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 #1 - 20-07-2009 14:14:43

gonzague
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 24

Chercher lerreur

Démontrons que dans une classe tous les élèves ont le même prénom :
Soit P(n) la propriété : Dans une classe de n élèves, tous les élèves ont le même prénom.
Démontrons que P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à 1.
Initialisation :
Si n=1 alors P(1) est vraie car dans une classe de 1 élève, tous les élèves ont le même prénom.
Récurrence :
Supposons P(k) vraie pour tout k inférieur ou égal à n et démontrons que P(n+1) est vraie.
Soit une classe de n+1 élèves. Considérons n élèves de cette classe, ces derniers ont tous le même prénom par exemple Jean car P(n) est vraie. Enlevons de ces n élèves un élève au hasard, il nous reste n-1 élèves et rajoutons le n+unième élève. Nous nous retrouvons donc avec une classe de n élèves, ce qui implique que le n+unième élève ait le même prénom que les autres car P(n) est vraie. Le n+unième élève s'appelle donc Jean également et nous avons démontré que P(n+1) est vraie.

Ou est l'erreur?

Spoiler : aide attention à l'initialisation



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 #2 - 20-07-2009 18:28:19

mecasawa
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 2

chercjer l'erreur

je suis nul en maths mais je pense que l'initialisation se fait au rang n=o et pas n=1 et donc tout le reste est faux.

 #3 - 20-07-2009 18:32:18

hlbnet
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 39

Cherchr l'erreur

Gonzague dit :

Soit une classe de n+1 élèves. Considérons n élèves de cette classe, ces derniers ont tous le même prénom par exemple Jean car P(n) est vraie. Enlevons de ces n élèves un élève au hasard, il nous reste n-1 élèves et rajoutons le n+unième élève. Nous nous retrouvons donc avec une classe de n élèves, ce qui implique que le n+unième élève ait le même prénom que les autres car P(n) est vraie. Le n+unième élève s'appelle donc Jean également et nous avons démontré que P(n+1) est vraie.

Mais, ce raisonnement ne marche pas si n+1 vaut 2 (classe de 2 élèves)
En remplaçant bêtement n+1 par 2 dans le raisonnement (sans revoir l'orthographe), on obtient :
Soit une classe de 2 élèves. Considérons 1 élèves de cette classe, ces derniers ont tous le même prénom par exemple Jean car P(1) est vraie. Enlevons de ces 1 élèves un élève au hasard, il nous reste 0 élèves et rajoutons le 2ième élève. Nous nous retrouvons donc avec une classe de 1 élèves, ce qui implique que le 2ième élève ait le même prénom que les autres car P(1) est vraie (FAUX, CAR IL N'Y A PAS D'AUTRE ELEVE DANS LA CLASSE, JEAN A ETE ENLEVE, P(1) VRAI INDIQUE QUE LE 2ième ELEVE A SIMPLEMENT LE MEME NOM QUE LUI-MEME, PAS OBLIGATOIREMENT JEAN). Le 2ème élève NE s'appelle donc PAS OBLIGATOIREMENT Jean et nous N'avons PAS démontré que P(2) est vraie.

Donc, on voit que ce raisonnement ne peut pas être appliqué pour passer de 1 élève à 2 élèves. Pour que le raisonnement par récurrence soit juste, il faut que la partie "récurrence" soit applicable pour toute valeur de n dans l'intervalle considéré.

En revanche, la récurrence proposée peut être appliqué pour passer de 2 à 3, 3 à 4, etc. Donc, si la proposition était vraie au rang 2, elle serait vraie à tous les rangs.

Reste donc à prouver qu'elle est vraie au rang 2 ... et là, bon courage !


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #4 - 20-07-2009 19:09:29

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Chercher l'erreuur

Le cas de base est pour n=1.

L'hypothese de récurrence doit donc être prouvée pour tout n>=1.
Or l'hypothese est valable uniquement si il reste un eleve dans le groupe de taille n-1 pour communiquer son prenom a celui mis de coté.
Mais lorsque n=1 le groupe est vide.
Donc l'hypothese est vrai mais a partir de n=2.

Il n'y a donc aucun moyen de passer de 1 a 2, la récurrence ne peut etre utilisée.

 #5 - 21-07-2009 21:48:03

Filto
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 4

chercher l'erreue

"Supposons P(k) vraie pour tout k inférieur ou égal à n"
Pour P(k) c'est vrai, mais pas pour P(n).
"car P(n) est vraie" => Faux, donc P(n+1) et faux aussi

 #6 - 21-07-2009 21:52:03

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Chercher l'erruer

sympathique, je ne le connaissais pas big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 23-07-2009 14:26:13

gonzague
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 24

Chercher l'erreru

Bravo à Hlbnet et Nicouj.
En effet il manque l'initialisation pour n=2. Dans la récurrence, on fait appel à n et n-1, il faut donc initialiser avec 2 cas de base successifs, à savoir n=1 et n=2.
Et bon courage pour démontrer le cas avec n=2....

 

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