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 #1 - 02-06-2011 20:05:46

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Des carrés en prgression arithmétique

Existe-t-il une suite (infinie) de nature arithmétique ne contenant que des carrés?

Une suite arithmétique étant une suite telle que la différence de deux termes consécutifs est constante.



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 #2 - 02-06-2011 20:38:57

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

des carrés en progression arithmétiqye

Salut,
D'un carré d'entier au suivant l'espace est  (n+1)^2-n^2 = 2n+1.
Autrement dit si notre suite est arithmétique et de raison r il existe un moment ou r devient plus petit que l'espace entre 2 carrés consécutifs, d’où l'impossibilité.

Je me demande si on peut en construire des finies mais arbitrairement grande,
Dans le cas contraire je me demande quelle est la plus grande.

 #3 - 02-06-2011 20:43:59

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

deq carrés en progression arithmétique

Tout nombre réel positif est le carré de sa propre racine carrée, non ??? Alors, de deux choses l'une, soit il faut préciser dans l'énoncé que les carrés sont PARFAITS, soit la question est piégeuse est la réponse du genre :

Oui, il existe même une infinité de suites arithmétiques, de germe un carré parfait, et de raison 0 (oui, c'est recevable:cool:)


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #4 - 02-06-2011 20:59:27

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Des carrés en progresion arithmétique

Une suite infinie ne comportant que des carrés, la manière dont je comprends l'énoncé est peut-être fausse.
[TeX]\fbox{\forall i \in \mathbb{N}^* \text{on a } U_n=\sum_{i=1}^n (2i-1)=n^2}[/TeX]
C'est déjà pas mal non ? Mince elle n'est pas arithmétique sad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 02-06-2011 22:15:58

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

des carrés en progression aruthmétique

Les carrés sont parfaits et la raison non nulle...


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 #6 - 02-06-2011 22:26:38

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Des carrés en pprogression arithmétique

Instinctivement : non.

Pas encore de démo, mais je suis sûr que ce n'est pas bien dur. Demain, plus reposé, je m'en sortirai sans doute mieux smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 02-06-2011 22:49:32

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Des carrés en progression raithmétique

Bravo à Clydevil!
Tes questions sont intéressantes.


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 #8 - 03-06-2011 01:24:24

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Des ccarrés en progression arithmétique

supposons qu'il existe une suite de raison r, alors il existe un a >r/2 tq il existe n tq:
Un = a²
d'ou
Un+1 = Un +r=a²+r

or Un+1 >Un =a²
donc Un+1>=(a+1)²=a²+2a+1 > a²+r+1>a²+r
-> contradiction.

 #9 - 03-06-2011 02:19:40

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

des carrés en progression atithmétique

On a: [latex](n+1)^2=n^2+(2n+1)[/latex]

On voit que les espaces entre les carrés parfaits sont les entiers impaires.

Et donc quelle que soit la raison choisie, à partir d'un certain nombre, deux carrés parfaits consécutifs seront toujours séparés par un écart plus grand que cette raison.

Autrement dit, si la raison est [latex]r[/latex], on aura un [latex]n[/latex] tel que [latex]2n+1>r \Rightarrow n>\dfrac{r-1}{2}[/latex]
à partir duquel, pour tout [latex]a\ge n[/latex] l'espace entre [latex]a^2[/latex] et [latex](a+1)^2[/latex] est supérieur à [latex]r[/latex].

Il ne peut donc pas exister de suite arithmétique ne contenant que des carrés.


There's no scientific consensus that life is important

 #10 - 03-06-2011 11:09:46

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Des carrés en progression arithmmétique

Les questions subsidiaires (plus haut),

Des triplets de carré en progression arithmétique ça se trouve assez facilement:
1-25-49
1-841-1681
4-100-196
4-3364-6724
9-225-441
9-7569-15129
16-400-784
25-625-1225
36-900-1764
49-169-289
Etc...  (petit programme)

Par contre le même petit prog n'a pas trouvé de quadruplet pour les entiers avant la saturation long int (environ 2 000 000 000)
Ce qui ne prouve bien sur rien mais donne une piste de quoi chercher à prouver. smile

 #11 - 03-06-2011 12:17:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

des carrés en progression arithméyique

La raison r de la suite sera à un certain moment inférieure à la différence entre 2 carrés successifs, et dans ce cas la suite arithmétique ne pourra tomber sur des carrés que de temps en temps.
exemple: suite de raison 24 et 1er terme à 1:
1 25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 ..
elle passe par 13², mais la différence 14²-13²=27 est plus grande que 24, donc  169+24 ne peut être carré.

 #12 - 03-06-2011 13:09:38

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

des carrés en progression ariyhmétique

Bonne idée de Nodgim mais petite erreur tout de même : considère 1 -25- 49 c'est une progression aritmétique de carrés avec trois termes.


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 #13 - 03-06-2011 19:37:54

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

des cartés en progression arithmétique

Ma réponse me semble trop simple, j'ai du rater quelque chose...

Supposons qu'une telle suite existe et soit r sa raison non nulle.
La différence entre 2 carrés successifs tend vers l'infini:
[latex](n+1)^2-n^2=2n+1[/latex].

Donc à partir d'un certain rang la différence entre 2 carrés consécutifs est plus grande que r.
A partir de ce rang, il n'est plus possible de construire les termes successifs: le carré suivant est "trop loin" et les suivants encore plus...

J'attends avec impatience les réponses.
Merci pour cette énigme en tout cas.

 #14 - 05-06-2011 11:31:56

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

dzs carrés en progression arithmétique

Soit p la raison de la suite concernée.

Pour tout n:
[TeX](n+1)^2-n^2 = 2 n + 1[/TeX]
Donc pour n>(p-1)/2
[TeX](n+1)^2-n^2>p[/TeX]
et donc pour tout k
[TeX](n+k)^2-n^2>p[/TeX]
Une telle suite n'existe donc pas.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 05-06-2011 21:14:30

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Des carrés en proggression arithmétique

Vos solutions sont sympas, mais maintenant il faut s'attaquer à la suite...


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 #16 - 06-06-2011 10:43:21

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3758
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

des carrés en progressoon arithmétique

Une autre réponse possible, par l'absurde :

Supposons qu'une telle suite existe.
[TeX]\forall n, \hspace{2} Y = an + b[/latex] est un carré, avec [latex]a \ne 0[/latex] (trivial) et [latex]b \ne 0[/latex] (impossible)

(1) [latex]n=0 \Rightarrow b[/latex] est un carré.

(2) [latex]n=ab \Rightarrow b(a^2 + 1)[/latex] est un carré.
Et comme b est un carré non nul, [latex]\Rightarrow (a^2 + 1)[/latex] est un carré, [latex]\Rightarrow a = 0[/TeX]
Les seules suites qui existent sont donc de la forme [latex]Y = b[/latex] avec [latex]b[/latex] étant un carré.

CQFD.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #17 - 06-06-2011 11:33:07

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

des carrés en progressiob arithmétique

J'en ai un autre qui construit une suite strictement décroissante d'entiers poisitifs.
Je la rédigerais à l'occasion.
Bravo en tout cas.


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 #18 - 06-06-2011 12:03:05

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

des carréq en progression arithmétique

Très intéressé par toutes vos réponses, mais
il n'a jamais été dit que les nombres dont on considère les carrés étaient consécutifs.
Ça détruit toutes les réponses du type (n+1)²-n².

Mais le même raisonnement s'appliquerait avec (n+a)²-n² , [latex]\forall [/latex]a arbitrairement grand.

 #19 - 06-06-2011 12:26:11

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Des carrés en progession arithmétique

Il étudiait je pense le pire des cas.

Je mettrai ma méthode ce soir.


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 #20 - 06-06-2011 13:55:23

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3758
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

des carrés en progression arithmétiqie

halloduda a écrit:

Très intéressé par toutes vos réponses, mais
il n'a jamais été dit que les nombres dont on considère les carrés étaient consécutifs.
Ça détruit toutes les réponses du type (n+1)²-n².

Mais le même raisonnement s'appliquerait avec (n+a)²-n² , [latex]\forall [/latex]a arbitrairement grand.

halloduda, je ne vois pas en quoi ma réponse n'est pas correcte.

La question initiale concerne une suite arithmétique ne contenant que des carrés. Si une telle suite existe, elle est de la forme [latex]U_n = an + b[/latex] et ma réponse consiste à examiner [latex]U_0[/latex] et [latex]U_{ab}[/latex].

Pourquoi n'est-ce pas correct ? Je ne suppose absolument pas que tous les carrés y sont, je ne m'intéresse même pas à leur valeur...
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #21 - 06-06-2011 16:55:31

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Des carés en progression arithmétique

halloduda a écrit:

Très intéressé par toutes vos réponses, mais
il n'a jamais été dit que les nombres dont on considère les carrés étaient consécutifs.
Ça détruit toutes les réponses du type (n+1)²-n².

Ca ne les détruit pas.

Ce qui est dit est que les carrés sont de plus en plus espacés ; quelle que soit la raison choisie pour la suite, cette raison deviendra a un moment donné plus petite que la distance entre un terme (carré) de la suite et le carré suivant, donc le terme suivant de la suite ne peut pas être carré, donc une suite arithmétique infinie de carrés n'existe pas.


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 #22 - 06-06-2011 18:03:54

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Des carrés en progression arithmétqiue

halloduda a écrit:

Très intéressé par toutes vos réponses, mais
il n'a jamais été dit que les nombres dont on considère les carrés étaient consécutifs.
Ça détruit toutes les réponses du type (n+1)²-n².

Mais le même raisonnement s'appliquerait avec (n+a)²-n² , [latex]\forall [/latex]a arbitrairement grand.

Tu n'as pas lu ma réponse assez en détail alors smile

 #23 - 06-06-2011 18:12:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

des catrés en progression arithmétique

Voici une autre solution :
[TeX]b_{n+1}^2-b_n^2=b_n^2-b_{n-1}^2[/TeX]
or [latex]b_{n+1}+b_n>b_n+b_{n-1}[/latex]

donc [latex]b_{n+1}-b_n<b_n-b_{n-1}[/latex]

Finalement [latex]b_2-b_1>b_3-b_2>b_4-b_3...[/latex]

D'où la suite strictement décroissante d'entiers positifs promise.smile


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 #24 - 06-06-2011 23:08:32

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

des carrés en progression arithmétiqie

d'apres toi alors cette suite existe ? Deja la j'ai du mal a y croire.
mais une suite arithmétique de raison négative!!! Ya pas un moment un terme sera négatif ? J'ai du mal comprendre quelque chose moi ....

 #25 - 06-06-2011 23:12:28

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3758
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

des carrés en progredsion arithmétique

Bah non !
Il vient de montrer que cette suite, qui est croissante, est également décroissante !
Donc soit elle n'existe pas, soit elle est constante.


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