Enigmes

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 #1 - 18-11-2009 16:40:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Fraction irrééductible

donner la fraction irréductible de A:

(1-(4/1²))(1-(4/3²))...(1-(4/(2x+1)))...(1-(4/199²)
bonne chance et que le meilleur gagne!!!



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Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 18-11-2009 16:43:10

kosmogol
Banni
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frzction irréductible

que vient faire le "2x+1" au milieu ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 18-11-2009 17:16:30

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
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Lieu: Près de la mer

fraction irréductiblz

et un triple-post pour Kosmo, un !!! lol

Tricheur, t'en as supprimé deux...Je passe pour quoi maintenant ? big_smile

 #4 - 18-11-2009 17:17:52

roxmar
Sage de Prise2Tete
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Lieu: Gers

Fraction irrédutcible

Je suis pas trés bonne en maths, mais je me défends bien en recherche sur google big_smile
Donc il parait que ça fait :
A = -201/199
J'ai lu la démonstration, j'avoue ne rien avoir compris. Bravo à ceux qui trouvent !


Si je m'intéresse à ce que pensent les cons, je n'aurai plus de temps pour ce que pensent les gens intelligents. (E-E Schmitt)

 #5 - 18-11-2009 17:38:04

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 950

Fraction irréductibl

À vue de nez, ça doit faire -201/199 mais j'ai le droit de me tromper : tu as bien oublié l'exposant 2 de (2x+1) smile


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 18-11-2009 17:52:14

piode
Cacografe de Prise2Tete
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Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

Faction irréductible

lollollollol et tu veux que je trouve moi P.O. ben la réponse est : Spoiler : [Afficher le message] la reponse étonnant NOn ?!


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #7 - 18-11-2009 18:27:39

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 438

fraction irrédyctible

Bonsoir,


Si je ne me trompe pas, il y a une erreur dans l'énoncé.
Voici mon raisonnement après correction:

le facteur pour x est :

1-4/(2x+1)²
= [(2x+1)²-4]/(2x+1)²
= (2x+1-2)(2x+1+2)/(2x+1)²
= [(2x-1)/(2x+1)].[(2x+3)/(2x+1)]

Le facteur précédent, pour x-1, est :

[(2(x-1)-1)/(2(x-1)+1)].[(2(x-1)+3)/(2(x-1)+1)]
= [(2x-3)/(2x-1)].[(2x+1)/(2x-1)]

Le facteur suivant, pour x+1, est :

[(2(x+1)-1)/(2(x+1)+1)].[(2(x+1)+3)/(2(x+1)+1)]
= [(2x+1)/(2x+3)].[(2x+5)/(2x+3)]

Si on multiplie ces 3 facteurs, on trouve :

[(2x-3)/(2x-1)].[(2x+1)/(2x-1)].[(2x-1)/(2x+1)].[(2x+3)/(2x+1)].[(2x+1)/(2x+3)].[(2x+5)/(2x+3)]

et tout ce qui est souligné ce simplifie. Il en va de même pour les facteurs précédents et les suivants. Seuls les premier et dernier facteurs ne sont pas totalement simplifiés. Il ne reste alors plus que :

-1/1 . 201/199
= -201/199


enfin si je ne me trompe pas...

 #8 - 18-11-2009 19:01:47

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 609

Fraction irrédctible

(1-(4/1²))(1-(4/3²))...(1-(4/(2x+1)²))...(1-(4/199²)=
[TeX]\prod_{i=0}^{i=99}{{(2i+1)^2-2^2}\over{(2i+1)^2}}=\prod_{i=0}^{i=99}{{(2i-1)(2i+3)}\over{(2i+1)^2}}={{\prod_{i=0}^{i=99}{{(2i-1)(2i+3)}}\over{\prod_{i=0}^{i=99}{(2i+1)^2}}}={-1\times 201\times{\prod_{i=0}^{i=99}{(2i+1)^2}}\over{\prod_{i=0}^{i=99}{(2i+1)^2}}}={{-201}\over 199}[/TeX]
j'ai d'abord réduit au même dénominateur puis j'ai utiliser l'identite remarquable
a²-b²=(a-b)(a+b) et ensuite tous les facteurs se simplifient sauf les 2 premiers au numérateurs comme au denominateur

 #9 - 18-11-2009 19:33:54

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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Fraction irréducible

[TeX]A = \prod_{x=0}^{99}1-\frac{4}{(2x+1)^2}=-\frac{201}{199}[/TeX]

 #10 - 18-11-2009 22:08:35

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

fracrion irréductible

[TeX]1 - \frac{4}{(2x+1)^2}=1^2 - \left( \frac{2}{2x+1} \right) ^2 = \left( 1 - \frac{2}{2x+1} \right) \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right) = \left(\frac{2x-1}{2x+1} \right) \left(\frac{2x+3}{2x+1} \right)[/TeX]
On fait le produit de ça pour x allant de 0 à 99 :
[TeX]\left(\frac{-1}{1}\times \frac{3}{1} \right) \times \left(\frac{1}{3}\times \frac{5}{3} \right) \times \left(\frac{3}{5}\times \frac{7}{5} \right) \times \left(\frac{5}{7}\times \frac{9}{7} \right) \times ... \times \left(\frac{193}{195}\times \frac{197}{195} \right) \times \left(\frac{195}{197}\times \frac{199}{197} \right) \times \left(\frac{197}{199}\times \frac{201}{199} \right)
= \frac{-1 \times 1 \times 3^2 \times 5^2 \times ... \times 197^2 \times 199 \times 201}{1^2 \times 3^2 \times ... \times 197^2 \times 199^2}
= - \frac{201}{199}[/TeX]
Un petit calcul rigolo à faire lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 19-11-2009 06:39:14

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1787

Fraction irrédutcible

Bonjour,

Le (2x+1) doit aussi être au carré dans l'énoncé, n'est-ce pas ? ...


La réponse est  :  -(201/199)

(199 étant premier, la fraction est irréductible ...)

En effet :
On doit calculer le produit pour x variant de 1 à 99 de [1-4/(2x+1)²]
qui est de la forme a²-b² = (a-b)(a+b)
et se factorise donc en [1-2/(2x+1)][1+2/(2x+1)]
soit [(2x-1)(2x+3)] / [(2x+1)²]

Le produit A vaut donc :
[-3/1²]*[(1*5)/3²]*[(3*7)/5²]*[(5*9)/7²]*...*[(197*201)/199²]
on simplifie tous les carrés présents au numérateur et au dénominateur
(L'avant-dernier terme est [(195*199)/197²])


Il reste 201/199 affecté du signe "moins" du premier terme.

Généralité : le produit pour i variant de 1 à n de l'expression [1-4/(2i+1)²]
vaut ainsi -[(2n+3)/(2n+1)]

Bonne journée !
Nicolas


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 19-11-2009 09:57:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

fraction irréducrible

Bonjour

En utilisant a²-b²=(a-b)(a+b) on obtient :
[TeX]S=(1-\frac 21)(1+\frac 21)(1-\frac 23)(1+\frac 23)(1-\frac 25)(1+\frac 25)...(1-\frac{2}{199})(1+\frac{2}{199})[/TeX][TeX]S=(-1)\time \frac 31 \time \frac 13 \time \frac 53 \time \frac 35 \time \frac 75 ... \time \frac{197}{199} \time \frac{201}{199}=-\frac{201}{199}[/TeX]
Ca va , pas trop fatiguant :)

Vasimolo

 #13 - 19-11-2009 11:04:46

lolie22
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 115

fraction irréductiblr

Le terme général de cette série est : 1-(4/(2x+1)²)
En simplifiant, on obtient [(2x-1)(2x+3)]/(2x+1)²

On a donc
A = ((-1*3)/1²)*((1*5)/3²)*((3*7)/5²)*......*((193*197)/195²)*((195*199)/197²)*((197*201)/199²)
En simplifiant, on obtient : A=-201/199


Avec de la patience, la feuille de mûrier devient satin.

 #14 - 19-11-2009 13:47:36

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

fraction ireéductible

prod n=0...99  (2n-1)/(2n+1)*(2n+3)/(2n+1)
=prod n=0...99  (2n-1)/(2n+1)*prod n=1...100 (2(n-1)+3)/(2(n-1)+1)
=-201/199


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
 

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