J’ai suivi plusieurs pistes avant de trouver cette méthode grossière mais qui semble marcher. Je compte sur vous pour valider / invalider la démarche…

Tout le monde a compris qu’il faut distinguer l’ensemble des nombres  qui sont premiers ou puissances de nombres premiers.

Très grossièrement, cet ensemble  est inclus dans l’ensemble composé des nombres premiers et de tous les nombres « puissances » (s’écrivant x^k avec k>=2)

La densité des nombre de nombres premiers (conséquence immédiate du théorème des nombres premiers) tend vers 0 quand n tends vers l’infini.

Par ailleurs, on peut approximer pour x grand  (x+1)^k – x^k ~=kX^(k-1)
La fréquence (probabilité) qu’a x d’être une puissance kieme d’un nombre est donc de l’ordre de 1/ (k x^(k-1))

A n donné, la « probabilité » que x soit une puissance kieme quelconque d’un nombre avec k<=n est inférieure  (pas égale à cause des cas où le nombre est puissance de plusieurs nombres) à la somme de fréquences kieme avec k<=n soit :
1/(2x) + 1/(3x^2) +…+ 1/(k*x^(k-1))<= (1/2x) * ( 1 + 1/x +… + 1/x^(k-2) ~= 1/(2x)  pour x grand qui tend vers 0 quand x tends vers l’infini (à la vitesse des puissance 2 qui prédominent logiquement cette catégorie quand x devient grand)

La densité des nombres « puissance » tend donc vers 0

En reprenant les différents énoncés, on a bien la densité de nos nombres « à distinguer » qui tend vers 0 donc  la suite étudiée dans le problème tend vers 1.

Je pense qu'il y a une erreur pour la densité, car si la densité 1/((x+1)^k – x^k) est bien valable, elle l'est au voisinage de x^k et non au voisinage de x.

Pour une puissance donné k, de 1 à x on cumule environ x^(1/k) puissance de k,
pour avoir la densité il suffit de dérivé la formule : x^(1/k-1) / k

Le problème est que sommer ces termes sur k diverge. Ça parait paradoxale, mais ça s'explique du fait qu'on compte plusieurs fois certains nombres, notamment le 1 puissance de tous les k (il faudrait aussi se limiter aux k premiers), et aussi du fait qu'il y a un arrondis à la valeur entière de x^(1/k) difficile à prendre en compte dans l'analyse.

En fait le calcul de la densité des nombres puissances est suffisamment compliqué pour donner lieux à une autre énigme je pense