FAQ fr.sci.maths (partie 1/3)

n  note  0.9999... (avec les  points de suspension)  pour  désigner  un
« nombre » qui se termine par une  infinité  de  9.

Et donc, est-ce que 0.999... (avec une infinité de  9)  est  égal  à 1 ?
OUI ! Voici  5  arguments pour vous en convaincre.  Les 3 premiers n'ont
absolument  aucune rigueur  et ne peuvent pas être  considérés comme des
démonstrations  mathématiques,  mais  ils  sont  plus  simples  et  plus
convaincants  pour les gens  qui n'ont pas forcément  les  connaissances
mathématiques nécessaires pour accepter les 2 autres.

a) On part de :
             1/3 = 0,33333...
    On multiplie par 3 des deux côtés :
             3 * 1/3 = 3 * 0,33333...
    Ce qui donne :
             1 = 0,99999...

b) On pose x = 0,99999...
    On multiplie par 10 des deux côtés : 10 * x = 9,99999...
    On soustrait les deux expressions côté par côté :
       10 * x - x = 9,99999... - 0,99999... = 9,00000...
   Donc 9 * x = 9, c'est-à-dire x = 1, d'où 0,99999... = 1


c) Un argument très court se déduit du fait suivant :
    "si 2 nombres réels  sont différents, alors il en existe au moins un
     3ème  entre  les  deux,  différent  des  deux  autres".
    (ce  troisième  nombre  peut  être  la  moyenne  entre   les   deux)
    Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,99999... et 1 ;  ils
    sont donc égaux.

Pour  les  arguments  plus  rigoureux,  il  faut  commencer  par définir
proprement ce qu'est 0,99999...

En écrivant 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... , on définit 0,9999...
comme une série géométrique  (c'est-à-dire une somme dont  chaque  terme
est  égal  au  précédent  multiplié  par  une  constante,   ici   1/10 -
on dit que c'est une série géométrique de  raison 1/10),  et  on  écrit:
(inf. signifie "infini")
                           n
                          ___
                          \     9
     0,99999... := lim     )   ---
                  n->inf. /__    i
                          i=1  10

d) On peut facilement montrer que la somme des n premiers termes d'une
    série géométrique de raison q et de premier terme a vaut :
                        n
                   1 - q
          S = a * -------
           n       1 - q

    Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini si  et
    seulement si q est strictement plus petit que 1, et cette limite est
    alors :

                a
          S = -----
              1 - q

    Ici, a=0,9, q=1/10, ce qui est plus petit que 1, donc

                 0,9           10
          S = -------- = 0,9 * --  = 1
              1 - 1/10          9

    Donc 0,99999...=1

e) L'argument le plus direct est de vérifier directement, à  partir  de
    la définition de la limite, que 1 est la limite pour n tendant  vers
    l'infini de la série

            n
           ___    9
           \     ---
      S =  /__     i
       n   i=1   10


    Cela signifie qu'à condition de prendre suffisamment de  termes dans
    la série, on peut s'approcher  d'aussi  près  de  1  que  l'on  veut
    (c'est-à-dire rendre la différence | 1 - S_n | aussi petite que l'on
    veut).

    Mathématiquement, cette définition de limite s'écrit :
    (eps signifiant "epsilon")

       Quel que soit eps, il existe n_0 tel que pour tout n>n_0,
       on a |1 - S_n | < eps

    En calculant

     |       n        |
     |      ___    9  |     1
     |      \     --- | = -----
     | 1 -  /__     i |     n+1
     |      i=1   10  |   10

    on voit facilement que si n  (nombre  de  termes)  est  suffisamment
    grand, alors notre somme peut s'approcher d'aussi près que l'on veut
    de  1, puisque leur différence, 1/(10^(n+1)) devient de plus en plus
    petite quand n augmente.

    Pour être plus précis, si on se donne eps,  la  différence  maximale
    que l'on s'autorise, alors il suffit de  prendre:
    (log représentant le logarithme en base 10)

       n_0 > - log(eps) - 1

    Si n > n_0, on aura alors :

     |       n        |
     |      ___    9  |     1
     |      \     --- | = -----   < eps
     | 1 -  /__     i |     n+1
     |      i=1   10  |   10

    la condition est respectée, donc la limite vaut 1, et 0,99999...=1

Bonjour et bienvenue,


1/3 = 0,33333... (une infinité de 3)

x 3

3/3 = 0,99999... (une infinité de 3x3 = 9)
= 1

Donc je choisis A)

Salut,
1=0,99999...
J'ai deux solutions, soit on pose x=0,9999 et 10x-9=x donc x=1.
Soit on écrit 0,9999=série(9*(1/10)^(i))=9*une somme géométrique=(9/10)*(1/(1-1/10))=(9/10)*(10/9)=1.
La première est plus élémentaire et la seconde permet d'utiliser le développement décimal explicitement.
Morgan

Ce n'est pas une énigme, et un post a déjà été fait là-dessus :

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=3217

Je résume vite fait : soit X = 0,999999...
Alors 10 X = 9,9999..... = 9 + X
Et 10 X = 9 + X nous donne X=1

Ceci étant dit, bienvenue

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999..

je crois que déjà vu sur p2t...

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=81

réponse a)
0.999999.../3=0.33333...=1/3
1/3*3=1

T'inquiète, tout le monde est bienvenu ici (Même si des fois on vanne fort !)

C'est une série géométrique de somme 1.
Ou encore 3*(1/3).

Mathématiquement ce nombre est égal à 1.
Scientifiquement ce nombre est différent de 1.

Il faut savoir qu'en science l'infinie est une valeur définie car rien est infinie. Par sa définition l'infinie utilise des éléments rationnel et finie, ce qui est enfaite contradictoire par rapport à sa pensé.
Enfin je m'exprime mal, mais la réponse est là

Pour faire clair, en math, l'infinie est bien infinie, donc concrètement on ne peut jamais dire la réponse, donc oui.
En science c'est une valeur fixe, donc non !

mwa je dit la rep b) pck 0,9999999999et 1 il y a 1 dizième de difference et en math sa fai bcp:)

Je suis vraiment nul en math et je ne comprends pas que l'on puisse dire que:
0,9 = 1 (inutile de me le démontrer, j'ai déjà lu les réponses et je n'y ai rien compris !)

Si je doit envoyer l'un de vous sur une planète à des milliards d'année lumières et que au lieu de régler mon viseur à 1° de je le règle à 0,999...° êtes vous sur d'arriver à destination même si cette planète fait dix fois le soleil ?
Spoiler : [Afficher le message] Ou je suis complètement à coté de la plaque ?!

J'aime cette discussion !

[mode adolescence]Si tu divise ton écart par 10 en ajoutant un 9 à chaque fois (même à l'infini)
tu va en effet vers la direction du "1" mais tu ne l'atteindra jamais aussi petite soit la différence, non?[/mode adolescence]

En plus je viens de faire des recherches et j'aime bien ne pas être d'accord sur ce coup là !