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 #1 - 31-07-2016 15:50:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Infinimnet pair ?

Bonjour à tous,

Le polynome n²+a, dans lequel n peut prendre toutes les valeurs de IN, et "a" est un paramètre de IN, existe t'il des valeurs de "a" pour lesquelles ce polynome est divisible par n'importe quelle puissance de 2 ?

Bon amusement

PS:
Exprimée par l'écriture mathématique, la question est :

Autrement dit pour a∈N donné, on etudie l'assertion
∀k∈N, ∃n∈N, ∃q∈N, n2+a=q*2^k

Merci Masab.



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 #2 - 31-07-2016 17:41:10

Agid1915
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 44

infinilent pair ?

https://benvitalenum3ers.wordpress.com/ … as-x2-7y2/

Tu as 2^k=x^2+7*y^2

Tu multiplies par un nombre carre z^2 les 2 membres gauche et droite

Tu aurais z^2*2^k=(zx)^2+7*(yz)^2

Et tu retrouves ton nombre a

q*2^k=n^2+a

ou q=z^2
n=zx
et a=7*(yz)^2

 #3 - 31-07-2016 18:31:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Inifniment pair ?

Non Agid, ce n'est pas tout à fait le même problème: il n'y a ici qu'une variable carrée, au lieu de 2 dans ta référence.
Il m'arrive parfois, faute d'inspiration, de faire connaitre un problème déja proposé, j'ai quelques bonnes sources à disposition, mais je la cite autant que possible.
Mais je préfère de loin poser une question originale, venue d'une manip perso. Cette question en est une. Parfois, bien entendu, la question peut être connue parce que trop scolaire ou trop généraliste.
En général, mes questions font rarement appel à l'informatique, étant moi- même ignorant en matière de programmation. Cette question là relève de la pure arithmétique, l'informatique ici étant parfaitement inefficace.

 #4 - 31-07-2016 18:34:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2956

Infiinment pair ?

En fait, le problème que tu cites est vraiment différent, puisqu'il compare des puissances de 2 avec une expression carrée. Ici, je parle de multiples de puissances de 2. ça n'a pas grand chose à voir.

 #5 - 31-07-2016 18:47:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4734

Infinimentt pair ?

Salut Nodgim smile

J'ai été élevé à l'école Bourbaki :

Peut-on trouver un entier a tel que toute puissance de 2 ait un multiple dans l'ensemble [latex]\{n^2+a : n\in \mathbb{N}\} [/latex] ?

Vasimolo

 #6 - 31-07-2016 19:12:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Ininiment pair ?

Oh là là, j'ai fait un gros contre sens dans l'énoncé ! Il faut lire que n²+a est multiple et non diviseur d'une puissance de 2.
Mille pardons !

 #7 - 31-07-2016 19:50:14

Agid1915
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 44

Ifiniment pair ?

On peut tirer du probleme que j`ai signale la solution a ton enigme puisqu`on a les puissances de 2. Une simple question d`arithmetique.
Sinon pour les multiples des puissances de 2 tu as entre autres les nombres de Sierpinski qui sont de la forme N=k*2^n + 1
Comme Nest un impair compose, le reste se deduit.
Bref, je suis decu.
On a toutes les equations diophantiennes a solutions connues et autres equations diverses (geometrie, trignonometrie,analyse, probas etc...) qui peuvent servir de point de depart a une enigme. Une infinite d`equations a solutions connues!!! Et certains minus  vont copier-coller!!!! Il suffit de partir du monde reel, formaliser et remonter la pente jusqu`a l`equation voule.
Je sors!

 #8 - 31-07-2016 20:16:48

masab
Expert de Prise2Tete
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unfiniment pair ?

Autrement dit [latex]n^2+a[/latex] doit être pair (donc multiple de 2) et avoir au moins 2 facteurs premiers distincts (donc distinct d'une puissance de 2).

 #9 - 01-08-2016 08:00:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Infiniment pai ?

Pas forcément 2 facteurs premiers distincts, masab. La question est de savoir si, pour un "a" donné, il existe un n tel que n²+a est divisible par une puissance de 2 aussi grande que l'on veut.
Par exemple n² + 11 peut il être divisible par 16 ou 32 ou... ?

 #10 - 01-08-2016 09:05:18

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 682

Infinniment pair ?

Autrement dit pour [latex]a\in\mathbb{N}[/latex] donné, on etudie l'assertion
[TeX]\forall k\in\mathbb{N},\ \exists n\in\mathbb{N},\ \exists q\in\mathbb{N},\ n^2+a = q\, 2^k\ [/TeX]

 #11 - 01-08-2016 11:55:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Infiniment air ?

Si j'ai bien compris ta question ( il y a un problème avec les quantificateurs ) , tu demandes quels sont les entiers a pour lesquels -a est toujours un résidu quadratique dans [latex] \mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}[/latex] quel que soit la valeur l'entier naturel k .

Vasimolo

 #12 - 01-08-2016 12:20:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Infinimetn pair ?

@ Masab et Vasimolo : c'est bien là l'énigme posée.

C'est toujours surprenant de constater l'efficacité de l'écriture mathématique quand on sait la lire mais pas l'écrire....

 #13 - 01-08-2016 12:35:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

infiniment paie ?

On trouve aisément sur wiki , les résidus quadratiques modulo [latex]\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z}: 0 \text{ et } 4^k(8m+1)[/latex] . [latex]a=0[/latex] est une solution évidente , et j'ai bien l'impression qu'aucune des autres ne fonctionne sad

Vasimolo

 #14 - 01-08-2016 18:19:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Infiniment pair

Sans doute Vasimolo, mais il faudrait justifier tout ça.

Ce n'est pas long à faire, quand on a la méthode.

Problème du genre qui te plait, il me semble.

 #15 - 01-08-2016 19:00:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Infinimeent pair ?

nodgim a écrit:

Problème du genre qui te plait, il me semble.

Pas vraiment en fait , j'ai répondu parce que je ne comprenais rien à la question . Sans blaguer , ces exercices purement formels ne m’intéressent plus vraiment ( c'est l'âge ) . Cette question est peut-être issue d'un problème concret que tu t'es posé et qui pourrait m'intéresser ( et me motiver smile ).

Je me souviens m'être posé ce genre de questions quand je m’énervais sur la conjecture de Syracuse ( passion que nous avons eu en commun , il me semble ) .

Vasimolo

 #16 - 02-08-2016 09:27:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Infiniment piar ?

En effet Vasimolo, c'est en m'amusant (on s'amuse comme on peut) sur les nombres de la forme 4n²+1 que je m'étais fait la réflexion que tout nombre premier qui apparaissait au moins une fois dans la décomposition de ces nombres devait être présent à n'importe quelle puissance dans l'un des nombres, ce qui est vrai. J'en avais presque déduit une généralisation, avant d'examiner le curieux cas des puissances de 2.

 #17 - 02-08-2016 13:57:08

Tryamori
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 9

infinument pair ?

J'imagine qu'il faut préciser a non nul?
Parce qu'avec a nul on a au moins une solution en posant n=2^k.

Cordialement

 #18 - 02-08-2016 18:57:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

infibiment pair ?

@Tryamori: Ben oui, pour a=0, on trouvera tjs un n tel que n² est divisible par n'importe quelle puissance de 2.
C'est un bon début. Il y a normalement d'autres valeurs de a pour lesquelles ça marche également.

Comme ça semble un peu hésiter, vous pouvez tjs donner des valeurs de a pour lesquelles ça ne marche pas. C'est tout de même plus facile à trouver. Partant de là, vous pourrez alors, par la suite, émettre une conjecture pour les valeurs qui semblent convenir.

 #19 - 02-08-2016 22:56:56

Tryamori
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 9

Infinimentt pair ?

Clairement, pour a congru à 1 ou 2 modulo 4, c'est impossible.

Un examen rapide des autres cas laisse à penser qu'on peut y arriver pour une valeur de a de la forme 2^r - 1 (r>=2) avec une méthode de construction du n en fonction de k.

Il faudrait alors regarder en détail afin d'identifier d'éventuels cas supplémentaires..

 #20 - 03-08-2016 09:24:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Infniment pair ?

C'est presque ça Tryamori. Manque tout de même une dimension aux cas favorables. La méthode constructiviste qui t'a permis d'arriver à ce résultat ressemble à la mienne, il faudrait que tu détailles un peu. Il te reste maintenant à prouver que les cas qu'on soupçonne favorables marchent toujours...

Je donne du temps supplémentaire.

 #21 - 03-08-2016 12:30:21

Tryamori
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 9

infinimeny pair ?

Avec a=2^r-1 il faut n tel que n² congru à 1-2^r modulo 2^k.

On peut considérer k suffisamment grand, puisque si ça marche pour ce k, c'est bon pour toutes les valeurs inférieures.
Et il existe une façon générale de construire un entier dont le carré est congru à 1-2^r modulo 2^k.

Par exemple si r=3, donc a=2³-1=7, on trouve:

pour k=8, n²=(1-2²-2³-2⁶)² et le développement donne 1-2³ modulo 2⁸, (une solution est n=181)
pour k=9, n²=(1-2²-2³-2⁶)² et le développement donne 1-2³ modulo 2⁹ (une solution est n=437)
pour k=10, n²=(1-2²-2³-2⁶-2⁸)² et le développement donne 1-2³ modulo 2^10 (une solution est n=693)
pour k=11, ainsi de suite...

Je ne pense pas que mon schéma soit le même. Je suppose que la solution est plus astucieuse que ce schéma un peu casse-tête...

 #22 - 03-08-2016 13:59:30

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Infiniment pair

C'est quoi IN ?

 #23 - 03-08-2016 18:07:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Infinimen tpair ?

Il me semble avoir un début de réponse mais comme je suis dans la peinture jusqu'au cou , j'ai un peu de mal à aligner quelque chose de propre smile

Dans le cas ou a est impair , il me semble que par récurrence on peut monter que les seules valeurs de a qui conviennent sont celles qui sont congrues à 7 modulo 8 . Le cas où a est pair doit se ramener au cas précédent en faisant un peu attention : j'en suis là .

Vasimolo

 #24 - 03-08-2016 18:21:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Infiniment paair ?

@Tryamori: tu es allé loin dans la construction de n, du coup tu auras du mal à répertorier tous les cas possibles il me semble. C'est vrai que la preuve est constructiviste, mais pas à ce point là. Il faudrait rester plus général. Enfin à mon avis.

@Halloduda: IN ou N, c'est à dire l'ensemble des entiers naturels.

@Vasimolo:
Tes conjectures sont correctes pour l'instant. Attention à ne pas mettre trop de logarithme dans la peinture. Si tu en as jusqu'au cou, je te conseille de te procurer dans n'importe quelle bonne droguerie cet ustensile qu'on appelle brosse ou pinceau. lol

 #25 - 03-08-2016 20:42:33

Tryamori
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 9

Infiniment apir ?

Mais je suis bête! Si on trouve a impair qui vérifie la propriété, alors 4a marche aussi. Donc il suffit de se concentrer sur a impair...

Et oui, je me disais bien que ça allait être compliqué à généraliser, ce dans quoi je m'étais lancé.

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