Enigmes

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 #1 - 14-12-2016 20:05:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

semi-lune

Bonsoir à tous.

Quelle forme devrait avoir un triangle rectangle d’hypoténuse de longueur 1 pour contenir le plus grand demi-disque possible :

1) quand l'arrondi est coté angle droit ?

2) quand l'arrondi est coté hypoténuse ?

Si la 1) est facile, la 2) l'est un peu moins, mais il y a du miel au bout...


Bonne recherche.



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#0 Pub

 #2 - 15-12-2016 08:18:58

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 487
Lieu: Ardèche

semi-lune

1 demi triangle équilatéral
2 demi carré (isocèle rectangle)

 #3 - 15-12-2016 08:34:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Demi-lunne

En relecture de l'énoncé, je me suis aperçu avoir oublié le mot "longueur" pour "hypoténuse (de longueur ) 1".
La forme demandée du triangle rectangle est déterminée soit par un angle, soit par la longueur d'un coté.

@ Halloduda: N'aurais tu pas inversé les 2 réponses ?  Pour ce qui est supposé être la 2), ce n'est pas ce que j'ai trouvé. Mais tu peux avancer tes arguments. Pour ce qui est supposé être la 1), c'est OK.

 #4 - 15-12-2016 16:03:56

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

demi-mune

[bon soir]

Pour le 1
Un triangle isocèle rectangle.
Le 2 est moins évident (angle aigu de 52° et 38° environ)
Le rayon du cercle est proche de 0,3.

Joli problème.

Une animation qui répond en partie
https://ggbm.at/xTbWb2N4

[suite]

L'expression du rayon du cercle inscrit en fonction de la base du triangle isocèle (obtenu en complétant la figure par symétrie ... )
(je suis sujet aux erreurs de calcul depuis tout petit jusqu'à tout grand
donc ...plantage plus que pôssible)
serait :
https://motslies.files.wordpress.com/2016/12/rayon.jpg

https://motslies.files.wordpress.com/2016/12/figure.jpg
(voir l'animation, donnée plus haut par son adresse, qui montre cette fonction ... en action)

La dérivée donnera le maximum relatif qui nous intéresse
https://motslies.files.wordpress.com/2016/12/dc3a9rivc3a9e.jpg

elle s'annule (valeur positive) pour
https://motslies.files.wordpress.com/2016/12/racine.jpg

le côté correspondant du triangle rectangle est (la moitié)
https://motslies.files.wordpress.com/2016/12/demi-lune-cotc3a91.jpg

le second côté du triangle est
https://motslies.files.wordpress.com/2016/12/demi-lune-cotc3a92.jpg


Du fagot des Nombreux

 #5 - 15-12-2016 16:35:15

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Dei-lune

Pour la 1), qui donne le plus grand demi-disque, c'est simple, c'est un triangle rectangle isocele. donc le rayon de la demi lune est [latex]\frac{\sqrt{2}}{4}[/latex] ≈ 0.35355339...
Pour la 2), c'est effectivement moins simple....


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 #6 - 15-12-2016 18:12:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Demi--lune

@ Aunryz: Pour la 1) OK. Pour la 2), c'est en effet "à peu près ça ", je suis intéressé de savoir comment tu es arrivé à cette approche. Mais, bien entendu, cet " à peu près" n'est pas satisfaisant. Regarde plutôt la longueur du coté adjacent à cet angle.

@Dhrm77: oui pour la 1).

 #7 - 15-12-2016 19:09:10

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,627E+3

semi-lune

Cas 1, je dirais un triangle rectangle isocèle.
Cas 2, Je tombe sur un triangle 30° 60° 90°

 #8 - 15-12-2016 21:18:55

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 667
Lieu: Belgique

demi-lube

Hello nodgim,

1) Le meilleur client est le rectangle isocèle.
2) Je trouve un triangle dont un côté vaut [latex]\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)[/latex] ... j'y vois le conjugué du nombre d'or.

 #9 - 15-12-2016 22:06:33

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 157

Demi-ulne

Salut,

Sauf erreur dans les 2 cas il faut que le triangle soit isocèle rectangle.

 #10 - 15-12-2016 22:20:50

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Demi-une

Pour la 2)
Je trouve que le triangle rectangle a pour dimensions:
1 * [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex] * [latex]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/latex]
et que le rayon est de [latex]\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{3}}[/latex]

Mais je n'ai pas vérifié.. donc ca peut être faux.


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 #11 - 16-12-2016 08:36:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

deli-lune

@ Aunryz: jolie animation !

@ Gwen: oui pour 1), non pour 2).

@Looser: c'est bien ça, bravo ! C'est un nombre singulier très connu que tu pourrais nommer ? 

@ Sydre: oui, mais pour 1) seulement.

@ Dhrm77: je te rassure tout de suite, c'est effectivement faux.

 #12 - 16-12-2016 18:51:18

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 157

Demmi-lune

Apparemment j'avais compris l'énoncé de façon trop restrictive roll

Une nouvelle proposition pour le cas 2) donc :

Le triangle doit avoir un angle mesurant [latex]\mathbb{arctan}(\sqrt{\phi})[/latex], où [latex]\phi[/latex] est le nombre d'or.

 #13 - 17-12-2016 02:38:39

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

DDemi-lune

Bon, je viens de refaire mes calculs, 2 fois....  et apres avoir vérifié:

Je trouve un triangle de:  1 *[latex] \frac{\sqrt{5}-1}{2}[/latex] * [latex]\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}[/latex] ≈ 1 * 0.61803398875 * 0.78615137775

et un rayon de demi-lune de: [latex]\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}*(3-\sqrt{5})}{4}[/latex] ≈ 0.300283106001

On observe un lien avec le nombre d'or....


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 #14 - 17-12-2016 08:07:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

dzmi-lune

@ Sydre et Dhrm77: c'est bon maintenant pour vous deux, bravo !

 #15 - 17-12-2016 08:27:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

drmi-lune

Je n'ai regardé que le 2 .

En posant le demi-disque sur un côté du triangle on arrive à :
[TeX]R=\frac 12(\sqrt{5}-1)\sqrt{\sqrt{5}-2}[/TeX]
Vasimolo

 #16 - 17-12-2016 12:44:32

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 427

dzmi-lune

Dans le premier cas, on remarque l'existence d'un carré inscrit dans le triangle rectangle (deux des côtés du carré sont inclus dans les deux côtés de l'angle droit du triangle rectangle, et un sommet du carré est le centre du demi-cercle).

On cherche donc à maximiser la taille de ce carré, ce qu'on obtient pour un triangle rectangle isocèle.

Dans le deuxième cas, il faut placer le diamètre du demi-cercle sur un des côtés de l'angle droit du triangle rectangle, et une extrémité du diamètre se situe au niveau de l'angle droit.

On remarque alors que le centre du demi-cercle est situé sur la bissectrice d'un des angles du triangle rectangle.

Si le triangle rectangle a pour côtés (x ; V1-x² ; 1), on obtient avec la trigonométrie la relation R²=(x²-x³)/(1+x). On étudie les variations de cette expression, et on trouve que le maximum est obtenu lorsque x vaut l'inverse du nombre d'or (le troisième côté du triangle valant alors la racine carrée de ce nombre).

 #17 - 17-12-2016 13:08:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Demil-une

@ Vasimolo: c'est OK.

@ Ebichu: OK, et parfait pour le raisonnement !

@ Aunryz: si tu complètes ton 1er message, il y a toutes les chances que ça m'échappe ! Sinon, c'est OK pour toi aussi, maintenant. Bravo.

 #18 - 17-12-2016 18:01:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

demi-lunr

Bon le temps est passé, et il n'y a eu que des bonnes réponses ou presque. Bravo à tous !

L'énigme initiale était: Un cône, de longueur de paroi constante, a une inclinaison variable. Quelle inclinaison doit on lui donner pour faire entrer la plus grosse sphère possible sans qu'elle ne dépasse le bord du cône ?

Pour cette question, il ne fallait pas se laisser aller à son intuition première, trompeuse, que le max est atteint avec le triangle équilatéral. Le résultat était suffisamment surprenant pour valoir l'édition de cette énigme.

Cela dit, c'est un problème très classique de Lycée.

Je donne ici ma solution, et une remarque supplémentaire sur la présence du carré du conjugué du nombre d'or, en plus de la racine carrée.

______________________________________________________________________________________________________________

On pose que R est le rayon du 1/2 cercle de centre O. O est sur le segment AB (B dans l'angle droit). L'angle entre l'hypoténuse et ce segment est a. C est le 3ème sommet.
On a les 2 relations AB = AO + OB = AO + R = cos a et sin a = AO/R. On élimine AO et on en tire R = (cos a * sin a) / (1 + sin a)
On remplace sin a par x, 0 < x < 1 et on déduit l'équation :

R = x* V( 1-x² ) / (1 + x).

C'est une fonction classique à étudier comme au Lycée. La dérivee a le même signe que 1 - 2x² - x^3 = ( x+ 1) ( 1 - x - x² ). Comme x+1 > 0, alors le signe de la dérivée est tributaire de la parabole tournée vers le bas 1 - x - x². Entre 0 et 1 la dérivée est décroissante. Elle est > 0 jusqu'à la racine, < 0 au dela, il y a donc un max pour la racine qui vaut (V5 - 1) / 2. Cette valeur est le conjugué du nombre d'or (1/phi). Par Pythagore, on déduit que l'autre segment est la racine carrée du conjugué du nombre d'or.

On observe aussi que la distance entre le point du contact du 1/2 cercle et de l'hypoténuse avec C est aussi 1/phi. Et que donc, comme 1-1/phi = 1/phi² (d'après l'équation de la racine), on a donc sur le même dessin : 1 / phi, 1 / ( V phi ) et 1 / phi ² .

Etonnant, non ?

 #19 - 18-12-2016 17:11:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,627E+3

demi-mune

il ne fallait pas se laisser aller à son intuition première, trompeuse, que le max est atteint avec le triangle équilatéral.

Bah, moi, je me suis laissé trompé... lol

Il ne fallait effectivement pas lire "rapport de taille entre les 2 formes" qui est max pour un triangle équilatéral, mais bien "taille du demi cercle" sans se soucier de celle du triangle.

 

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