Enigmes

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 #1 - 02-03-2017 23:36:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4905

Infiniiment fou

Puisqu’on a décidé de jouer avec l’infini , un petit problème très perturbant que je cite de mémoire .

La situation initiale est la suivante :

Chaque élément d'un ensemble infini X ( dénombrable ou pas ) est étiqueté . Les étiquettes sont des éléments ( distincts ou non ) d’un ensemble quelconque ( inconnu ) . Les étiquettes ne sont pas visibles mais on peut les découvrir en choisissant l’élément qu’elles pointent .

Voilà le défi :

Pour commencer , on peut pointer autant d'éléments de X que l’on souhaite ( même une infinité ) et regarder leurs étiquettes . Le préliminaire terminé il faut choisir un élément de X non encore révélé et deviner son étiquette .

Il est évident qu’on ne peut pas réussir le pari à 100% mais il existe une stratégie gagnante dans au moins 99% des cas madmadmadmad

Ce pari est fou et pourtant il y a une solution imparable .

Vasimolo



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 #2 - 03-03-2017 07:39:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Infiniment ffou

Salut Vasimolo.

Vu comme c'est présenté, on peut toujours choisir de découvrir l'ensemble moins un des éléments de X. Celui qui reste correspond à l'étiquette restante.
Mais bon, j'ai dû rater quelque chose, puisque je gagne tous les coups.

Je suppose bien entendu une bijection entre l'ensemble X et celui des étiquettes.

 #3 - 03-03-2017 10:30:52

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1476

infiniment fpu

Non, pas de bijection possible puisque les éléments peuvent être distincts ou non.

Ca me rappelle vaguement ce post http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 49#p152914

 #4 - 03-03-2017 11:40:47

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 189

Infinimeent fou

scarta, ça c'est le problème des secrétaires, ça m'a l'air assez éloigné quand même...

Sinon, l'énoncé m'a l'air bien flou (surtout le 99% des cas) car un ensemble quelconque, ça peut vraiment recouvrir des choses très vaste, et la définition d'ensemble varie beaucoup selon les différentes théories mathématiques (surtout depuis le paradoxe de Russel...)

Si il y a une logique sous jacente dans les étiquettes, la solution va dépendre de la logique. Si les étiquettes ont été choisies par une loi aléatoire, je pense qu'il n'y a pas vraiment moyen de trouver...

 #5 - 03-03-2017 12:40:23

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1476

Infinimnet fou

Le 99% doit correspondre à une méthode où on peut être sur du gain de manière aussi précise qu'on le veut, probablement.

Et oui, je suis d'accord que c'est pas pareil que le pb du secrétaire, mais dans l'idée, c'est trouver une valeur précise d'un ensemble inconnu.
Après la grosse différence tient au fait que le nombre de candidats est fini et connu.

 #6 - 03-03-2017 13:00:40

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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infinoment fou

 #7 - 03-03-2017 13:22:13

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1476

Infinimen tfou

Je simplifie un peu:

On définit "l'équivalence":  deux fonctions f et g sont équivalentes si f(x)=g(x) pour tout x sauf en un nombre fini de points. Elle est reflexive, symétrique et transitive (puisque l'union de deux ensembles finis est finie aussi)

On cherche ici une fonction f d'un ensemble vers un autre.
On va créer des classes d'équivalences de fonctions, c'est à dire faire des ensembles de fonctions deux à deux équivalentes.
Ensuite, via l'axiome du choix (on part du principe que cet axiome est accepté bien entendu - et il stipule que si E est un ensemble, et E' un ensemble de sous ensembles non vides de E, alors la fonction de choix de E' -> E permet de construire un ensemble en "piochant" un élément dans chaque ensemble de E'), via l'axiome du choix donc, on construit un ensemble E de fonctions en prenant une dans chaque classe d'équivalence.

Partant de là: je choisi une infinité d'éléments durant le préliminaire, pour trouver la fonction f qui correspond (au sens équivalent du terme).
Cette fonction n'est peut être pas la bonne. Qu'importe. J'ai une chance de me trompée, mais seulement sur un ensemble fini de points, pour un univers de choix infini.

Conclusion: c'est même une probabilité de 1.

On doit pouvoir alléger ça pour obtenir quelque chose de plus praticable, quitte à sacrifier le 100% de certitude pour un très acceptable 99% smile

 #8 - 03-03-2017 16:16:00

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 189

Infiniment fo

scarta
Je ne comprend pas comment tu choisis ta fonction...
Après avoir choisi une infinité de termes, tu as une infinité de classes qui contiennent une fonction qui marche, et tu peux soulever autant d'étiquettes en plus, il y aura toujours une infinité de fonctions non équivalentes qui existent...

Et si tu laisse un nombre fini d'étiquettes non retournées, effectivement, les fonctions possibles vont être équivalentes, mais ça ne résout pas le problème:
Les étiquettes soulevées ensuite ne sont choisies parmi toutes celles possibles (une infinité) mais parmi celle non encore retournées, justement celle sur lequel repose l'incertitude de ta fonction...

J'ai comme l'impression que tu utilises des théorèmes très puissant, mais qu'au final, ça brasse de l'air. A moins que je n'aie pas du tout compris ta méthode?

 #9 - 03-03-2017 16:36:21

Vasimolo
Le pâtissier
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Infinimen fou

@Nodgim : l'ensemble X est infini et même si tu pouvais choisir tous les éléments sauf 1 tu aurais une probabilité nulle de deviner la dernière étiquette .
@Scarta : Je n'ai pas épluché ta référence en anglais . Il manque des choses dans ton résumé mais il faut bien utiliser l'axiome du choix sous une forme ou une autre . On peut en effet se demander sur quel espace s'applique la probabilité de 99% ( que l'on peut en effet approcher de 100% autant qu'on le souhaite sans l'atteindre ) : cet espace existe bien smile

Vasimolo

 #10 - 03-03-2017 16:45:28

nodgim
Elite de Prise2Tete
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infinilent fou

@Vasimolo : c'est parce que je voyais une bijection et un ensemble d'étiquettes visible. Or ce n'est ni l'un ni l'autre.

 #11 - 03-03-2017 16:47:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Infinimnet fou

L'ensemble des étiquettes peut être lui aussi infini ?

 #12 - 03-03-2017 17:00:46

Vasimolo
Le pâtissier
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Infniiment fou

Oui , les étiquettes peuvent même ne pas être dénombrables .

Vasimolo

 #13 - 03-03-2017 17:29:19

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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infiniment foi

Voir l'article de Jean-Paul Delahaye dans le Pour la science de octobre 2009 (Une folie mathématique). Je suppose que c'est ta source. Il explique bien les limites de ce genre de raisonnements...

 #14 - 03-03-2017 18:05:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Infinimentt fou

Je ne connais pas cet article , si tu pouvais me donner un lien smile

Vasimolo

 #15 - 03-03-2017 18:21:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Infinimment fou

Je propose la stratégie dite des prisonniers.
On aligne tous les éléments de X et on commence à découvrir un 1er à un rang qui reste à calculer. Les éléments suivants seront ceux qui portent le numéro de l'étiquette du précédent. Quand on a fini une boucle, on repart au 1er élément caché qui suit le 1er élément qu'on a découvert. Il est possible qu'avec cette stratégie, on a beaucoup de chance qu'il ne reste, si on va suffisamment loin dans les découvertes, dans les éléments situés avant le 1er découvert, que ceux dont le rang est égal au numéro d'étiquette.

 #16 - 03-03-2017 18:26:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3137

Infiniment ou

En fait, je laisserai caché un seul élément, le 1er. S'il a un numéro plus grand que 1, on viendra le découvrir et on n'en parle plus. On choisis alors de ne pas découvrir le 1er caché suivant. S'il n'est jamais découvert, c'est que son rang a le même numéro que son étiquette.

Bon, ça reste à fignoler....

 #17 - 03-03-2017 18:34:03

Vasimolo
Le pâtissier
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Infniment fou

Non Nodgim , ça ne peut pas marcher , si le nombre d'étiquettes n'est pas dénombrable , tu pourras continuer ta ronde indéfiniment tu n'auras aucune chance d'approcher la valeur de l'étiquette suivante smile

C'est un problème vraiment tordu qui titille sérieusement l'axiomatique des mathématiques ( on ne peut pas s'en sortir avec la logique de tous les jours ) .

Vasimolo

 #18 - 03-03-2017 18:59:33

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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 #19 - 03-03-2017 19:44:55

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Infiinment fou

Ok, c'est beaucoup plus clair avec ton lien, merci Ebichu.
La solution vient du fait que l'on n'est pas capable d'exhiber une fonction telle que décrite par l'axiome du choix, ce qui rend cette procédure non réalisable en pratique.
En tout cas, cas on essaye de réfléchir aux conséquences, ou à ce qu'il est possible de faire pour justifier ce curieux résultat, ça met les neurones en bouillie... lol

 #20 - 04-03-2017 10:35:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4905

Infinient fou

Oui , vraiment intéressant cet article ( merci Ebichu ) . C'est étonnant de voir à quel point les mathématiques sont toujours en ébullition jusque dans leurs fondements : ça fait rêver smile

Vasimolo

 #21 - 04-03-2017 11:19:34

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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onfiniment fou

Mais c'est étonnant comme résultat. Est c'est aussi intéressant de voir que cela n'aboutit pas à une incohérence mathématiques tant que ZF est cohérente(démontré par Gödel), alors qu'on aurait pu penser qu'en détournant un peu ce résultat, on pourrait aboutir à une contradiction.

 #22 - 04-03-2017 11:24:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3137

Infinimentt fou

Ce que je ne comprends pas, et l'article est tout de même plutôt court pour bien tout saisir, c'est qu'on ne dit pas s'il est possible de créer l'ensemble des emblématiques tel que, quelle que soit la configuration proposée, chaque candidat ne voit qu'une seule solution possible. Cela dit, c'est peut être évident pour certains, mais je ne vois pas là.

 #23 - 04-03-2017 11:44:30

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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infiniment gou

C'est justement là que repose la subtilité du problème, car il est basé sur l'axiome du choix.

Cet axiome stipule que étant donné un ensemble, on peut extraire de chacune de ses parties non vide un élément, ce qui semble raisonnable comme résultat.
Cet axiome a été créé afin de pouvoir démontrer des existences non constructives.
Le problème est que l'on est sûr de l'existence d'une telle fonction, mais que l'on n'est pas capable de l'exhiber...

De toute manière, si tu arrivais à exhiber quelque soit la configuration une fonction qui marche, ce serait inquiétant car tu pourrais aller au bout de la procédure.

 #24 - 04-03-2017 11:58:54

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2822
Lieu: Luxembourg

infinimznt fou

Personnellement je suis complètement dépassé, comme je l'ai été en essayant de comprendre la mécanique quantique. lol

 #25 - 04-03-2017 12:20:53

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4905

Infinient fou

Ce n'est pas très grave si on ne comprend pas tout ( on peut utiliser un micro-onde sans en connaitre le fonctionnement ) , il est intéressant de savoir que ça existe .

C'est amusant de savoir qu'on ne saura jamais si le modèle mathématique qu'on utilise est cohérent mais on sait très bien qu'on peut ajouter plein d'autres axiomes sans affecter le modèle . Par exemple on peut supposer qu'il existe un ensemble se contenant comme élément ou le refuser .

Vasimolo

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