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 #1 - 05-08-2017 02:11:58

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 456

Problèe d'arithmétique

Bonjour tout le monde!

J'ai trouvé dans un livre de maths un problème que je pense avoir résolu, mais je ne suis pas totalement sur.  A la fin du livre il n'y a pas la solution. Pour certains d'entre vous ce problème sera surement un jeu d'enfant, et que vous pourrez m'éclaircir sur ce problème.

Donc le voici:
On a une balance Roberval et on aimerait que un coté pèse n grammes de plus que l'autre. Sachant que n est un entier entre 0 et 80 inclus, quel est le nombre minimal de poids dont on a besoin pour accomplir notre souhait.
Les poids peuvent avoir n'importe quelle masse (il faut qu'elle soit positive quand même). Si n = 5 par exemple, on peut mettre un poids de 7 sur l'une des plaques et un poids de 2 sur l'autre. On peut mettre plusieurs poids sur une même plaque.

Bonne recherche et merci d'avance!

Spirou


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.
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 #2 - 05-08-2017 03:52:00

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 230

Problème d'arithmétiqu

Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de [latex]n[/latex] grammes ...

 #3 - 05-08-2017 04:05:31

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 456

Problème d'arithmétiqu

Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de nn grammes ...

Oui il faut choisir les poids à l'avance et à l'aide de ceux la remplir la condition pour tout n <= 80.

Désolé pour la mauvaise formulation


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #4 - 05-08-2017 08:20:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

provlème d'arithmétique

Bonjour,

Avec 6 poids, ça marche : on l'a dans le porte monnaie tous les jours...
1, 2, 5, 10, 20, 50

Mais 1, 2, 7, 21, 63 permet d'aller jusqu'à 94 avec 5 poids, ce qui est le minimum. smile

Edit 1 3 9 27 81 donne 121, ce qui est le maximum avec 5 poids.

 #5 - 05-08-2017 08:47:19

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 959

probkème d'arithmétique

Première idée : les sept valeurs 1, 3, 7, 15, 31, 63 et 127 s'écrivent en base deux uniquement avec des 1.
On écrit n en base deux. Par exemple 1101001.
Dans ce cas, on place 1111111 à gauche.
Puis 11111 à droite.
Puis 1111 à gauche.
Puis 111 à droite.
Puis 1 à gauche.
1111111+1111+1-11111-111=1101001.
Comment prouver qu'on ne fait pas mieux ?

[edit]
Là, je vais jusqu'à n=255... Les six premiers poids suffisent !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 05-08-2017 11:23:23

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 315

Problème d'arithmétqiue

bonjour .

avec 5 poids ( 1 , 2 , 6 , 18 & 54g ) ça devrait coller je pense.

je commence ainsi :
80 ---->  0            /  2+6+18+54
79 ---->  1            /  2+6+18+54
78 ---->  0            /  6+18+54
77 ---->  1            /  6+18+54
76 ---->  2            /  6+18+54
75 ---->  1+2        /  6+18+54
74 ---->   0           /  2+18+54
73 ---->   1           /  2+18+54
72 ---->   0           /  18+54
71 ---->   1           /   18+54
70 ---->   2           /   18+54
69 ---->   1+2       /   18+54
68 ---->    6          /   2+18+54
67 ---->  1+6        /   2+18+54
66 ---->   6           /  18+54
65 ---->  1+6        /   18+54
64 ---->  2+6        /   18+54
63 ---->  1+2+6    /   18+54
62 ---->   0           /   2+6+54
61 ---->   1           /   2+6+54
60 ---->    0          /   6+54
59 ---->   1           /   6+54
58 ---->   2           /   6+54
57 ---->  1+2        /  6+54
56 ---->   0           /   2+54
55  ---->  1           /   2+54
54  ---->  0           /    54
53  ---->  1           /    54
52 ---->  2            /    54
51  ----> 1+2        /    54
50  ---->  6           /    2+54
49  ---->  1+6       /    2+54
48  ---->   6          /     54
47  ---->  1+6       /     54
46 ---->    2+6      /     54
45 ---->   1+2+6   /     54
44 ---->   18         /   2+6+54
43 ---->   1+18     /   2+6+54
42 ---->    18        /     6+54
41 ---->   1+18     /     6+54
40 ---->    2+18    /     6+54
39 ---->  1+2+18  /     6+54
38 ---->   18         /     2+54
37 ---->   1+18      /    2+54
36 ---->   18          /      54
35 ---->   1+18      /      54
34 ---->   2+18      /      54
33 ---->  1+2+18   /      54
32 ---->   6+18      /   2+54
31 ---->  1+6+18   /   2+54
30 ---->   6+18      /      54
29 ---->  1+6+18   /      54
28 ---->   2+6+18  /      54
27 ----> 1+2+6+18 /     54
26 ---->       0         /  2+6+18
25 ---->        1        /  2+6+18
24 ---->       0         /   6+18
23 ---->        1        /   6+18
22 ---->        2        /   6+18
21 ---->     1+2       /   6+18
20 ---->        0        /   2+18
19 ---->       1         /   2+18
18 ---->       0         /     18
17 ---->       1         /      18
16 ---->       2         /      18
15 ---->     1+2        /     18
14 ---->      6           /   2+18
13 ---->     1+6       /    2+18
12 ---->       6         /      18
11 ---->      1+6      /      18
10 ---->      2+6      /       18
9  ---->    1+2+6     /       18
8 ---->     2+6         /        18
7 ---->     1             /    2+6
6 ---->     0             /      6
5 ---->     1             /      6
4 ---->     2             /      6
3 ---->    1+2         /       6
2 ---->      0           /        2
1 ---->      0           /        1

 #7 - 05-08-2017 11:50:40

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

Problème d'aarithmétique

Un poids peut être placé soit à gauche, soit à droite, soit nulle part. S'il y a p poids, il y a donc au plus 3^p pesées différentes. On veut un total de 81=3^4 pesées différentes : il faut donc au moins 4 poids.

Si on utilise une balance déséquilibrée, c'est possible : en prenant un plateau plus lourd de 40 g que l'autre, et des poids de 1, 3, 9 et 27 g.

En effet, placer des poids de 1, 3, 9, et 27 à gauche, à droite, ou pas du tout équivaut à écrire un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {-1;0;1}. En décalant de 40=1+3+9+27, ça nous donne un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {0;1;2}, c'est-à-dire l'écriture en base 3 d'un entier entre 0 et 80.

Si la balance est équilibrée, 4 poids ne peuvent suffire, car par exemple, "tous les poids à gauche", et "tous les poids à droite" donnent le même écart. On obtient donc strictement moins de 80 pesées différentes avec 4 poids, il en faut au moins 5. Or 5 poids suffisent, en prenant un poids de 40 g et en le plaçant systématiquement à gauche, puis en appliquant le même système que précédemment.

 #8 - 05-08-2017 12:51:05

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 959

problème d'aritjmétique

Deuxième idée : Des puissances de 3 semblent plus efficaces. On peut se contenter de 1, 3, 9, 27 et 81.
On écrit n en base trois puis on remplace les 2 par des (3-1).
Par exemple :
73 = 2*27 + 2*9 + 1
73 = 81 - 27 + 27 - 9 + 1
73 = 81 - 9 + 1
Donc 73 s'obtient avec 81+1 d'un côté et 9 de l'autre...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 05-08-2017 14:14:13

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

problème d'arithmétiqye

Bonjour,
Je dirais : 1 3 9 27 81
qui couvre la plage 0 - 121

 #10 - 05-08-2017 14:26:05

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 456

Problème d'arithmétque

Merci à tous, vous trouvez tous le meme résultat que moi, je vois d'ailleurs qu'il existe plusieurs solutions différentes et qu'on aurait pu mettre augamenter la valeur de n sans changer le resultat!


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #11 - 05-08-2017 15:30:16

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

Problèmme d'arithmétique

Si on veut se limiter à la plage 0 - 80 : 1 3 9 27 40

 #12 - 07-08-2017 15:04:54

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1709

Problème d'raithmétique

Via les puissances de 3, non ?
5 poids suffiraient, 1, 3, 9, 27 et 81 dans les limites de l'énoncé
* -1..1 ==> 1 côté droit, absent ou côté gauche
* 1..4 ==> 3 côté gauche, 1 suivant les cas ci-dessus (de 3-1 à 3+1)
* 5..13 ==> 9 côté gauche, 1 et 3 suivant les cas ci-dessus (de 9-4 à 9+4)
* 14..40 ==> 27 côté gauche, 1,3,9 suivant les cas ci-dessus (de 27-13 à 27+13)
* 41..121 ==> 81 côté gauche et 1,3,9,27 suivant les cas ci-dessus (de 81-40 à 81+40)
Accessoirement, chaque poids peut être à gauche, à droite ou absent, donc 3 combinaisons différentes. Il faut donc un minimum de n poids avec 3^n >= card[0..80]. Donc au moins 4 poids.
Là on en a 5. Bon. Il va donc falloir vérifier si on ne peut pas faire mieux (en pratique on peut pas). Mais bon y'a plein de manières de faire 5 poids smile

 

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