Enigmes

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 #26 - 27-09-2016 08:44:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nombres sserrés

OK, Ebichu. Ce n'est pas destructeur du tout, c'est ce que je redoutais vaguement, mais sans pouvoir construire un tel contre-exemple, sans même savoir si ça pouvait exister. La preuve avancée est donc un beau sophisme !

#0 Pub

 #27 - 27-09-2016 12:33:06

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
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nombtes serrés

Effectivement :

Soient [latex]A = A_1 \bigcup A_2[/latex] et [latex]B=B_1 \bigcup B_2[/latex]

Alors [latex]\frac{\mathbb{Card}(A)}{\mathbb{Card}(B)}=\frac{\mathbb{Card}(A_1)+\mathbb{Card}(A_2)}{\mathbb{Card}(B_1)+\mathbb{Card}(B_2)}\neq \frac{\mathbb{Card}(A_1)}{\mathbb{Card}(B_1)}+\frac{\mathbb{Card}(A_2)}{\mathbb{Card}(B_2)}[/latex]

Pas facile cette histoire lol

 #28 - 27-09-2016 14:45:02

Agid1915
Habitué de Prise2Tete
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Nombres serréés

1, 2, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 16, 20, 24, 28, 32, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 64, 72, 80, 88, 96, 81, 90, 99, 100

Nombre serres omis :

64=8*8
45=5*9
56=7*8
60=6*10
etc.....

 #29 - 27-09-2016 15:36:24

Agid1915
Habitué de Prise2Tete
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nombres sereés

Il faudrait revoir les definitions :

On elimine le facteur 1 pour eviter toute confusion.
a>1

1. Les nombres strictements serres
Exemples :
49=7*7 (les carres de nombres premiers sont tous strictement serres)
15=3*5 (on ne peut pas l`ecrire autrement)
6=2*3 (on ne peut pas l`ecrire autrement)
Certains semipremiers sont strictement serres

2. Les nombres strictement etires ou larges
10=2*5 (seule ecriture possible)
21=3*7 (seule ecriture possible)

3. Les nombres flexibles
Ils peuvent etre serres ou larges selon la facon dont on les represente :

64=8*8 (il est serre)
64=2*32=4*16 (il devient large)
45=5*9 (il est serre)
45=3*15 (il devient large)

 #30 - 27-09-2016 17:33:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nombres serés

Une donnée intéressante.

Si on calcule la proba qu'un nombre n soit large parce que le plus gros facteur premier p est plus de 2 fois supérieur à n/p, alors on se rend compte que le ratio diminue assez vite avec n :

1000    0,611911082
2000    0,615497936
3000    0,617702944
10000    0,601656639
20000    0,534162178
40000    0,471759411

A partir d'une valeur inférieure à 10 000, la proportion des nombres larges du fait d'un seul gros nombre premier diminue. Ce n'est donc pas à cause d'un seul gros facteur premier que le ratio des nombres larges augmente régulièrement.

 #31 - 28-09-2016 22:44:51

dhrm77
L'exilé
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Nombrse serrés

Puisque la demonstration de tendre vers Zéro ne tient plus, on peut encore supposer (esperer?) que la densité des nombres serrés ne tend effectivement pas vers zéro.
Sur le diagramme suivant, j'ai non seulement representé la densité des nombres serrés d'apres la définition ci-dessus ( b<= 2*a ) qui est la courbe r2.
Mais également, les courbes des variantes de nombres serrés:
- r4 avec comme definition : b <= 4*a
- r8 avec comme definition : b <= 8*a
ainsi de suite jusqu'a
- r256 avec comme definition : b <= 256*a
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-serres_r2r256a.png
On voit que les courbes semblent tendre vers une valeur, mais il est difficile de dire laquelle.
Cependant, si on compare les courbes l'une a l'autre comme ceci:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-serres_r4r256a.png
on voit que les lignes sont plus rectilignes, on peut donc les projeter avec plus de confiance.
Si on les projettent (a gauche en allant vers (zero,zero) ), on peut voir qu'elles pourraient se croiser aux alentours de (0.08, 0.1).
Comme il n'et pas possible que ces courbes se croisent (au dela d'un certain point, la densité de r256 serait plus petite que la densité de r2), la conclusion serait que ces courbes continuent vers ce point de rencontre sans jamais y arriver. Autrement dit, la densité de ces courbes tendrait vers une valeur proche de 0.08 à 0.12 environ, au lieu de zéro.
Mais tout ceci n'est que spéculation...


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 #32 - 29-09-2016 00:47:54

Agid1915
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Nommbres serrés

Un nombre de la forme 2k(k+1) reste serre a l`infini.
Combien de nombres ont une forme qui persiste a l`infini.
Tous les nombres triangulaires T(n) avec n impair sont eternellement serres.
Un nombre serre s reste eternellement quand il est multiplie par un carre s*(k^2) est un nombre serre.
etc....
Il est aussi des nombres larges qui possedent des formes qui en font des nombres larges a l`infini.
On peut multiplier les exemples a l`infini.
Ce serait meme interessant interessant de lancer une enigme : combien de types DISTINCTS de nombres serres existent (sans intersection bien sur)? l`union de ces ensembles couvrent-elles la totalite des nombres? etc...
Et bien evidemment peut-on creer une formule explicite les denombrant avec exactitude (celle fournie plus haut est erronee)?

 #33 - 29-09-2016 08:10:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nombers serrés

Très bon travail Dhrm !
Sur le second tableau, on dirait bien que les courbes visent un même point aux alentours de 0,1. Une singularité: la courbe rouge (8) qui a une curieuse courbure vers le haut à un endroit.

 #34 - 29-09-2016 08:49:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nombres serérs

Autre chose sur le second tableau: la courbe r4, en la projetant en ligne droite, est clairement coupée par les autres lignes. Ce qui est impossible. Il faut donc s'attendre à un brusque changement de courbe. Peut être même que le point de convergence est donc bien plus tôt que le 0,1. Ce pourrait être plus proche de 0,2.
Si tu représentais les courbes 512, 1024,....Celles ci s'abaisseraient bien plus tard, mais avec une descente d'autant plus rapide qu'elle serait tardive. Donc ces courbes ne doivent pas être projetées en linéaire, mais bien en descente toujours plus prononcée.

 #35 - 29-09-2016 11:04:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
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nimbres serrés

Après réflexion, ce second tableau m'inspire autre chose.

Tout d'abord, il n'est pas possible que les courbes se rejoignent à une valeur autre que 0. En effet, si la courbe r2 avait pour limite 0,2, alors la courbe r4 ne peut avoir qu'une limite supérieure. Car on ne peut pas imaginer n'avoir pas plus de nombre à facteurs séparés par un rapport < 4 que de nombres à facteurs séparés par un rapport < 2.

Donc soit les courbes se rejoignent à 0, soit elles ne se rejoignent pas. Or le tableau 2 incite fortement à penser que les courbes sont interrompues car elles ne visent pas le 0. Chacune a sa propre limite, étagée selon le rapport des facteurs.

Du coup, on peut vraiment se demander s'il y a une limite à cette limite. Est ce que, pour un rapport très grand, la limite ne tend pas vers 1 ?

 #36 - 29-09-2016 13:24:43

dhrm77
L'exilé
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Nombress serrés

Je crois que pour que la limite tende vers 1, il faut changer un peu l'énoncé.
au lien de b <= 'p' *a,  'p' étant fixe,
je pense que ca marcherais pour   [latex]b <= \sqrt{n} * a [/latex]   ou n = a*b  ou  [latex]b <= \sqrt[x]{n} * a [/latex]
Au lieu de le faire sur une echelle des puissances de 10, je vais le refaire avec les puissances de 2, ca donnera des resultats legerement differents.


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 #37 - 29-09-2016 15:16:17

dhrm77
L'exilé
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nombres serréd

Voici les données réelles avec lesquelles j'ai fait les courbes:

Code:

10^0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10^1 3 6 8 10 10 10 10 10 10
10^2 10 43 57 68 77 86 93 100 100
10^3 31 336 455 547 624 692 762 822 886
10^4 100 2932 3985 4759 5415 6007 6570 7106 7608
10^5 316 26870 36406 43311 49131 54340 59120 63687 68067
10^6 1000 252756 340887 403836 456429 503193 546006 586034 624345
10^7 3162 2409731 3235797 3820725 4306486 4734660 5125341 5487449 5829598
10^8 10000 23169860 30994196 36497122 41035968 45009982 48626915 51973356 55114235
10^9 31622 224059958 298722912 350883783 393743606 431111287 464928289 496179897 525431229

et voici les données preliminaires sur une echelle logarithmic basée sur 2:

Code:

2^0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2^1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2^2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2^3 2 5 6 8 8 8 8 8 8 8 8
2^4 4 9 12 14 16 16 16 16 16 16 16
2^5 5 16 21 25 27 32 32 32 32 32 32
2^6 8 29 38 45 52 57 64 64 64 64 64
2^7 11 52 70 85 96 108 115 128 128 128 128
2^8 16 97 132 157 180 200 220 233 256 256 256
2^9 22 181 246 294 337 375 410 446 469 512 512
2^10 32 343 464 559 639 708 779 840 906 949 1024
2^11 45 652 890 1068 1214 1350 1479 1605 1718 1836 1911
2^12 64 1256 1713 2044 2330 2589 2837 3065 3291 3492 3704
2^13 90 2427 3297 3939 4483 4978 5441 5886 6299 6713 7081
2^14 128 4701 6387 7622 8670 9607 10496 11333 12150 12904 13655
2^15 181 9148 12416 14800 16809 18616 20304 21924 23456 24936 26323
2^16 256 17861 24212 28811 32696 36186 39416 42492 45440 48251 50974
2^17 362 34946 47323 56221 63754 70503 76683 82574 88209 93637 98826
2^18 512 68522 92632 110006 124586 137600 149534 160816 171668 182072 192110
2^19 724 134562 181719 215561 243877 269036 292137 313841 334692 354731 374036
2^20 1024 264705 357018 422946 477979 526912 571704 613572 653668 692285 729602
2^21 1448 521401 702134 830854 938183 1033384 1120444 1201391 1278675 1353285 1425426
2^22 2048 1027859 1382321 1634153 1843818 2029185 2198419 2355608 2504899 2649167 2788640
2^23 2896 2028019 2724099 3217604 3627434 3988532 4318220 4624151 4913572 5192483 5462382
2^24 4096 4004729 5373100 6340748 7142363 7847267 8490547 9087282 9649262 10189059 10712435

pour aller jusqu'a 2^31, ca prendra plus de 60 heures de calculs...
A suivre.


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 #38 - 29-09-2016 17:46:40

Sydre
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nombtes serrés

Une autre info :

Si on calcule la densité avec ma formule, qui prend en compte les doublons, on trouve [latex]\frac{\mathbb{ln}(2)}{2} \approx 0.3465735903[/latex]

Ça donne déjà une borne supérieure smile

 #39 - 29-09-2016 17:51:01

Agid1915
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Nombres srrés

Il faut ouvrir une sous-categorie dans enigmes mathematiques : formules explicites.
Il n`y a pas d`enigmes informatiques alors que ce domaine regorge de casse-tete.

 #40 - 03-10-2016 15:16:50

dhrm77
L'exilé
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nombred serrés

Apres 90 heures de calculs, j'ai finalement atteint 2^31.

Comme j'ai plus de points de reference, les courbes sont plus nettes qu'avec les puissances de 10.
Si je projette les courbes entre 2^15 et 2^24, j'obtiens un point d'intersection aux alentours de 0.0871, mais si je projette les courbes entre 2^22 et 2^31, j'obtiens un point d'intersection aux alentours de 0.0845...
Il semblerait que ces "droites" ne soient pas si rectilignes que ca.
Plus on va vers l'infini, plus le point d'intersection diminue...tres lentement. Et il est donc possible que la densité des nombres sérrés tendent quand même vers zéro.


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 #41 - 03-10-2016 16:35:51

nodgim
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nombres serréd

Beau travail, Dhrm !
Y a t'il possibilité de voir ces courbes, au moins les 2 extraits que tu cites ?

 #42 - 03-10-2016 22:17:19

dhrm77
L'exilé
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nombtes serrés

Voila déjà les résulats numériques:

Code:

2^0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2^1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2^2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2^3 2 5 6 8 8 8 8 8 8 8 8
2^4 4 9 12 14 16 16 16 16 16 16 16
2^5 5 16 21 25 27 32 32 32 32 32 32
2^6 8 29 38 45 52 57 64 64 64 64 64
2^7 11 52 70 85 96 108 115 128 128 128 128
2^8 16 97 132 157 180 200 220 233 256 256 256
2^9 22 181 246 294 337 375 410 446 469 512 512
2^10 32 343 464 559 639 708 779 840 906 949 1024
2^11 45 652 890 1068 1214 1350 1479 1605 1718 1836 1911
2^12 64 1256 1713 2044 2330 2589 2837 3065 3291 3492 3704
2^13 90 2427 3297 3939 4483 4978 5441 5886 6299 6713 7081
2^14 128 4701 6387 7622 8670 9607 10496 11333 12150 12904 13655
2^15 181 9148 12416 14800 16809 18616 20304 21924 23456 24936 26323
2^16 256 17861 24212 28811 32696 36186 39416 42492 45440 48251 50974
2^17 362 34946 47323 56221 63754 70503 76683 82574 88209 93637 98826
2^18 512 68522 92632 110006 124586 137600 149534 160816 171668 182072 192110
2^19 724 134562 181719 215561 243877 269036 292137 313841 334692 354731 374036
2^20 1024 264705 357018 422946 477979 526912 571704 613572 653668 692285 729602
2^21 1448 521401 702134 830854 938183 1033384 1120444 1201391 1278675 1353285 1425426
2^22 2048 1027859 1382321 1634153 1843818 2029185 2198419 2355608 2504899 2649167 2788640
2^23 2896 2028019 2724099 3217604 3627434 3988532 4318220 4624151 4913572 5192483 5462382
2^24 4096 4004729 5373100 6340748 7142363 7847267 8490547 9087282 9649262 10189059 10712435
2^25 5792 7913696 10605736 12503799 14074126 15452814 16710217 17873973 18968369 20015444 21030745
2^26 8192 15648166 20945873 24674407 27753872 30454733 32912248 35185333 37321603 39356567 41328281
2^27 11585 30956618 41391477 48721757 54769828 60060244 64867734 69317238 73490808 77456886 81288116
2^28 16384 61270396 81839243 96264952 108143233 118519325 127938355 136651268 144818542 152563411 160014184
2^29 23170 121326262 161898427 190292716 213640942 234020841 252487337 269564551 285559925 300704209 315228442
2^30 32768 240351455 320410652 376332077 422277455 462328162 498570611 532062390 563407776 593068498 621440415
2^31 46340 476311400 634364179 744605630 835045490 913821933 985008325 1050716884 1112229904 1170365055 1225892663

Pour les courbes... à suivre...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #43 - 04-10-2016 00:10:26

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Nombres serré

Et voici les courbes:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-serres_r2r256_bin.png
incluant une projection (en rouge) des courbes:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-serres_r4r256_bin.png


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #44 - 04-10-2016 08:42:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

nomvres serrés

OK Dhrm.
Ce n'est pas complètement différent des premières courbes. Rien de décisif, en tout cas. Comme j'ai déjà expliqué mon point de vue, les courbes ne peuvent converger à une autre valeur que zéro. Plus probable, la courbe r2 n'atteint pas 0, mais reste quelque part au dessus de 0,2 environ, et les autres courbes ont des asymptotes horizontales étagées les unes au dessus des autres.
Ce qu'il manque maintenant, c'est une théorie à tout ça.
Pas simple....

 #45 - 09-10-2016 09:06:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

nomnres serrés

Un "a" donné génère (a+1)(a+2)/2 nombres serrés dans l'intervalle [a^2; 4a^2]

--->  (a^2+3a+2) / (6a^2+2) pour tout intervalle de taille 3a^2+1

La limite pourrait tout simplement être 1/6, si on néglige quelques exceptions comme 12*24=16*18.

 #46 - 11-10-2016 13:39:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Nombres serrrés

Gwen, j'ai lu et t'ai oublié. Je n'ai pas trop compris ce que tu as écrit, même dès la 1ère phrase....

 #47 - 11-10-2016 16:46:43

Sydre
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Messages : 144

Nombrres serrés

@gwen27 : Le problème c'est que le nombre d'exception semble tendre vers l'infini à mesure que l'on avance dans [latex]\mathbb{N}[/latex]

 #48 - 11-10-2016 16:56:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2956

nombrzs serrés

Un "a" donné génère (a+1)(a+2)/2 nombres serrés dans l'intervalle [a^2; 4a^2]

Plus embêtant : p * (2p+1) n'est pas serré si p et 2p+1 sont premiers. Et ce nombre est dans l'intervalle [p²; 4p²]

 

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