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 #1 - 03-05-2010 00:40:18

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1957

Touur de magie

Bon, ok, la magie n'existe pas, tout le monde sait ça: y'a forcément un truc. Donc votre boulot, ça sera d'expliquer ce truc !

Un truc bien connu pour savoir si un nombre est un multiple de 9: on additionne les chiffres de notre nombre. Un peu d'arithmétique prouve ce résultat sans trop de souci. Mais pour autre chose que 9, on fait comment ?
Magie magie: soit un nombre N premier avec 10 (autrement dit, N finit par 1, 3, 7 ou 9)
On définit le nombre D comme ceci:
> Si N finit par 1: N = 10a+1
Alors D = 9a+1
> Si N finit par 3: N = 10a+3
Alors D = 3a+1
> Si N finit par 7: N = 10a+7
Alors D = 7a+5
>Enfin, si N finit par 9: N = 10a+9
Alors D = a+1

Enfin, dans tous les cas, si D > N/2, on peut tout aussi bien prendre D' = D-N, le but étant d'avoir D le plus petit possible en valeur absolue pour faire des calculs simples.
Ayant trouvé ce nombre D, on se pose la question: un nombre P est-il divisible par N? La réponse est oui si et seulement si P sans son dernier chiffre + D * le dernier chiffre de P est divisible par N.
Autrement dit, si P = 10a+b avec 0<=b<=9, alors P est un multiple de N si et seulement si a+D*b est un multiple de N. Magique !

Exemple: Je cherche les multiples de N = 89. D = 9
109826 est un multiple de 89 si et seulement si
10982 + 6*9 = 11036 est un multiple de 89 si et seulement si
1103 + 6*9 = 1157 est un multiple de 89 si et seulement si
115 + 7*9 = 178 est un multiple de 89 si et seulement si
17 + 8*9 = 89 est un multiple de 89, ce qui est vrai (109826 = 1234*89)

374962 est un multiple de 89 si et seulement si
37496 + 2*9 = 37514 est un multiple de 89 si et seulement si
3751 + 4*9 = 3787 est un multiple de 89 si et seulement si
378 + 7*9 = 441 est un multiple de 89 si et seulement si
44 + 1*9 = 53 est un multiple de 89, ce qui est faux (374962 modulo 89 = 5)

Le dernier exemple montre un truc important: on se fiche de savoir la valeur de P % N, uniquement de savoir si c'est 0 ou pas.

A vous de jouer

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 #2 - 03-05-2010 17:23:16

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Tour de magiee

Soit P = 10a+b
et N = 10c+d

comme N premier avec 10, on fait la différence P - 10 (a+Db) et on cherche le modulo N... Si c'est 0 tout le temps (ce qu'on va montrer), c'est que P et a+Db sont divisibles en meme temps par N (ie soit tous les deux, soit aucun... et en effet, on se moque de la valeur du modulo si ce n'est pas 0 ; parce qu'il ne s'agit pas de dire ici que P et a+Db ont meme modulo mais bien que celui s'annule en meme temps pour les deux, ce qui équivaut à ce qu'ils soient divisibles par N en meme temps.).

Donc P-10(a+Db) = 10a+b-10a-10Db = (1-10D)b
(la raison pour laquelle on a enlévé 10(a+Db) est là : on a plus besoin de s'occuper du terme "a" dont on doit se séparer vu qu'on ne connait rien sur lui et qu'il peut valoir n'importe quoi. N et 10 étant premiers entre eux ca nous arrange bien...)

Et on cherche donc le modulo N de (1-10D)b ; disjonction de cas :

si d=1 ; N=10c+1 ; D=9c+1 ;
    (1-10D)b = (-90c-9)b = -9Nb == 0 mod N
si d=3 ; N=10c+3 ; D=3c+1 ;
    (1-10D)b = (-30c-9)b = -3Nb == 0 mod N
si d=7 ; N=10c+7 ; D=7c+5 ;
    (1-10D)b = (-70c-49)b = -7Nb == 0 mod N
si d=9 ; N=10c+9 ; D=c+1 ;
    (1-10D)b = (-10c-9)b = -Nb == 0 mod N

Ce qui termine la preuve.

 #3 - 04-05-2010 17:46:05

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Tour de maagie

C'est joli effectivement malheureusement mon explication sera un peu mathématiques, il se trouve que l'on étudie les divisibilités par N, on se place donc dans le groupe Z/NZ. Dans ce groupe 10 est premier avec N par définition donc il est inversible, autrement dit il existe un entier mettons D (par pur hasard) tel que 10D=1 mod N

Vérifions ça si N=10a+1
on a bien 10(9a+1)=90a+10=9(10a+1)+1=1 mod N, on prends donc D=9a+1

si N=10a+3
on a 10(3a+1)=30a+10=3(10a+3)+1=1 mod N, on prends D=3a+1

si N=10a+7
on a 10(7a+5)=70a+50=7(10a+7)+1=1 mod N, on prends D=7a+5

enfin si N=10a+9
on a 10(a+1)=10a+10=1 mod N, on prends D=a+1

Maintenant que l'on a remarqué que D est l'inverse de 10 ds Z/NZ (autrement dit [latex]10^{-1}= D \ mod \ N [/latex] , l'equivalence devient plus évidente

pour P=10a+b, on a
[TeX]10a+b=0 \ mod \ N
a+10^{-1}b=0 \ mod \ N
a+Db=0 \ mod \ N
[/TeX]
Ce qu'on voulait démontrer

 #4 - 05-05-2010 16:56:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,410E+3

Toour de magie

Bon en fait c'est tout bête ( le plus dur est de digérer les notations mad )

[latex]10D[/latex] est défini par [latex]9N+1[/latex] , [latex]3N+1[/latex] , [latex]7N+1[/latex] ou[latex] N+1[/latex] . Tout ça pour dire que [latex]10D-1[/latex] est divisible par [latex]N[/latex] . Considérons maintenant un entier [latex]x[/latex] pour lequel on se demande s'il est divisible par [latex]N[/latex] et notons [latex]b[/latex] son dernier chiffre . Tu demandes d'expliquer pourquoi [latex]x[/latex] est divisible par [latex]N[/latex] si et seulement si [latex]y=\frac{x-b}{10}+bD[/latex] est divisible par [latex]N[/latex] . Comme [latex]N[/latex] et [latex]10[/latex] sont premiers entre eux , [latex]y[/latex] est divisible par [latex]N[/latex] si et seulement si [latex]10y=x+(10D-1)b[/latex] est divisible par [latex]N[/latex] c'est à dire quand [latex]x[/latex] est divisible par [latex]N[/latex] car  [latex]10D-1[/latex] est divisible par [latex]N[/latex]  .

C'est plutôt efficace quan D est petit , sinon j'en doute smile

Vasimolo

 #5 - 06-05-2010 10:20:32

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1957

oTur de magie

Bonnes réponses. Bravo à tous
Vasimolo, D n'est pas forcément toujours très petit, mais il est en tout cas bien inférieur à N:
N = 10a+1 => D = 9a+1 ou encore -a, environ 10 fois pus petit que N
N = 10a+3 => D = 3a+1, environ 3 fois plus petit que N
N = 10a+7 => D = 7a+5 ou encore -3a-2, environ 3 fois plus petit que N
N = 10a+9 => D = a+1, environ 10 fois plus petit que N
Et comme (pour ma part en tout cas) une multiplication d'un chiffre entre 0 et 9 avec un nombre à N chiffres et plus facile à réaliser de tête qu'une division d'un gros nombre avec un nombre à N+1 chiffres, ça fait que j'aime bien utiliser ça, c'est assez pratique (j'avoue, uniquement quand j'ai pas de calculette sous la main).
Sinon, on peut s'en servir unqiuement dans les cas qu'on juge "pratiques" genre division par 109: D = 11, donc un nombre qui s'écrit abcdefg par exemple est divisible par 109 si abcdef + gg  est divisible par 109; ou encore division par 111, D = 100 ou encore D=-11, donc un nombre qui s'écrit abcdefg par exemple est divisible par 111 si abcdef - gg  est divisible par 111

 

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