Gonzague dit :
Soit une classe de n+1 élèves. Considérons n élèves de cette classe, ces derniers ont tous le même prénom par exemple Jean car P(n) est vraie. Enlevons de ces n élèves un élève au hasard, il nous reste n-1 élèves et rajoutons le n+unième élève. Nous nous retrouvons donc avec une classe de n élèves, ce qui implique que le n+unième élève ait le même prénom que les autres car P(n) est vraie. Le n+unième élève s'appelle donc Jean également et nous avons démontré que P(n+1) est vraie.
Mais, ce raisonnement ne marche pas si n+1 vaut 2 (classe de 2 élèves)
En remplaçant bêtement n+1 par 2 dans le raisonnement (sans revoir l'orthographe), on obtient :
Soit une classe de 2 élèves. Considérons 1 élèves de cette classe, ces derniers ont tous le même prénom par exemple Jean car P(1) est vraie. Enlevons de ces 1 élèves un élève au hasard, il nous reste 0 élèves et rajoutons le 2ième élève. Nous nous retrouvons donc avec une classe de 1 élèves, ce qui implique que le 2ième élève ait le même prénom que les autres car P(1) est vraie (FAUX, CAR IL N'Y A PAS D'AUTRE ELEVE DANS LA CLASSE, JEAN A ETE ENLEVE, P(1) VRAI INDIQUE QUE LE 2ième ELEVE A SIMPLEMENT LE MEME NOM QUE LUI-MEME, PAS OBLIGATOIREMENT JEAN). Le 2ème élève NE s'appelle donc PAS OBLIGATOIREMENT Jean et nous N'avons PAS démontré que P(2) est vraie.
Donc, on voit que ce raisonnement ne peut pas être appliqué pour passer de 1 élève à 2 élèves. Pour que le raisonnement par récurrence soit juste, il faut que la partie "récurrence" soit applicable pour toute valeur de n dans l'intervalle considéré.
En revanche, la récurrence proposée peut être appliqué pour passer de 2 à 3, 3 à 4, etc. Donc, si la proposition était vraie au rang 2, elle serait vraie à tous les rangs.
Reste donc à prouver qu'elle est vraie au rang 2 ... et là, bon courage !
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