Salut,
D'un carré d'entier au suivant l'espace est  (n+1)^2-n^2 = 2n+1.
Autrement dit si notre suite est arithmétique et de raison r il existe un moment ou r devient plus petit que l'espace entre 2 carrés consécutifs, d’où l'impossibilité.

Je me demande si on peut en construire des finies mais arbitrairement grande,
Dans le cas contraire je me demande quelle est la plus grande.

Une suite infinie ne comportant que des carrés, la manière dont je comprends l'énoncé est peut-être fausse.
$$\fbox{\forall i \in \mathbb{N}^* \text{on a } U_n=\sum_{i=1}^n (2i-1)=n^2}$$
C'est déjà pas mal non ? Mince elle n'est pas arithmétique

Instinctivement : non.

Pas encore de démo, mais je suis sûr que ce n'est pas bien dur. Demain, plus reposé, je m'en sortirai sans doute mieux

supposons qu'il existe une suite de raison r, alors il existe un a >r/2 tq il existe n tq:
Un = a²
d'ou
Un+1 = Un +r=a²+r

or Un+1 >Un =a²
donc Un+1>=(a+1)²=a²+2a+1 > a²+r+1>a²+r
-> contradiction.

Les questions subsidiaires (plus haut),

Des triplets de carré en progression arithmétique ça se trouve assez facilement:
1-25-49
1-841-1681
4-100-196
4-3364-6724
9-225-441
9-7569-15129
16-400-784
25-625-1225
36-900-1764
49-169-289
Etc...  (petit programme)

Par contre le même petit prog n'a pas trouvé de quadruplet pour les entiers avant la saturation long int (environ 2 000 000 000)
Ce qui ne prouve bien sur rien mais donne une piste de quoi chercher à prouver.

Bonne idée de Nodgim mais petite erreur tout de même : considère 1 -25- 49 c'est une progression aritmétique de carrés avec trois termes.

Soit p la raison de la suite concernée.

Pour tout n:
$$(n+1)^2-n^2 = 2 n + 1$$
Donc pour n>(p-1)/2
$$(n+1)^2-n^2>p$$
et donc pour tout k
$$(n+k)^2-n^2>p$$
Une telle suite n'existe donc pas.

Une autre réponse possible, par l'absurde :

Supposons qu'une telle suite existe.
$$\forall n, \hspace{2} Y = an + b[/latex] est un carré, avec [latex]a \ne 0[/latex] (trivial) et [latex]b \ne 0[/latex] (impossible) (1) [latex]n=0 \Rightarrow b[/latex] est un carré. (2) [latex]n=ab \Rightarrow b(a^2 + 1)[/latex] est un carré. Et comme b est un carré non nul, [latex]\Rightarrow (a^2 + 1)[/latex] est un carré, [latex]\Rightarrow a = 0$$
Les seules suites qui existent sont donc de la forme $Y = b$ avec $b$ étant un carré.

CQFD.

Très intéressé par toutes vos réponses, mais
il n'a jamais été dit que les nombres dont on considère les carrés étaient consécutifs.
Ça détruit toutes les réponses du type (n+1)²-n².

Mais le même raisonnement s'appliquerait avec (n+a)²-n² , $\forall$a arbitrairement grand.

halloduda a écrit:

Très intéressé par toutes vos réponses, mais
il n'a jamais été dit que les nombres dont on considère les carrés étaient consécutifs.
Ça détruit toutes les réponses du type (n+1)²-n².

Mais le même raisonnement s'appliquerait avec (n+a)²-n² , $\forall$a arbitrairement grand.

halloduda, je ne vois pas en quoi ma réponse n'est pas correcte.

La question initiale concerne une suite arithmétique ne contenant que des carrés. Si une telle suite existe, elle est de la forme $U_n = an + b$ et ma réponse consiste à examiner $U_0$ et $U_{ab}$.

Pourquoi n'est-ce pas correct ? Je ne suppose absolument pas que tous les carrés y sont, je ne m'intéresse même pas à leur valeur...
Klim.

halloduda a écrit:

Très intéressé par toutes vos réponses, mais
il n'a jamais été dit que les nombres dont on considère les carrés étaient consécutifs.
Ça détruit toutes les réponses du type (n+1)²-n².

Mais le même raisonnement s'appliquerait avec (n+a)²-n² , $\forall$a arbitrairement grand.

Tu n'as pas lu ma réponse assez en détail alors

d'apres toi alors cette suite existe ? Deja la j'ai du mal a y croire.
mais une suite arithmétique de raison négative!!! Ya pas un moment un terme sera négatif ? J'ai du mal comprendre quelque chose moi ....