OK, Ebichu. Ce n'est pas destructeur du tout, c'est ce que je redoutais vaguement, mais sans pouvoir construire un tel contre-exemple, sans même savoir si ça pouvait exister. La preuve avancée est donc un beau sophisme !

1, 2, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 16, 20, 24, 28, 32, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 64, 72, 80, 88, 96, 81, 90, 99, 100

Nombre serres omis :

64=8*8
45=5*9
56=7*8
60=6*10
etc.....

Une donnée intéressante.

Si on calcule la proba qu'un nombre n soit large parce que le plus gros facteur premier p est plus de 2 fois supérieur à n/p, alors on se rend compte que le ratio diminue assez vite avec n :

1000    0,611911082
2000    0,615497936
3000    0,617702944
10000    0,601656639
20000    0,534162178
40000    0,471759411

A partir d'une valeur inférieure à 10 000, la proportion des nombres larges du fait d'un seul gros nombre premier diminue. Ce n'est donc pas à cause d'un seul gros facteur premier que le ratio des nombres larges augmente régulièrement.

Un nombre de la forme 2k(k+1) reste serre a l`infini.
Combien de nombres ont une forme qui persiste a l`infini.
Tous les nombres triangulaires T(n) avec n impair sont eternellement serres.
Un nombre serre s reste eternellement quand il est multiplie par un carre s*(k^2) est un nombre serre.
etc....
Il est aussi des nombres larges qui possedent des formes qui en font des nombres larges a l`infini.
On peut multiplier les exemples a l`infini.
Ce serait meme interessant interessant de lancer une enigme : combien de types DISTINCTS de nombres serres existent (sans intersection bien sur)? l`union de ces ensembles couvrent-elles la totalite des nombres? etc...
Et bien evidemment peut-on creer une formule explicite les denombrant avec exactitude (celle fournie plus haut est erronee)?

Autre chose sur le second tableau: la courbe r4, en la projetant en ligne droite, est clairement coupée par les autres lignes. Ce qui est impossible. Il faut donc s'attendre à un brusque changement de courbe. Peut être même que le point de convergence est donc bien plus tôt que le 0,1. Ce pourrait être plus proche de 0,2.
Si tu représentais les courbes 512, 1024,....Celles ci s'abaisseraient bien plus tard, mais avec une descente d'autant plus rapide qu'elle serait tardive. Donc ces courbes ne doivent pas être projetées en linéaire, mais bien en descente toujours plus prononcée.

Je crois que pour que la limite tende vers 1, il faut changer un peu l'énoncé.
au lien de b <= 'p' *a,  'p' étant fixe,
je pense que ca marcherais pour   [latex]b <= \sqrt{n} * a [/latex]   ou n = a*b  ou  [latex]b <= \sqrt[x]{n} * a [/latex]
Au lieu de le faire sur une echelle des puissances de 10, je vais le refaire avec les puissances de 2, ca donnera des resultats legerement differents.

Une autre info :

Si on calcule la densité avec ma formule, qui prend en compte les doublons, on trouve [latex]\frac{\mathbb{ln}(2)}{2} \approx 0.3465735903[/latex]

Ça donne déjà une borne supérieure

Apres 90 heures de calculs, j'ai finalement atteint 2^31.

Comme j'ai plus de points de reference, les courbes sont plus nettes qu'avec les puissances de 10.
Si je projette les courbes entre 2^15 et 2^24, j'obtiens un point d'intersection aux alentours de 0.0871, mais si je projette les courbes entre 2^22 et 2^31, j'obtiens un point d'intersection aux alentours de 0.0845...
Il semblerait que ces "droites" ne soient pas si rectilignes que ca.
Plus on va vers l'infini, plus le point d'intersection diminue...tres lentement. Et il est donc possible que la densité des nombres sérrés tendent quand même vers zéro.

Voila déjà les résulats numériques:

2^0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2^1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2^2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2^3 2 5 6 8 8 8 8 8 8 8 8
2^4 4 9 12 14 16 16 16 16 16 16 16
2^5 5 16 21 25 27 32 32 32 32 32 32
2^6 8 29 38 45 52 57 64 64 64 64 64
2^7 11 52 70 85 96 108 115 128 128 128 128
2^8 16 97 132 157 180 200 220 233 256 256 256
2^9 22 181 246 294 337 375 410 446 469 512 512
2^10 32 343 464 559 639 708 779 840 906 949 1024
2^11 45 652 890 1068 1214 1350 1479 1605 1718 1836 1911
2^12 64 1256 1713 2044 2330 2589 2837 3065 3291 3492 3704
2^13 90 2427 3297 3939 4483 4978 5441 5886 6299 6713 7081
2^14 128 4701 6387 7622 8670 9607 10496 11333 12150 12904 13655
2^15 181 9148 12416 14800 16809 18616 20304 21924 23456 24936 26323
2^16 256 17861 24212 28811 32696 36186 39416 42492 45440 48251 50974
2^17 362 34946 47323 56221 63754 70503 76683 82574 88209 93637 98826
2^18 512 68522 92632 110006 124586 137600 149534 160816 171668 182072 192110
2^19 724 134562 181719 215561 243877 269036 292137 313841 334692 354731 374036
2^20 1024 264705 357018 422946 477979 526912 571704 613572 653668 692285 729602
2^21 1448 521401 702134 830854 938183 1033384 1120444 1201391 1278675 1353285 1425426
2^22 2048 1027859 1382321 1634153 1843818 2029185 2198419 2355608 2504899 2649167 2788640
2^23 2896 2028019 2724099 3217604 3627434 3988532 4318220 4624151 4913572 5192483 5462382
2^24 4096 4004729 5373100 6340748 7142363 7847267 8490547 9087282 9649262 10189059 10712435
2^25 5792 7913696 10605736 12503799 14074126 15452814 16710217 17873973 18968369 20015444 21030745
2^26 8192 15648166 20945873 24674407 27753872 30454733 32912248 35185333 37321603 39356567 41328281
2^27 11585 30956618 41391477 48721757 54769828 60060244 64867734 69317238 73490808 77456886 81288116
2^28 16384 61270396 81839243 96264952 108143233 118519325 127938355 136651268 144818542 152563411 160014184
2^29 23170 121326262 161898427 190292716 213640942 234020841 252487337 269564551 285559925 300704209 315228442
2^30 32768 240351455 320410652 376332077 422277455 462328162 498570611 532062390 563407776 593068498 621440415
2^31 46340 476311400 634364179 744605630 835045490 913821933 985008325 1050716884 1112229904 1170365055 1225892663

Pour les courbes... à suivre...

OK Dhrm.
Ce n'est pas complètement différent des premières courbes. Rien de décisif, en tout cas. Comme j'ai déjà expliqué mon point de vue, les courbes ne peuvent converger à une autre valeur que zéro. Plus probable, la courbe r2 n'atteint pas 0, mais reste quelque part au dessus de 0,2 environ, et les autres courbes ont des asymptotes horizontales étagées les unes au dessus des autres.
Ce qu'il manque maintenant, c'est une théorie à tout ça.
Pas simple....

Gwen, j'ai lu et t'ai oublié. Je n'ai pas trop compris ce que tu as écrit, même dès la 1ère phrase....

Un "a" donné génère (a+1)(a+2)/2 nombres serrés dans l'intervalle [a^2; 4a^2]

Plus embêtant : p * (2p+1) n'est pas serré si p et 2p+1 sont premiers. Et ce nombre est dans l'intervalle [p²; 4p²]