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 #1 - 26-03-2011 01:23:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Pair ou imair ?

Les olympiades de mathématiques eurent lieu le 24/03/2011, voici un des exercices que j'ai fait pour m’entraîner smile

Les nombres entiers de 1 à 2002 sont écrits en tableau. parmi eux, on choisit deux nombres, on les efface et, à la place de l'un d'eux, on écrit leur différence (le plus grand moins le plus petit), l'autre nombre restant effacé.
On recommence ... jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre écrit au tableau.

Olypiades de mathématiques Toulouse 2002.

EDIT : La question est "Le dernier nombre est-il pair ou impair" wink

Shadock smile



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 #2 - 26-03-2011 08:39:04

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Pair ou ipmair ?

La somme des nombres modulo 2 est constante.
Il y a 1001 nombres impairs entre 1 et 2002 donc la somme des nombres de 1 à 2002 est impaire.
La réponse est donc impaire.

 #3 - 26-03-2011 09:51:21

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2045
Lieu: 94110

Pair ou impaiir ?

Je me suis longtemps posé la question de savoir ce que l'on demandait !
Si c'est le nombre restant, je ne suis vraiment pas sûr que la réponse soit unique ... neutral
Mais si c'est uniquement sa parité, pour des nombres de 1 à N, c'est celle de la partie entière de (N+1)/2.
Pour N= 2002, il est donc impair. smile

 #4 - 26-03-2011 10:16:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4756

pair iu impair ?

La somme des nombres est initialement impaire ( 1001 X 2003 ) . A chaque manipulation on remplace l'un des deux entiers a ou b ( a le plus grand au sens large ) par a-b , l'autre est effacé . La somme est donc diminuée de 2b et reste  impaire .

Le dernier nombre est impair smile

Vasimolo

 #5 - 26-03-2011 10:50:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1924
Lieu: UK

pair ou impaur ?

Suivant les nombres choisis, la réponse varie de 0 à 2002.

soit la liste  1 2 3 4
1 (3-2) 4 => 1 1 4 => (1-1) 4 => 0 4 => 4
ou
(2-1) 3 4 => 1 (4-3) => 1-1 => 0

y'a un truc qui cloche ??


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 26-03-2011 11:57:18

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 482
Lieu: Ardèche

aPir ou impair ?

A chaque fois, on enlève du tableau a+b-(a-b) = 2b pair.

La somme étant au départ 2003*1001 impaire, ce qui reste à la fin est impair.

 #7 - 26-03-2011 11:58:57

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Pari ou impair ?

C'est quoi la question ?

 #8 - 26-03-2011 16:16:30

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

pair ou impaie ?

que tu les additionne ou les soustrait 2 impairs donnent un nombre pair, il faut donc compter modulo 4
2002 = 2, donc il reste 1 nombre impaire : le résultat est impair.


EDIT vu autrement, il y a 2002/2 = 1001 nombres impaires, on ne pourra pas tous les "annuler", donc le résultat est impair.

 #9 - 26-03-2011 18:52:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

pair oi impair ?

J'ai voulu tester un cas plus simple (de 1 a 3) et j'ai une réponse non unique.

2-1=1, 3-1=2

mais

3-1=2, 2-2=0

Bon, ça va pas m'aider a comprendre lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 26-03-2011 21:50:33

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pair ou imppair ?

impair.... bien entendu...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #11 - 26-03-2011 23:47:03

gasole
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Messages : 1117
Lieu: Toulouse

pair pu impair ?

1) On obtient forcément un nombre impair :

Partant d'un ensemble E dont la somme des éléments est e, on choisit A et B (B>A) et on obtient E' = E-{A,B}U{B-A}.

On a e'=e-2A, donc e' est de même parité que E, et donc que {1,...,2002} qui a une somme impaire.

2) On peut obtenir n'importe quel nombre impair. Soit k un nombre impair, la suite des entiers est : 1,2,...,(k-1),k,(k+1),...,2002

on fait : 2002-2001 (remplacés par 1), puis 2000-1999, ..., (k+3)-(k+2) --- on saute (k-1),k et (k+1)
on poursuit par (k-2)-(k-3),...,3-2 ce qui fournit un nombre impair de 1,qui  donnent 1 au total.
Il reste 1,k-1,k,k+1 et 1
ensuite, on fait (k+1)-(k-1) = 2, ce qui donne 0 avec les deux "1" restants.

Au final, il reste k. Tout seul.

 #12 - 27-03-2011 06:09:43

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Pair ou impairr ?

Tous les nombres premiers (hormis 2) étant impairs.

A la première étape :
- Si on choisi deux nombres impairs, leur différence sera paire. Donc avec 2, nous aurons deux nombres pairs dans le tableau
- Si on choisi un nombre impair et 2, leur différence sera impaire. Donc nous aurons zéro nombre pair dans le tableau

A la deuxième étape, quel que soit le cas utilisé dans la première (sans détail), nous aurons un pair ou trois pairs

A la troisième étape, nous aurons zéro, deux ou quatre pairs.

En continuant ainsi, je sens bien qu'après une étape d'ordre impair, on a un nombre pair de pairs, et inversement (après une étape d'ordre pair, on a un nombre impair de pairs).

Ainsi, à la 2011ème étape, il nous restera un nombre pair de pairs, soit zéro pair (et donc un impair).


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #13 - 27-03-2011 11:39:35

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Pair ou impaair ?

2002-2001 = 1
2000-1999 = 1
etc

Ce qui donne 1001 "1". Donc, à la fin il reste un nombre impair.

 #14 - 27-03-2011 11:40:38

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,540E+3

pair oi impair ?

Si on tire deux nombres pairs : on en écrit un pair
Si on tire deux nombres impairs : on en écrit un pair
Si on tire un pair et un impair : on en écrit un impair.

La parité du nombre de  nombres impairs ne change donc jamais.

Comme il y en a 1001 au départ, il ne peut en rester qu'un à la fin.

Le dernier nombre est donc impair.

Autre manière de voir : la parité du nombre de nombres pair varie à chaque fois.
Il y en a 1001 au départ (impair) La parité va changer 2001 fois. Il y a donc un nombre pair de nombres pairs à la fin, soit aucun.

 #15 - 27-03-2011 11:48:11

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2009
Lieu: Paris

Pai rou impair ?

Les opérations agissent sur les nombres ainsi :
1. la différence entre 2 nombres impairs est un nombre pair : on enlève 2 nombres impairs et on ajoute un nombre pair.
2. la différence entre 2 nombres pairs est un nombre pair : on enlève un nombre pair.
3. la différence entre un nombre pair et un nombre impair est un nombre impair : on enlève un nombre pair.

On remarque que toutes les opérations ne modifient pas la parité du nombre de nombres impairs (invariant)

Comme au départ on en a 1001, il y aura toujours un nombre impair de nombres impairs. Ce qui fait que lorsqu'on a un seul nombre restant, il est impair.

NB: on arrive forcément à un seul nombre, car on supprime un nombre à chaque opération.

 #16 - 27-03-2011 12:10:44

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

pair ou impaor ?

Au final, quand on y pense, ça revient à faire deux additions de 1001 termes chacune, puis de soustraire les deux résultats. Ajouter ou soustraire un chiffre pair (ou impair) ne change pas la parité du résultat, on a donc qu'a additionner tout ça pour voir : 1+2+...+2002 = 1001*2003, qui est impair

 #17 - 28-03-2011 11:31:18

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

pair ou imoair ?

Pair - Pair = Pair
Impair - Impair = Pair
Impair - Pair = Impair

La parité du résultat dépend donc uniquement du nombre de nombres impairs dans la liste. S'il y en a un nombre impair, le résultat est impair sinon le résultat est pair.

Or de 1 à 2002 il y a 1001 nombres impairs. Le résultat est donc impair (ce que valide la case réponse).

Merci pour cette énigmette.

 #18 - 28-03-2011 14:27:18

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Pair ou imapir ?

"Enigmette"

Et bam dans ta.....^^ lol

dirait un certain sh...


http://enigmusique.blogspot.com/

 #19 - 28-03-2011 14:58:55

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pair uo impair ?

Désolé pour l'emploi du mot "énigmette". Je n'avais pas l'intention d'être hautain ou méprisant.

 #20 - 28-03-2011 15:16:00

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

pair ou ompair ?

Pas de problème pour moi.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #21 - 28-03-2011 15:38:54

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pair ou iimpair ?

Et l'énigmette devenait énigme s'il s'agissait de prouver qu'on peut obtenir n'importe quel nombre impair ce que je suis le seul (la la la la la) à avoir fait bande de flemmards !

 #22 - 28-03-2011 15:45:59

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Paair ou impair ?

Flemmard, flemmard ??? smile
Je viens de me prendre la tête à faire un beau dessin pour l'énigme de looozer d'équilibre précaire smile
Mais bon tu as raison, j'aurais pu creuser un peu plus cette éngime...

 #23 - 28-03-2011 15:53:23

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pair ou mpair ?

Tu n'es pas le seul wink

L'énoncé aurait mérité d'être plus ambitieux plutôt.

 #24 - 28-03-2011 19:03:43

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

pair iu impair ?

Bravo à tous big_smile dommage pour Mathias sad mais ce n'est pas grave il (tu) s'en remettra smile
Gasole veut des énoncés plus ambitieux, et bien si le prochain est de moi promi(s ou t ??? je ne sais jamais. Je penche pour le s)  wink

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #25 - 28-03-2011 20:04:51

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

pair pu impair ?

Il te faudrait aussi un minimum d'ambition en orthographe.
Moi je dis ça...


http://enigmusique.blogspot.com/

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