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 #26 - 03-04-2017 12:00:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Arithmétiqu carrée....

En relisant, une ou deux choses à laquelle je n'ai pas répondu, et dont j'ai les réponses :

- L'énoncé vient juste d'un problème plus compliqué ou m²-n² était une puissance de 2, et c'était en fait p²-q², c'est à dire des nombres premiers. La recherche d'une solution au problème m'avait amené à cette interrogation.

- il ne peut pas y avoir de m supérieur à (n²+1)/2. Pour cela reprendre ma réponse où je parle d'un couple a*b = n' ( n' + 1) = (n²-1)/4 avec la solution nécessaire b-a+1 est divisible par n'. Le (a,b) de la solution qui marche pour tout n est  (a=1, b= n'(n'+1)). b ne peut pas être grand, puisque a vaut 1 et ne peut être plus petit. Comme m = 2b+ 1 ça donne bien (n²+1)/2.

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 #27 - 04-04-2017 22:22:04

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 427

Arithmétique caarrée....

Ha, je viens de comprendre pourquoi pour la k-ième famille de solutions, le quotient m/n tend vers [latex]\frac{k+\sqrt{k^2+4}}{2}[/latex], c'est tout bête. L'équation (m-1)*(n-1)*k=m²-n² correspond à une hyperbole, et le quotient en question est simplement la pente de l'asymptote.

 #28 - 05-04-2017 08:14:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Arithmtéique carrée....

Oui, j'avais vu ça.

J'ai tenté cette idée, sur la base de la 1ère famille de solutions : Remplacer n par n(k) un polynome de degré 2, et m par m(k), un polynome de degré 3 (forcément).
n(k) = n2 k² + n1 k + n0
m(k) = m3 k^3 + m2 k² + m1 k + m0

où n0 n1 n2 m0 m1 m2 m3 sont des coeff rationnels.

Curieusement, je n'ai pas pu retrouver ta solution, mais je me suis sans doute planté quelque part dans le développement. ça devrait pourtant permettre de dégager toutes les solutions.

 #29 - 08-04-2017 08:31:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Arithmétique carrée...

ça y est, j'ai tout de même pu retrouver le bon polynome d'Ebichu cité au tout début, après la solution de base.

C'est le polynome :

n((k) = 1 + 2 k + 2 k²
m(k) = 1 + 2 k + 2 k² + 2 k^3.

C'est, si je ne me suis pas trompé, le seul polynome de degré 2 / 3.

On doit pouvoir regarder si un polynome de degré 3 / 4 existe ou pas.
En partant de :
n(k) = n3 k^3 + n2 k² + n1 k + n0
m(k) = m4 k^4 + m3 k^3 + m2 k² + m1 k + m0

mais ça commence à se compliquer sérieusement.....

 

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