Enigmes

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 #1 - 14-09-2009 22:39:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,090E+3

Un tour de carte

Un petit tour rigolo pour les experts en calcul mental .

Tu distribues les 52 cartes d'un jeu en demandant au public d'écrire un entier sur chacune des cartes ( chacun écrit un nombre sur une carte sans voir ce que les autres écrivent ) . Tu annonces alors que tu vas ramasser les cartes et en exhiber deux dont la somme ou la différence est un multiple de 100 .

Ton tour marche-t-il à coup sûr ?

Bon courage !!!

Vasimolo



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 #2 - 14-09-2009 23:17:00

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Un tour d cartes

Joli coup !
Il faut bien vérifier que tout le monde écrit un nombre car le tour ne marche plus avec 51 cartes.
En regroupant les restes modulo 100 de la façon suivante : {0}, {50}, {1;99}, {2,98}, ... {49;51}, on obtient 51 ensembles. Pour que le tour échoue, il faudrait piocher dans 52 ensembles différents...
Bon courage pour chercher la bonne paire si elle est unique lol


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 15-09-2009 00:58:29

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

un tour de caryes

oui !

en travaillant modulo 100 (en igrorant les chiffres au dela de la dixaine)

si tu en as deux identiques, alors leur difference est un multiple de 100.
par exemple
152 et 452.

si tu n'en as pas deux identique en ayant 52 chiffres entre 0 et 99, alors il y en aura obligatoirement 2 dont la sommes feront 100.
en effet, il existe 49 couples dont la sommes est 100, plus 2 chiffres ne formant de couple dont la somme est 100 (0 et 50).
il est donc possible d'avoir 51 chiffres disctinct sans former de couple, mais le 52eme formera un couple.

bon spas tres formel, je m'excuse, mais je pense que le raisonement est bon.

 #4 - 15-09-2009 03:19:29

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Un tour dde cartes

Pour que le tour ne soit PAS possible il faut qu'aucun nombre de soit congru a un autre modulo 100, sinon par soustraction on obtient un multiple de 100.
Donc il faut que chaque nombre modulo 100 donne 52 resultats differents.
parmis c'est 52 resultats, il y a forcement 2 modulos qui additionné l'un a l'autre feront 100. Pour que ce ne soit pas toujours possible il faut au plus 50 cartes, avec 52, on doit pouvoir trouver au moins 2 couples de cartes dont la somme ou la différence est un multiple de 100.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 15-09-2009 09:08:26

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Un ttour de cartes

Je regarde les restes des nombres modulo cent.
Si deux restes sont égaux alors la différences des deux nombres est multiple de cent.
Sinon il y a 52 restes différents. Les restes sont répartis de la manière suivante : 0, 50 et 49 couples [latex](x, 100-x)[/latex] avec [latex]x \in [1, 49][/latex] . Donc même si les restes 0 et 50 sont présents il existe au moins 50 restes parmi les valeurs des 49 couples. D'après le principes des tiroirs à chaussettes il y aura forcément un couple complet. La sommes des nombres correspondant à ce couple de restes sera trivialement (^^) un multiple de 100.

 #6 - 15-09-2009 10:17:28

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1558

Un tor de cartes

Eh oui c'est possible !
Demonstration:
1) si on trouve deux nombres a et b tels que a=b[100], alors dans ce cas a-b = 0 [100]

2) sinon, ça signifie que tous les restes de la division par 100 sont differents les uns des autres. Il y a 100 restes possibles, qu'on peut grouper en 50 paires (i; 100-i) avec i compris entre 0 et 50. Etant donné qu'on a 52 nombres à disposition, on complete au moins une des paires: dans cette paires, on a donc deux nombres a et b tels que a=i[100] et b=100-i[100], donc a+b=100[100] ou encore a+b est un multiple de 100.

CQFD

 #7 - 15-09-2009 10:20:57

Comi
Visiteur

un toue de cartes

Un entier c'est bien 1,2,3,4,5....?
Pasque si c'est le cas le tour ne marche pas a tout les coups, imaginons on tire le 3 et le 5
3+5=8 pas multiple de 100 (ou alors on a pas la meme definition)
5-3 = 2 pas multiple de 100 non plus
3-5 = -2 pas multiple de 100...

Ou alors j'ai du faire une erreur

 #8 - 15-09-2009 11:18:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un tour dee cartes

S'il n'est possible de créer aucune différence qui soit un multiple de 100, alors les 52 nombres ont 52 restes différents après une division par 100. Alors il y a forcément deux de ces restes qui font 100 ensemble, car on peut trouver au plus 51 nombres tels qu'il soit impossible de faire un multiple de 100 en en additionnant deux (exemple : tous les entiers de 0 à 50... ou des équivalents à 100 près).

Donc le tour marche à coup sûr... bien que des fois il nécessite un certain temps pour trouver deux bonnes cartes smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 15-09-2009 13:54:09

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

un your de cartes

Prenons nos entiers et ne gardons que leurs restes dans la division par 100.

Ils appartiennent à {0,1,...,98,99}
Gardons ces restes et créons des tiroirs.

Raisonnons par l'absurde:

Le tiroir 0 ne peut contenir qu'un entier.
Le tiroir 50 ne peut contenir qu'un entier (s'il en contient deux ou plus, la différence laisse un reste nul).

Pour les restes "r" différents de 0 et 50, il ne doit y avoir qu'un entier dans le tiroir (sinon la différence laisse un reste nul) et aucun dans 100 - r, sinon la somme laisse un reste nul.

Il n'y a au maximum que 98/2= 49 possibilités.

49+1+1 = 51

Or il y a 52 entiers.

Donc le tour marche toujours.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 16-09-2009 01:58:22

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Un our de cartes

S'il y en a 2 qui  marquent la même chose en faisant la différence entre les 2 cela fait 0 et ca marche

Si personne ne marque la même chose on pourra toujours trouver 2 cartes dont la somme ou la différence est égal à à un multiple de 100 car il y a plus de 50 cartes  distribués

 #11 - 18-09-2009 12:19:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,090E+3

in tour de cartes

Nombreuses participations et beaucoup de bonnes réponses big_smile même si les explications ne sont pas toujours très claires mad

Attention 51 cartes ne suffisent pas !!!

Bravo à Scrablor , Bamby2 , dhrm77 , scarta , MthS-MlndN , papiauche , gabrielduflot .

Vasimolo

J'ai une panse donc j'en suis

 #12 - 06-10-2009 13:41:39

Enelya IV
Visiteur

Un tour de carets

Je n'ai pas vraiment compris la question.
Le public peut marqué le nombre qu'il veut ? Donc 10000 est un nombre possible ?
Une partit de l'énoncé est pas très clair, ou alors je comprend mal :s

 #13 - 06-10-2009 14:23:37

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 152

n tour de cartes

tout a fait le public peut noter 1000000000
mais n'oublie pas que la somme de 2 devra etre un multiple de 100. wink

attention, il faut 52 cartes pour que ca marche, a 51, il se peut que non (ce que tout le monde n'a pas remarqué).

 #14 - 06-10-2009 14:25:38

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

un tour de carteq

Vasimolo a écrit:

même si les explications ne sont pas toujours très claires mad

Pas la peine de tirer cette tronche... Toi tu t'en fous, tu connaissais déjà la réponse... hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 06-10-2009 15:58:38

Enelya IV
Visiteur

un tour dr cartes

Olalala, je suis vraiment pas, si on a 1 et 12, comment ça peut marcher là ?

 #16 - 06-10-2009 16:22:16

bagouze
Expert de Prise2Tete
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Messages : 589
Lieu: Lille

Un tuor de cartes

Il a dit qu'il était certain d'y arriver en formant une paire de son choix parmi les 52 cartes, pas en tirant 2 cartes au hasard wink wink


"Nous sommes tous dans le caniveau, mais certains d'entre nous regardent les étoiles." (O. Wilde)

 #17 - 06-10-2009 16:31:36

Enelya IV
Visiteur

Un tour de caartes

Ahh !! Okey, je comprend le problème, c'est bien jouer. Mais je comprend pas pourquoi 52 et pas 51.

 #18 - 06-10-2009 17:02:11

bagouze
Expert de Prise2Tete
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Messages : 589
Lieu: Lille

Un otur de cartes

Parce que si 51, tu peux te retrouver avec tous les entiers (y compris le 0) de 0 à 50, cas dans lequel tu ne peux pas trouver de multiple de 100 quelle que soit la paire choisie....


"Nous sommes tous dans le caniveau, mais certains d'entre nous regardent les étoiles." (O. Wilde)

 #19 - 06-10-2009 18:08:02

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Un tour de cares

Effectivement ca ne marche pas toujours avec 51. J'avais raté le coup du 0 et 50. Il faut donc au moins 52 cartes


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #20 - 06-10-2009 19:57:58

Enelya!
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 117

un tour fe cartes

Euh, et si tout le monde écris 55 ? Par exemple...
Ca ne marche plus, car :
55 + 55 = 110
55 - 55 = 0

 #21 - 06-10-2009 20:00:31

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

un your de cartes

Ben si : 0 est un multiple de 100, à ma connaissance...


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 #22 - 06-10-2009 20:03:49

Enelya!
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 117

Un tour de cates

Euh, non... Sinon tout les PGCD de tout les nombres serrait 0... Et les nombres premier n'existerais plus... Enfin je suis pas sûr de ce que j'avance mais bon :s C'est ambiguë !

 #23 - 06-10-2009 20:09:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

un toir de cartes

Ce n'est pas ambigu, c'est toi qui te fourvoies...

Le PGCD est le plus grand commun diviseur, et tous les nombres sont divisibles (au moins) par 1 et par eux-mêmes, donc le plus petit PGCD possible de deux nombres est 1.

Quant à un nombre premier, c'est un nombre admettant exactement deux diviseurs, et on se fout de 0 car il ne divise aucun nombre... (les divisions par zéro étant interdites dans tout pays civilisé depuis la convention de Genève contre la torture des mathématiciens)

Quant à la définition d'un multiple : P est un multiple de n s'il existe un entier k tel que P=nk. 0 est donc multiple de n'importe quel entier (y compris lui-même), et diviseur d'aucun (pas même lui-même), ce qui est normal vu qu'il est l'élément absorbant de la multiplication sur R, et donc sur N (et hop ! un peu de généralisation ne fait jamais de mal).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 06-10-2009 20:19:51

Enelya!
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 117

Un tour de carte

D'accord, j'ai un peu confondue je l'avoue sad
En tout cas, très belle énoncé !
Et merci beaucoup pour ton explication MthS-MlndN ! Je te laisse te pencher sur un autre problème smile

 #25 - 07-10-2009 01:41:37

testing
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 10

un toue de cartes

Oui
Comme c'était simple je donne aussi la probabilité d'avoir cette réponse : 1 chance sur 2.

 

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