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 #1 - 03-01-2016 23:02:19

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

La tou rirrégulière...

Monsieur Building est un véritable passionné de grattes-ciels.
Il se rend au pied de la plus haute tour du monde.
Il décide de mesurer le côté de la base carré de la tour.
Il fait de même au sommet, et curieusement trouve un écart de plusieurs centimètres en faveur du sommet de la tour.
Pensant à une erreur de conception, il avertit immédiatement l'architecte, qui lui explique que tout va bien, au contraire.
Monsieur Building demande alors pourquoi l'architecte a souhaité que le sommet soit plus grand que la base, mais l'architecte répond que ce n'est pas une volonté de conception, mais qu'il n'est pas surpris par cette différence.

Pour quelle raison?
Saurez-vous trouver une relation qui permet de traduire et de quantifier cette différence?



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 #2 - 03-01-2016 23:21:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

La tuor irrégulière...

Je pense que c'est dû à la rotondité de la terre .

Vasimolo

 #3 - 03-01-2016 23:51:14

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

La tourr irrégulière...

Question supplémentaire :

La plus haute tour du monde mesurera bientôt 1000 mètres de hauteur, pour 250 mètres de largeur.

Saurez-vous estimer la différence de mesure entre le côté de la base, et le côté du sommet de la tour?

 #4 - 03-01-2016 23:51:51

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

La tour irrégulière..

Ok, Vasimolo.
Peux-tu trouver une relation qui exprime cette différence?

 #5 - 03-01-2016 23:57:44

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

La tour irréguilère...

Je suppose qu'il s'agit de la verticale, qui diffère au sommet de la base à cause de la rotondité de la terre...

On trouve (approximativemet) une différence de c.h/6 400 000 si h est la hauteur du building et c la longueur du côté de la base données en m

Pour 1000 m de haut et 250m de large, ça donne 25/640=1/25,6 soit autour de 4 cm... rien de méchant !

 #6 - 04-01-2016 00:10:18

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

La tour irrégulière....

Relation simple avec la rotondité de la terre ?

L/l  = (R+h)/R par thales ?

 #7 - 04-01-2016 00:20:09

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

La tour irréguliière...

Bonsoir / Bonjour,

Si les verticales du gratte-ciel sont déterminées au fil à plomb, alors elles ne sont pas parallèles mais présentent un angle d'ouverture (dont le sommet serait le centre de la terre)

C'est ça ?

Bonne nuit !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #8 - 04-01-2016 00:25:52

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

La tour irrgulière...

Salut,

On sait que toutes les verticales passent par le centre de la terre. Les verticales ne sont donc pas parallèles, elles divergent et c'est normal que le haut de la tour soit (très légèrement) plus grand que le bas...

Je laisse Vasimolo faire les calculs... wink

http://www.deserres.ca/data/Products/Photos/FR/standard/Source/109374_3_W3D2007_3.jpg

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 04-01-2016 07:59:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

La tour irrégulèire...

Peut être que les faces de l'immeuble sont parfaitement à la verticale du lieu ?

 #10 - 04-01-2016 09:37:11

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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Laa tour irrégulière...

bonjour.

gravité oblige .  le fil à plomb est attiré par le centre de la Terre se situant à 6371 km du sommet de la tour.
Ainsi , on peut tout aussi bien dire que si les bâtisseurs ont utilisé le niveau à bulle pour couler la chape de ciment au sommet , cette dernière est une calotte sphérique de rayon R+H  et non un plan. R = 6370km et H est la hauteur de la tour
la dalle de béton au sol est quant à elle une calotte sphérique de rayon R

avec une tour de 1000m de haut et 250 m de large j'ai une différence de 39 mm
arrondie.  250 m est une longueur d'arc . le haut mesure alors:
[TeX]250 \times \frac{6371}{6370} \approx 250.039246 m[/TeX]
qui est aussi une longueur d'arc. Le centre d'homothétie étant le centre de la Terre

 #11 - 04-01-2016 11:35:30

halloduda
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

La tour irrégulièree...

Les verticales passent par le centre de la terre.
Elles ne sont pas parallèles d'un endroit de la tour à un autre.
La tour est un tronc de pyramide.

Ou je n'ai rien compris au problème, car rien n'empêche de construire une tour cylindrique à base carrée.

EDIT ça doit faire dans les 4 cm (pi/80 m)

 #12 - 04-01-2016 13:36:49

w9Lyl6n
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Messages : 220

la tour irréguliète...

Il a battis parfaitement à la verticale, les arrêtes de la tour se prolongent toutes vers le centre de la terre d'où le rétrécissement au pied de la tour. Le rapport est :
base_haute / base_basse = (hauteur + R) / R
où R = 6371 km rayon de la terre
La différence est donc tout simplement :
diff = hauteur / R x base_basse
diff = 1 / 6371 * 25 000 cm
environ 4 cm

 #13 - 04-01-2016 15:51:20

nobodydy
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Messages : 1288

la tour irréguloère...

Saurez-vous estimer la différence de mesure entre le côté de la base, et le côté du sommet de la tour?

Grosso modo 40cm erreur de conversion 40mm soit 4 cm
http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-Laidzep-immeuble1.jpg
Edit calcul
je néglige la courbure de la terre sur 250m
2 droites parallèles, un triangle -> Thales

(6371+1)/6371*250 = 250,039m

 #14 - 04-01-2016 18:58:19

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1745

La tour irrégulire...

et 4 mm edit cm d'écart pour la question subsidiaire ...
(avec rayon de la terre = 6 371 km et base de 250m mesurée en curviligne)

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-building.jpg


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 05-01-2016 17:36:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

La tour irrégulère...

Bonjour smile

On peut considérer qu'un grand cercle sur la terre fait environ 40 000 km . le côté de la tour fait 1/4 km c'est à dire 1/160 000 du grand cercle . L'angle au centre de la terre qui va capter le côté de la tour vaut a=pi/80 000 ( en radians ) . Cet angle va capter R.a au bas de la tour et (R+1).a au sommet ( R est le rayon de la terre ) . La différence est donc de a km soit environ 4 cm .

Vasimolo

 #16 - 06-01-2016 00:44:27

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

La tour irréguliière...

Parce que:
- La tour est faite avec des ballons gonflables, et comme la pression de l'air est plus faible en altitude, les ballons sont plus gros, donc la tour est plus large.
ou
- Son metre a ruban est sensible a la chaleur, il fait plus froid au sommet et plus chaud en bas. Le metre se dilate legerement au niveau de la rue et donne donc une mesure plus petite, et se contracte plus au sommet.
ou
- Pour des raisons que j'ignore une perte de gravité au sommet fait que les materiaux se dilatent.
ou encore, et c'est peut-etre la vraie raison...
- Comme les murs sont construit pour être verticaux et que les verticales ne sont pas paralleles mais divergent en s'éloignant du centre de gravité de la terre, et il normal que les distances au sommet soient plus large que les distances à la base.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #17 - 06-01-2016 08:20:08

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

La tour irrégulirèe...

C'est plutôt amusant.
Tout le monde a compris l'évidente raison, mais tout le monde ou presque trouve un résultat différent pour le calcul... wink

 #18 - 06-01-2016 10:15:21

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

La toour irrégulière...

Application numérique :
avec :
R=6371 km
h=1 km
l=0.25 km

Et   L/l  = (R+h)/R

Je trouve  Delta=L-l = 39.24mm

 #19 - 06-01-2016 12:02:09

PrOliG
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

La tour irrégulièer...

Bonjour

Un petit schéma très exagéré (en rouge le pourtour du building) (r : rayon de la Terre, h : hauteur du building, Lh : largeur en haut et Lb : largeur en bas)

http://www.prise2tete.fr/upload/PrOliG-export.png

Celui-ci est un trapèze et non un rectangle. On peut discuter sur la façon d'en mesurer la largeur à la base, il y a trois options : celle que j'ai retenue (la corde), la mesure de l'arc de cercle et la mesure du segment tangentiel entre les deux piliers et parallèle à la corde. Ça dépend avec quel instrument on mesure, mais ne changera pas grand chose numériquement.

La hauteur est normalement mesurée sur les piliers. Si on est d'accord sur ces mesures, on a r/Lb = (r+h)/Lh, soit Lh-Lb=h/r.

A cet endroit de la Terre, celle-ci a un rayon proche du rayon équatorial qui vaut 6378,137 km d'après Wikipedia, on a donc une différence de Lh-Lb égale à 0,0157cm.

Largement inférieur aux imprécisions liées à la construction du truc si je ne me suis pas trompé.

 #20 - 06-01-2016 14:33:45

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

La tour irréglière...

En supposant que le rayon de la terre est de 6371000 m, et que la tour la plus haute soit construite a la meme altitude que Paris, ou au niveau de la mer. on estime que si la base mesure 250m, le sommet, 1000m plus loin que le centre de gravite de la terre, mesurera 250*(6372/6371)m, soit 39.24mm de plus.


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 #21 - 07-01-2016 03:35:35

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
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La tour iirrégulière...

PrOliG, je ne comprends pas bien ton calcul. Ton raisonnement est correct, mais ton résultat est faux.

Effectivement, cela donne 4 cm. smile
Quand m'est venu l'idée de faire ce petit calcul pour la tour en construction, je m'attendais à 1 mm d'écarts dans le pire des cas, ou plus surement non visible à l’œil nu...

Je n'avais pas notion que la courbure de la terre puisse impacter la structure de plusieurs centimètres, et sur le coup, j'étais assez bluffé (mais je suis peut-être naïf) ...
Enfin, c'est vrai, quoi, 4 cm, c'est deux doigts, ce n'est pas complètement négligeable. Ca se voit clairement à l’œil nu. Pas suffisant pour fragiliser la structure, probablement. Mais avec deux doigts, on en fait des choses, c'est large, on peut les mettre dans plein de trucs (je parlais pas de ça, bande de vicieux).
Enfin, bref, vous m'avez compris, je suis surpris par ce résultat plutôt inattendu pour moi.
Je n'ai aucune notion d'architecture, mais je me demande si ce genre de problème est pris en compte dans les calculs des architectes et des ingénieurs.

Sur la lune, la même tour aurait près de 14 cm d'écart entre la base et le sommet.
Et quand nous serons en mesure de construire des tours sur la lune, on peut imaginer sans peine que la pesanteur étant moindre, et la technologie plus grande, une tour de 10 km de hauteur soit concevable... Farfelu, on est d'accord, mais cela donnerait près de 150 cm d'écart entre la base et le sommet.
Je trouve ça étonnant et plutôt amusant. wink

Bravo à tous. smile

 #22 - 07-01-2016 06:07:48

dhrm77
L'exilé
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La toru irrégulière...

Tu te  demandes si ce genre de problème est pris en compte dans les calculs des architectes et des ingénieurs...
Je ne sais pas si ils utilisent encore les fils a plomb pour des structures aussi grandes, mais au cas ou il veulent conserver une largeur de 250m jusqu'au sommet, la difference d'angle entre la verticale ideale et la verticale actuelle des murs se serait que de 0.0011 degrés. Completement imperceptible a l'oeil.
Je suppose que pour de telles structures, ils utilisent des systemes de mesures au laser.


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 #23 - 07-01-2016 07:14:46

golgot59
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la tour irréfulière...

De toutes façons, le fait de garder les murs parallèles va dans le bon sens : Les 2 murs penchent alors l'un vers l'autre, lui conférant une structure en pyramide tronquée, plus solide qu'un pavé droit !

 #24 - 07-01-2016 07:20:13

engine
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Messages : 351

La touur irrégulière...

J'ai envie d'introduire un effet de relativité générale dans ce problème roll


plouf

 #25 - 07-01-2016 16:17:51

Laidzep
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La tour irréguliière...

golgot59 a écrit:

De toutes façons, le fait de garder les murs parallèles va dans le bon sens : Les 2 murs penchent alors l'un vers l'autre, lui conférant une structure en pyramide tronquée, plus solide qu'un pavé droit !

La pyramide est renversée, les murs auront plutôt tendances à s'écarter. wink
Mais effectivement, ça ne doit pas impacter grand chose en terme de structure, les tours de ce type sont de toute façon souples, elles peuvent subir des variations de quelques mètres.

J'ai envie d'introduire un effet de relativité générale dans ce problème roll

Je t'en prie... smile

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