffre de la puissance 1 c'est  3 (13)
pour 107670002 c'est 2 on prendra donc le chiffre de la puissance 2 c'est 9, 13²=(169)
pour 139539 c'est 3 on prendra donc le chiffre de la puissance 3 c'est 7 (12167)
pour  11544004 c'est 0 on prendra donc le chiffre de la puissance 4 c'est 1

3 + 9 + 7 + 1 = 10
Le résultat du calcul donné aura donc pour chiffre des unités un 0
C'est un multiple de 5
Sa division par 5 donnera donc un reste nul ("tombera juste" big_smile )

La case réponse valide donc 0


______
PS : avec un opinel on peut aussi sculpter le bois, c'est plus long, mais c'est possible... si on en a envie.


Du fagot des Nombreux

 #9 - 16-05-2023 07:29:54

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3208
Lieu: Luxembourg

Suite à "Énigme arithmétique" de Polo

Vasimolo a écrit:

[latex]3^1+2^2+3^4+4^0\equiv 0\ [mod\ 5][/latex]

Je crois qu'il y a une petite coquille car c'est: [latex]3^1+2^2+3^3+4^0\equiv 0\ [mod\ 5][/latex]
mais on aura tous compris le raisonnement.

Merci et bonne journée.

 #10 - 16-05-2023 12:21:16

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 742

Suite à &uot;Énigme arithmétique" de Poalo

Franky1103 à écrit



Vasimolo a écrit:

[latex]\\[/latex]

[latex] 3^{1}+2^{2}+3^{4}+4^{0}   \equiv 0 \mod{5}  [/latex]

.

Je crois qu'il y a une petite coquille ...

Effectivement cet exposant 4 est étrange au coeur d'un raisonnement où l'on parle de congruence modulo 4 ((PLNM*)le reste dans la division par 4 ne peut être 4)

Effectivement cette coquille n'empêche pas (PLM*) la compréhension du raisonnement et Franky1103 a raison de conclure (PLM*)

mais on aura tous compris le raisonnement.

Merci et bonne journée.

___
Mon copain Pascal n'a pas trop compris la solution de Vasimolo - quand je lui ai traduit -
Elle ne collait pas avec la mienne. (et ne donnait pas le résultat attendu)

En calculant le reste dans la division par 4 des exposants
pour 1109761 c'est 1 on prendra donc le chiffre de la puissance 1 c'est  3 (13)
pour 107670002 c'est 2 on prendra donc le chiffre de la puissance 2 c'est 9, 13²=(169) 
pour 139539 c'est 3 on prendra donc le chiffre de la puissance 3 c'est 7 (12167)
pour  11544004 c'est 0 on prendra donc le chiffre de la puissance 4 c'est 1

___
REM :
1) Ma marque de fabrique étant l'erreur bête, je ne jette pas la pierre à propos de cette coquille. Juste une précision sur l'accessibilité des solutions *PLNM et *PLM.

2) Mon contact avec les Non Matheux autour de moi, m'a fait
renoncer de raccourcir en
"Il suffit de s'occuper du chiffre des unités" ... dans un premier temps.


___
Note *PLNM Pour Les Non Matheux  *PLM Pour Les Matheux


Du fagot des Nombreux

 #11 - 16-05-2023 12:50:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,397E+3

Suite à "Énigme arithmétique&quo;t de Poalo

Pourquoi passer tant de temps pour répondre un à simple bug dont je suis coutumier ?

Vasimolo

 #12 - 23-05-2023 10:03:07

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1950

Suite à "Énigme arithmétique" dde Poalo

Mince j'avais raté ça - pour une fois que je comprends l'énoncé 😂
Petit théorème de Fermat : a^4 mod 5 = 1 pour tout a non divisible par 5.
On simplifie en 13^1+17^2+23^3+29^4 mod 5 d'abord, puis en 3^1+2^2+(-2)^3+(-1)^4 et on trouve 3 + 4 -8 +1 = 0 mod 5

 #13 - 15-06-2023 20:03:20

Poalo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

syite à "Énigme arithmétique" de poalo

étant donné que la réponse à déjà été donné, mon intervention n'est pas très utile.

Cependant je vois ce post alors que ça fait environ une année que je ne me suis pas connecté. Comme quoi le hasard fait bien les choses smile

 

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