Enigmes

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 #1 - 18-11-2009 16:40:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Fraction irréductiible

donner la fraction irréductible de A:

(1-(4/1²))(1-(4/3²))...(1-(4/(2x+1)))...(1-(4/199²)
bonne chance et que le meilleur gagne!!!



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Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 18-11-2009 16:43:10

kosmogol
Banni
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Fracion irréductible

que vient faire le "2x+1" au milieu ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 18-11-2009 17:16:30

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
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Lieu: Près de la mer

Fraction irréduuctible

et un triple-post pour Kosmo, un !!! lol

Tricheur, t'en as supprimé deux...Je passe pour quoi maintenant ? big_smile

 #4 - 18-11-2009 17:17:52

roxmar
Sage de Prise2Tete
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Messages : 803
Lieu: Gers

fractiob irréductible

Je suis pas trés bonne en maths, mais je me défends bien en recherche sur google big_smile
Donc il parait que ça fait :
A = -201/199
J'ai lu la démonstration, j'avoue ne rien avoir compris. Bravo à ceux qui trouvent !


Si je m'intéresse à ce que pensent les cons, je n'aurai plus de temps pour ce que pensent les gens intelligents. (E-E Schmitt)

 #5 - 18-11-2009 17:38:04

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 949

Fractio nirréductible

À vue de nez, ça doit faire -201/199 mais j'ai le droit de me tromper : tu as bien oublié l'exposant 2 de (2x+1) smile


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 18-11-2009 17:52:14

piode
Cacografe de Prise2Tete
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Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

Fractino irréductible

lollollollol et tu veux que je trouve moi P.O. ben la réponse est : Spoiler : [Afficher le message] la reponse étonnant NOn ?!


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #7 - 18-11-2009 18:27:39

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

Frcation irréductible

Bonsoir,


Si je ne me trompe pas, il y a une erreur dans l'énoncé.
Voici mon raisonnement après correction:

le facteur pour x est :

1-4/(2x+1)²
= [(2x+1)²-4]/(2x+1)²
= (2x+1-2)(2x+1+2)/(2x+1)²
= [(2x-1)/(2x+1)].[(2x+3)/(2x+1)]

Le facteur précédent, pour x-1, est :

[(2(x-1)-1)/(2(x-1)+1)].[(2(x-1)+3)/(2(x-1)+1)]
= [(2x-3)/(2x-1)].[(2x+1)/(2x-1)]

Le facteur suivant, pour x+1, est :

[(2(x+1)-1)/(2(x+1)+1)].[(2(x+1)+3)/(2(x+1)+1)]
= [(2x+1)/(2x+3)].[(2x+5)/(2x+3)]

Si on multiplie ces 3 facteurs, on trouve :

[(2x-3)/(2x-1)].[(2x+1)/(2x-1)].[(2x-1)/(2x+1)].[(2x+3)/(2x+1)].[(2x+1)/(2x+3)].[(2x+5)/(2x+3)]

et tout ce qui est souligné ce simplifie. Il en va de même pour les facteurs précédents et les suivants. Seuls les premier et dernier facteurs ne sont pas totalement simplifiés. Il ne reste alors plus que :

-1/1 . 201/199
= -201/199


enfin si je ne me trompe pas...

 #8 - 18-11-2009 19:01:47

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 609

Fraction irrédductible

(1-(4/1²))(1-(4/3²))...(1-(4/(2x+1)²))...(1-(4/199²)=
[TeX]\prod_{i=0}^{i=99}{{(2i+1)^2-2^2}\over{(2i+1)^2}}=\prod_{i=0}^{i=99}{{(2i-1)(2i+3)}\over{(2i+1)^2}}={{\prod_{i=0}^{i=99}{{(2i-1)(2i+3)}}\over{\prod_{i=0}^{i=99}{(2i+1)^2}}}={-1\times 201\times{\prod_{i=0}^{i=99}{(2i+1)^2}}\over{\prod_{i=0}^{i=99}{(2i+1)^2}}}={{-201}\over 199}[/TeX]
j'ai d'abord réduit au même dénominateur puis j'ai utiliser l'identite remarquable
a²-b²=(a-b)(a+b) et ensuite tous les facteurs se simplifient sauf les 2 premiers au numérateurs comme au denominateur

 #9 - 18-11-2009 19:33:54

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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Messages : 2216

Fraction irrréductible

[TeX]A = \prod_{x=0}^{99}1-\frac{4}{(2x+1)^2}=-\frac{201}{199}[/TeX]

 #10 - 18-11-2009 22:08:35

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Fraction irréductble

[TeX]1 - \frac{4}{(2x+1)^2}=1^2 - \left( \frac{2}{2x+1} \right) ^2 = \left( 1 - \frac{2}{2x+1} \right) \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right) = \left(\frac{2x-1}{2x+1} \right) \left(\frac{2x+3}{2x+1} \right)[/TeX]
On fait le produit de ça pour x allant de 0 à 99 :
[TeX]\left(\frac{-1}{1}\times \frac{3}{1} \right) \times \left(\frac{1}{3}\times \frac{5}{3} \right) \times \left(\frac{3}{5}\times \frac{7}{5} \right) \times \left(\frac{5}{7}\times \frac{9}{7} \right) \times ... \times \left(\frac{193}{195}\times \frac{197}{195} \right) \times \left(\frac{195}{197}\times \frac{199}{197} \right) \times \left(\frac{197}{199}\times \frac{201}{199} \right)
= \frac{-1 \times 1 \times 3^2 \times 5^2 \times ... \times 197^2 \times 199 \times 201}{1^2 \times 3^2 \times ... \times 197^2 \times 199^2}
= - \frac{201}{199}[/TeX]
Un petit calcul rigolo à faire lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 19-11-2009 06:39:14

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1772

Fraction iirréductible

Bonjour,

Le (2x+1) doit aussi être au carré dans l'énoncé, n'est-ce pas ? ...


La réponse est  :  -(201/199)

(199 étant premier, la fraction est irréductible ...)

En effet :
On doit calculer le produit pour x variant de 1 à 99 de [1-4/(2x+1)²]
qui est de la forme a²-b² = (a-b)(a+b)
et se factorise donc en [1-2/(2x+1)][1+2/(2x+1)]
soit [(2x-1)(2x+3)] / [(2x+1)²]

Le produit A vaut donc :
[-3/1²]*[(1*5)/3²]*[(3*7)/5²]*[(5*9)/7²]*...*[(197*201)/199²]
on simplifie tous les carrés présents au numérateur et au dénominateur
(L'avant-dernier terme est [(195*199)/197²])


Il reste 201/199 affecté du signe "moins" du premier terme.

Généralité : le produit pour i variant de 1 à n de l'expression [1-4/(2i+1)²]
vaut ainsi -[(2n+3)/(2n+1)]

Bonne journée !
Nicolas


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 19-11-2009 09:57:35

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4935

feaction irréductible

Bonjour

En utilisant a²-b²=(a-b)(a+b) on obtient :
[TeX]S=(1-\frac 21)(1+\frac 21)(1-\frac 23)(1+\frac 23)(1-\frac 25)(1+\frac 25)...(1-\frac{2}{199})(1+\frac{2}{199})[/TeX][TeX]S=(-1)\time \frac 31 \time \frac 13 \time \frac 53 \time \frac 35 \time \frac 75 ... \time \frac{197}{199} \time \frac{201}{199}=-\frac{201}{199}[/TeX]
Ca va , pas trop fatiguant :)

Vasimolo

 #13 - 19-11-2009 11:04:46

lolie22
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 115

FFraction irréductible

Le terme général de cette série est : 1-(4/(2x+1)²)
En simplifiant, on obtient [(2x-1)(2x+3)]/(2x+1)²

On a donc
A = ((-1*3)/1²)*((1*5)/3²)*((3*7)/5²)*......*((193*197)/195²)*((195*199)/197²)*((197*201)/199²)
En simplifiant, on obtient : A=-201/199


Avec de la patience, la feuille de mûrier devient satin.

 #14 - 19-11-2009 13:47:36

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

fraction ieréductible

prod n=0...99  (2n-1)/(2n+1)*(2n+3)/(2n+1)
=prod n=0...99  (2n-1)/(2n+1)*prod n=1...100 (2(n-1)+3)/(2(n-1)+1)
=-201/199


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
 

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