En relisant, une ou deux choses à laquelle je n'ai pas répondu, et dont j'ai les réponses :

- L'énoncé vient juste d'un problème plus compliqué ou m²-n² était une puissance de 2, et c'était en fait p²-q², c'est à dire des nombres premiers. La recherche d'une solution au problème m'avait amené à cette interrogation.

- il ne peut pas y avoir de m supérieur à (n²+1)/2. Pour cela reprendre ma réponse où je parle d'un couple a*b = n' ( n' + 1) = (n²-1)/4 avec la solution nécessaire b-a+1 est divisible par n'. Le (a,b) de la solution qui marche pour tout n est  (a=1, b= n'(n'+1)). b ne peut pas être grand, puisque a vaut 1 et ne peut être plus petit. Comme m = 2b+ 1 ça donne bien (n²+1)/2.

Oui, j'avais vu ça.

J'ai tenté cette idée, sur la base de la 1ère famille de solutions : Remplacer n par n(k) un polynome de degré 2, et m par m(k), un polynome de degré 3 (forcément).
n(k) = n2 k² + n1 k + n0
m(k) = m3 k^3 + m2 k² + m1 k + m0

où n0 n1 n2 m0 m1 m2 m3 sont des coeff rationnels.

Curieusement, je n'ai pas pu retrouver ta solution, mais je me suis sans doute planté quelque part dans le développement. ça devrait pourtant permettre de dégager toutes les solutions.