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#1 - 05-08-2017 02:11:58
- Spirou
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pronlème d'arithmétique
Bonjour tout le monde!
J'ai trouvé dans un livre de maths un problème que je pense avoir résolu, mais je ne suis pas totalement sur. A la fin du livre il n'y a pas la solution. Pour certains d'entre vous ce problème sera surement un jeu d'enfant, et que vous pourrez m'éclaircir sur ce problème.
Donc le voici: On a une balance Roberval et on aimerait que un coté pèse n grammes de plus que l'autre. Sachant que n est un entier entre 0 et 80 inclus, quel est le nombre minimal de poids dont on a besoin pour accomplir notre souhait. Les poids peuvent avoir n'importe quelle masse (il faut qu'elle soit positive quand même). Si n = 5 par exemple, on peut mettre un poids de 7 sur l'une des plaques et un poids de 2 sur l'autre. On peut mettre plusieurs poids sur une même plaque.
Bonne recherche et merci d'avance!
Spirou
#2 - 05-08-2017 03:52:00
- Sydre
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problèle d'arithmétique
Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de [latex]n[/latex] grammes ...
#3 - 05-08-2017 04:05:31
- Spirou
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problème d'aruthmétique
Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de nn grammes ...
Oui il faut choisir les poids à l'avance et à l'aide de ceux la remplir la condition pour tout n <= 80.
Désolé pour la mauvaise formulation
#4 - 05-08-2017 08:20:39
- gwen27
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problème d'arithlétique
Bonjour,
Avec 6 poids, ça marche : on l'a dans le porte monnaie tous les jours... 1, 2, 5, 10, 20, 50
Mais 1, 2, 7, 21, 63 permet d'aller jusqu'à 94 avec 5 poids, ce qui est le minimum.
Edit 1 3 9 27 81 donne 121, ce qui est le maximum avec 5 poids.
#5 - 05-08-2017 08:47:19
- scrablor
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problème d'aritgmétique
Première idée : les sept valeurs 1, 3, 7, 15, 31, 63 et 127 s'écrivent en base deux uniquement avec des 1. On écrit n en base deux. Par exemple 1101001. Dans ce cas, on place 1111111 à gauche. Puis 11111 à droite. Puis 1111 à gauche. Puis 111 à droite. Puis 1 à gauche. 1111111+1111+1-11111-111=1101001. Comment prouver qu'on ne fait pas mieux ?
[edit] Là, je vais jusqu'à n=255... Les six premiers poids suffisent !
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#6 - 05-08-2017 11:23:23
- unecoudée
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Problème d'arithmmétique
bonjour .
avec 5 poids ( 1 , 2 , 6 , 18 & 54g ) ça devrait coller je pense.
je commence ainsi : 80 ----> 0 / 2+6+18+54 79 ----> 1 / 2+6+18+54 78 ----> 0 / 6+18+54 77 ----> 1 / 6+18+54 76 ----> 2 / 6+18+54 75 ----> 1+2 / 6+18+54 74 ----> 0 / 2+18+54 73 ----> 1 / 2+18+54 72 ----> 0 / 18+54 71 ----> 1 / 18+54 70 ----> 2 / 18+54 69 ----> 1+2 / 18+54 68 ----> 6 / 2+18+54 67 ----> 1+6 / 2+18+54 66 ----> 6 / 18+54 65 ----> 1+6 / 18+54 64 ----> 2+6 / 18+54 63 ----> 1+2+6 / 18+54 62 ----> 0 / 2+6+54 61 ----> 1 / 2+6+54 60 ----> 0 / 6+54 59 ----> 1 / 6+54 58 ----> 2 / 6+54 57 ----> 1+2 / 6+54 56 ----> 0 / 2+54 55 ----> 1 / 2+54 54 ----> 0 / 54 53 ----> 1 / 54 52 ----> 2 / 54 51 ----> 1+2 / 54 50 ----> 6 / 2+54 49 ----> 1+6 / 2+54 48 ----> 6 / 54 47 ----> 1+6 / 54 46 ----> 2+6 / 54 45 ----> 1+2+6 / 54 44 ----> 18 / 2+6+54 43 ----> 1+18 / 2+6+54 42 ----> 18 / 6+54 41 ----> 1+18 / 6+54 40 ----> 2+18 / 6+54 39 ----> 1+2+18 / 6+54 38 ----> 18 / 2+54 37 ----> 1+18 / 2+54 36 ----> 18 / 54 35 ----> 1+18 / 54 34 ----> 2+18 / 54 33 ----> 1+2+18 / 54 32 ----> 6+18 / 2+54 31 ----> 1+6+18 / 2+54 30 ----> 6+18 / 54 29 ----> 1+6+18 / 54 28 ----> 2+6+18 / 54 27 ----> 1+2+6+18 / 54 26 ----> 0 / 2+6+18 25 ----> 1 / 2+6+18 24 ----> 0 / 6+18 23 ----> 1 / 6+18 22 ----> 2 / 6+18 21 ----> 1+2 / 6+18 20 ----> 0 / 2+18 19 ----> 1 / 2+18 18 ----> 0 / 18 17 ----> 1 / 18 16 ----> 2 / 18 15 ----> 1+2 / 18 14 ----> 6 / 2+18 13 ----> 1+6 / 2+18 12 ----> 6 / 18 11 ----> 1+6 / 18 10 ----> 2+6 / 18 9 ----> 1+2+6 / 18 8 ----> 2+6 / 18 7 ----> 1 / 2+6 6 ----> 0 / 6 5 ----> 1 / 6 4 ----> 2 / 6 3 ----> 1+2 / 6 2 ----> 0 / 2 1 ----> 0 / 1
#7 - 05-08-2017 11:50:40
- Ebichu
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Problème d'rithmétique
Un poids peut être placé soit à gauche, soit à droite, soit nulle part. S'il y a p poids, il y a donc au plus 3^p pesées différentes. On veut un total de 81=3^4 pesées différentes : il faut donc au moins 4 poids.
Si on utilise une balance déséquilibrée, c'est possible : en prenant un plateau plus lourd de 40 g que l'autre, et des poids de 1, 3, 9 et 27 g.
En effet, placer des poids de 1, 3, 9, et 27 à gauche, à droite, ou pas du tout équivaut à écrire un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {-1;0;1}. En décalant de 40=1+3+9+27, ça nous donne un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {0;1;2}, c'est-à-dire l'écriture en base 3 d'un entier entre 0 et 80.
Si la balance est équilibrée, 4 poids ne peuvent suffire, car par exemple, "tous les poids à gauche", et "tous les poids à droite" donnent le même écart. On obtient donc strictement moins de 80 pesées différentes avec 4 poids, il en faut au moins 5. Or 5 poids suffisent, en prenant un poids de 40 g et en le plaçant systématiquement à gauche, puis en appliquant le même système que précédemment.
#8 - 05-08-2017 12:51:05
- scrablor
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Prroblème d'arithmétique
Deuxième idée : Des puissances de 3 semblent plus efficaces. On peut se contenter de 1, 3, 9, 27 et 81. On écrit n en base trois puis on remplace les 2 par des (3-1). Par exemple : 73 = 2*27 + 2*9 + 1 73 = 81 - 27 + 27 - 9 + 1 73 = 81 - 9 + 1 Donc 73 s'obtient avec 81+1 d'un côté et 9 de l'autre...
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#9 - 05-08-2017 14:14:13
- enigmatus
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problème d'arithmétiqye
Bonjour, Je dirais : 1 3 9 27 81 qui couvre la plage 0 - 121
#10 - 05-08-2017 14:26:05
- Spirou
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Problème d'arithmétiquue
Merci à tous, vous trouvez tous le meme résultat que moi, je vois d'ailleurs qu'il existe plusieurs solutions différentes et qu'on aurait pu mettre augamenter la valeur de n sans changer le resultat!
#11 - 05-08-2017 15:30:16
- enigmatus
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Problèe d'arithmétique
Si on veut se limiter à la plage 0 - 80 : 1 3 9 27 40
#12 - 07-08-2017 15:04:54
- scarta
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Problème d'arithémtique
Via les puissances de 3, non ? 5 poids suffiraient, 1, 3, 9, 27 et 81 dans les limites de l'énoncé * -1..1 ==> 1 côté droit, absent ou côté gauche * 1..4 ==> 3 côté gauche, 1 suivant les cas ci-dessus (de 3-1 à 3+1) * 5..13 ==> 9 côté gauche, 1 et 3 suivant les cas ci-dessus (de 9-4 à 9+4) * 14..40 ==> 27 côté gauche, 1,3,9 suivant les cas ci-dessus (de 27-13 à 27+13) * 41..121 ==> 81 côté gauche et 1,3,9,27 suivant les cas ci-dessus (de 81-40 à 81+40) Accessoirement, chaque poids peut être à gauche, à droite ou absent, donc 3 combinaisons différentes. Il faut donc un minimum de n poids avec 3^n >= card[0..80]. Donc au moins 4 poids. Là on en a 5. Bon. Il va donc falloir vérifier si on ne peut pas faire mieux (en pratique on peut pas). Mais bon y'a plein de manières de faire 5 poids
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