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 #1 - 21-06-2011 21:08:34

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Premiers moddulo 12: étape 4

Déduire de Premiers modulo 12 : étape 2 et Premiers modulo 12: étape 3 que tout diviseur premier d'un entier de la forme 4k²+3 avec k non divisible par 3 est congru à 1 ou 7 modulo 12.

En déduire  que tout entier de la forme 4k²+3 avec k non divisible par 3 admet au moins un diviseur premier congru lui aussi à 7 modulo 12.



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 #2 - 22-06-2011 09:35:55

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Premiers moduo 12: étape 4

J'ai pas encore réussi l'étape 2, mais j'y reviendrais smile En attendant, j'admet son résultat.

Q = 7[12]
Soient a et b tels que ab = Q
Alors a = 1 [3], b = 1[3] (étape 2)
et a ou b = 1[4] (on va dire b pour simplifier) et l'autre =3[4] (du coup ça sera a) d'après l'étape 3

a=4x+3 = 3y+1
C'est un problème de restes chinois ça smile Euclide etc,... x est de la forme 3n+1
a = 12n+4+3 = 7[12]

Ceci est valable pour tout diviseur a (ou son codiviseur b) de Q; y compris pour les diviseurs premiers donc

Partant de là, on sait que tout nombre N congru à 7 modulo 12 admet un diviseur D congru à 7 modulo 12.
Si N n'admet pas de facteur premier congru à 7 modulo 12, alors D n'est pas premier et donc est composé. On peut donc sortir un diviseur de D noté D' qui serait:
- Supérieur à 1 mais inférieur à D (D est composé donc c'est possible)
- Congru à 7 modulo 12 ("Si ce n'est toi, c'est donc ton frère")
- Qui divise N (ben oui D' | D | N)
- Et donc non premier (par hypothèse)
Comme 1<D'<D; par un argument de descente infinie on démontre l'absurdité de l'hypothèse.

N admet donc un diviseur premier congru à 7 modulo 12

 #3 - 27-06-2011 17:37:11

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Premiers modulo 1: étape 4

Bon, inutile de continuer à chercher l'étape 2 plus longtemps: cette étape ci est erronée elle aussi

Prenons par exemple 55, dont les diviseurs sont 1, 5, 11 et 55; congru à 7 modulo 12 et pourtant n'admet aucun diviseur premier congru à 7 modulo 12.


Dommage, j'aimais bien l'idée que ça soit possible smile smile

 #4 - 27-06-2011 18:18:20

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

premiees modulo 12: étape 4

Oui mais j'ai oublié de modifier l'énoncé...


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 #5 - 27-06-2011 18:36:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Premiers modulo 12: étpe 4

Ben oui mais non : il faudrait alors que ce diviseur soit lui aussi de la forme 4k^2+3, ce que rien n'indique !

 #6 - 27-06-2011 19:30:23

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

premiers modulo 12: étaoe 4

Errare humanum est, perseverare diabolicum smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 27-06-2011 19:57:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Premeirs modulo 12: étape 4

Un contre-exemple pour ce cas ci est plus simple à trouver.
Pour k = 55, 4k^2+4 = 133*91
91 est bien congru à 7 modulo 12; (91-3)/4 = 22 n'est pas un carré.
Certes, c'est un multiple de 7, mais la condition "4k^2+3" au lieu de "7 modulo 12" vient empirer les choses plutôt que de les remettre sur pied smile

 #8 - 27-06-2011 20:04:06

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Premiers modulo 12: étpe 4

Je n'ai pas demandé de diviseur de la forme 4t²+3, Scarta...


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 #9 - 27-06-2011 21:51:21

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

peemiers modulo 12: étape 4

Dans ce cas tu ne peux pas itérer le raisonnement vu que les hypothèses de départ ne sont pas satisfaites...

 #10 - 27-06-2011 22:09:26

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

premiers mosulo 12: étape 4

Tout à fait...Il faut que je corrige si c'est possible.
Mais reste le défi de l'étape 2 : la résoudre ou l'infirmer.


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 #11 - 28-06-2011 14:06:25

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Premiers modulo 12: éatpe 4

Cette fois l'énoncé doit être bon...


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