différent de 4157

... tu veux dire différent de 4571 ? Ou alors c'est pas une interversion.

Pour le nombre palindrome de son produit, 1089 X 9 = 9801

Sujet déja traité ici: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=178

410256 = 102564 * 4

Désolé pour la redondance, mais j'aime bien ces nombres Et puis il ne me semble pas avoir vu de début de démonstration, ce que je vais essayer de faire (avec qq raccourcis je pense)

Ces nombres sont en fait appelés nombres parasites.
Le plus petit de ces nombres est le 4-parasite 102564.

Cherchons N, un nombre n-parasite à m chiffres.
Alors [latex]N=10x+y[/latex] (décomposition en base 10)
Le nombre M issu de N en plaçant le chiffre des unités tout devant est [latex]M = 10^{m-1}.y + x[/latex]
On cherche donc x,y,n vérifiant M = pN, soit :
[TeX]10^{m-1}.y + x = n(10x+y)[/latex], ou encore en regroupant :
[latex](10n-1)x = (10^{m-1}-n)y[/TeX]
Les cas les plus simples seront ceux pour lesquels 10n-1 sera premier.
C'est le cas pour [latex]n\in\{2;3;6;8;9\}[/latex]

Dans ces cas-là, on va résoudre [latex]px = (10^{m-1}-n)y[/latex] avec p premier > 10.
y étant un entier entre 0 et 9, on en revient à :
[TeX] 10^{m-1} - n \in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/TeX]
Il n'y a qu'une seule valeur de m (modulo p bien sûr) qui convient car p premier et on est dans un corps.
Il ne reste plus qu'à tester les valeurs de y entre 0 et 9, de calculer les valeurs de x correspondantes, et on aura les solutions.

n=2 : 18 chiffres
n=3 : 28 chiffres
n=6 : 59 chiffres
n=8 : 13 chiffres
n=9 : 44 chiffres

Prenons le cas n=4
L'équation s'écrit  [latex]39x = (10^{m-1}-4)y[/latex]
Comme 39=3x13, on peut se ramener à l'étude de
[TeX]13x = (10^{m-1}-n)y'[/latex] avec y=3y'

C'est là qu'on trouve une solution à 6 chiffres.

Cas n=5
L'équation s'écrit [latex]49x = (10^{m-1}-5)y[/TeX]
Or 49=7x7, on se ramène à l'étude de :
[TeX]7x = (10^{m-1}-5)[/latex] avec y=7
Ce qui nous donne le nombre : 142857

Cas n=7
L'équation s'écrit [latex]69x = (10^{m-1}-7)y[/TeX]
qui revient à [latex]23x = (10^{m-1}-7)y'[/latex] avec y=3y'
Et on trouve 22 chiffres minimum.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parasite pour avoir les nombres.
Comme l'a dit Barbabulle, c'est intimement lié aux développements des fractions, son lien est très bien. Ils donnent aussi une autre dénomination à ces nombres, je ne sais pas laquelle est la bonne.