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 #1 - 11-01-2011 19:05:52

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

nombres dautillants...

Soit n un entier compris entre 2 et 9.
Un nombre n-sautillant est un nombre qui vérifient les propriétés suivantes :
- Le premier et le dernier chiffre du nombre écrit en base 10 sont différents
- En plaçant le chiffre des unités devant tous les autres, et donc en décalant ces derniers vers la droite sans changer leur ordre, on obtient un nombre qui vaut n fois celui de départ.
Exemple : 1574* 3 = 4722, différent de 4157, donc 1574 n'est pas un nombre 3-sautillant.

Quel est le plus petit nombre n-sautillant, et pour quelle valeur de n ?

Question subsidiaire : pour chaque n, combien de chiffres possède le plus petit nombre n-sautillant ?


Bon ok, j'avoue, ce n'est pas la vraie dénomination de ces nombres, mais ça entretient un peu plus le mystère pour ceux qui ne les connaissent pas smile



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 #2 - 11-01-2011 19:16:33

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Nombres sautilllants...

différent de 4157

... tu veux dire différent de 4571 ? Ou alors c'est pas une interversion.

 #3 - 11-01-2011 19:23:16

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Nombrres sautillants...

Merci de ta remarque gasole, j'avais écrit n'importe quoi. Ce n'est effectivement pas une interversion, mais le chiffre des unités qui "saute" en tête du nombre, décalant les autres vers la droite sans changer leur ordre.

 #4 - 11-01-2011 20:08:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

nombres sautiklants...

Pour le nombre palindrome de son produit, 1089 X 9 = 9801

 #5 - 12-01-2011 09:58:22

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

nolbres sautillants...

Par programmation je trouve 102564 x 4 = 410256. Une petite recherche google m'indique qu'il s'agit de nombres circulaires, et que celui-ci utilise le générateur 4/39.


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #6 - 12-01-2011 12:28:08

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Nombres sauillants...

Sujet déja traité ici: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=178

410256 = 102564 * 4


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 12-01-2011 13:11:45

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

nomnres sautillants...

le plus petit que je trouve est pour n=4

025641*4=102564

051282*4=205128

076923*4=307692

128205*4=512820


pour n=5

142857*5=714285

après je pense pour n=7

 #8 - 14-01-2011 21:20:10

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Nombres sautilants...

Désolé pour la redondance, mais j'aime bien ces nombres smile Et puis il ne me semble pas avoir vu de début de démonstration, ce que je vais essayer de faire (avec qq raccourcis je pense)

Ces nombres sont en fait appelés nombres parasites.
Le plus petit de ces nombres est le 4-parasite 102564.

Cherchons N, un nombre n-parasite à m chiffres.
Alors [latex]N=10x+y[/latex] (décomposition en base 10)
Le nombre M issu de N en plaçant le chiffre des unités tout devant est [latex]M = 10^{m-1}.y + x[/latex]
On cherche donc x,y,n vérifiant M = pN, soit :
[TeX]10^{m-1}.y + x = n(10x+y)[/latex], ou encore en regroupant :
[latex](10n-1)x = (10^{m-1}-n)y[/TeX]
Les cas les plus simples seront ceux pour lesquels 10n-1 sera premier.
C'est le cas pour [latex]n\in\{2;3;6;8;9\}[/latex]

Dans ces cas-là, on va résoudre [latex]px = (10^{m-1}-n)y[/latex] avec p premier > 10.
y étant un entier entre 0 et 9, on en revient à :
[TeX] 10^{m-1} - n \in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/TeX]
Il n'y a qu'une seule valeur de m (modulo p bien sûr) qui convient car p premier et on est dans un corps.
Il ne reste plus qu'à tester les valeurs de y entre 0 et 9, de calculer les valeurs de x correspondantes, et on aura les solutions.

n=2 : 18 chiffres
n=3 : 28 chiffres
n=6 : 59 chiffres
n=8 : 13 chiffres
n=9 : 44 chiffres

Prenons le cas n=4
L'équation s'écrit  [latex]39x = (10^{m-1}-4)y[/latex]
Comme 39=3x13, on peut se ramener à l'étude de
[TeX]13x = (10^{m-1}-n)y'[/latex] avec y=3y'

C'est là qu'on trouve une solution à 6 chiffres.

Cas n=5
L'équation s'écrit [latex]49x = (10^{m-1}-5)y[/TeX]
Or 49=7x7, on se ramène à l'étude de :
[TeX]7x = (10^{m-1}-5)[/latex] avec y=7
Ce qui nous donne le nombre : 142857

Cas n=7
L'équation s'écrit [latex]69x = (10^{m-1}-7)y[/TeX]
qui revient à [latex]23x = (10^{m-1}-7)y'[/latex] avec y=3y'
Et on trouve 22 chiffres minimum.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parasite pour avoir les nombres.
Comme l'a dit Barbabulle, c'est intimement lié aux développements des fractions, son lien est très bien. Ils donnent aussi une autre dénomination à ces nombres, je ne sais pas laquelle est la bonne.

 

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