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 #1 - 05-08-2017 02:11:58

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 456

Problème d'arithmtique

Bonjour tout le monde!

J'ai trouvé dans un livre de maths un problème que je pense avoir résolu, mais je ne suis pas totalement sur.  A la fin du livre il n'y a pas la solution. Pour certains d'entre vous ce problème sera surement un jeu d'enfant, et que vous pourrez m'éclaircir sur ce problème.

Donc le voici:
On a une balance Roberval et on aimerait que un coté pèse n grammes de plus que l'autre. Sachant que n est un entier entre 0 et 80 inclus, quel est le nombre minimal de poids dont on a besoin pour accomplir notre souhait.
Les poids peuvent avoir n'importe quelle masse (il faut qu'elle soit positive quand même). Si n = 5 par exemple, on peut mettre un poids de 7 sur l'une des plaques et un poids de 2 sur l'autre. On peut mettre plusieurs poids sur une même plaque.

Bonne recherche et merci d'avance!

Spirou



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Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.
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 #2 - 05-08-2017 03:52:00

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 183

Problème d'aritmhétique

Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de [latex]n[/latex] grammes ...

 #3 - 05-08-2017 04:05:31

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 456

problème d'arithmétiquz

Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de nn grammes ...

Oui il faut choisir les poids à l'avance et à l'aide de ceux la remplir la condition pour tout n <= 80.

Désolé pour la mauvaise formulation


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #4 - 05-08-2017 08:20:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Problème d'arithmtique

Bonjour,

Avec 6 poids, ça marche : on l'a dans le porte monnaie tous les jours...
1, 2, 5, 10, 20, 50

Mais 1, 2, 7, 21, 63 permet d'aller jusqu'à 94 avec 5 poids, ce qui est le minimum. smile

Edit 1 3 9 27 81 donne 121, ce qui est le maximum avec 5 poids.

 #5 - 05-08-2017 08:47:19

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

probmème d'arithmétique

Première idée : les sept valeurs 1, 3, 7, 15, 31, 63 et 127 s'écrivent en base deux uniquement avec des 1.
On écrit n en base deux. Par exemple 1101001.
Dans ce cas, on place 1111111 à gauche.
Puis 11111 à droite.
Puis 1111 à gauche.
Puis 111 à droite.
Puis 1 à gauche.
1111111+1111+1-11111-111=1101001.
Comment prouver qu'on ne fait pas mieux ?

[edit]
Là, je vais jusqu'à n=255... Les six premiers poids suffisent !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 05-08-2017 11:23:23

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 213

peoblème d'arithmétique

bonjour .

avec 5 poids ( 1 , 2 , 6 , 18 & 54g ) ça devrait coller je pense.

je commence ainsi :
80 ---->  0            /  2+6+18+54
79 ---->  1            /  2+6+18+54
78 ---->  0            /  6+18+54
77 ---->  1            /  6+18+54
76 ---->  2            /  6+18+54
75 ---->  1+2        /  6+18+54
74 ---->   0           /  2+18+54
73 ---->   1           /  2+18+54
72 ---->   0           /  18+54
71 ---->   1           /   18+54
70 ---->   2           /   18+54
69 ---->   1+2       /   18+54
68 ---->    6          /   2+18+54
67 ---->  1+6        /   2+18+54
66 ---->   6           /  18+54
65 ---->  1+6        /   18+54
64 ---->  2+6        /   18+54
63 ---->  1+2+6    /   18+54
62 ---->   0           /   2+6+54
61 ---->   1           /   2+6+54
60 ---->    0          /   6+54
59 ---->   1           /   6+54
58 ---->   2           /   6+54
57 ---->  1+2        /  6+54
56 ---->   0           /   2+54
55  ---->  1           /   2+54
54  ---->  0           /    54
53  ---->  1           /    54
52 ---->  2            /    54
51  ----> 1+2        /    54
50  ---->  6           /    2+54
49  ---->  1+6       /    2+54
48  ---->   6          /     54
47  ---->  1+6       /     54
46 ---->    2+6      /     54
45 ---->   1+2+6   /     54
44 ---->   18         /   2+6+54
43 ---->   1+18     /   2+6+54
42 ---->    18        /     6+54
41 ---->   1+18     /     6+54
40 ---->    2+18    /     6+54
39 ---->  1+2+18  /     6+54
38 ---->   18         /     2+54
37 ---->   1+18      /    2+54
36 ---->   18          /      54
35 ---->   1+18      /      54
34 ---->   2+18      /      54
33 ---->  1+2+18   /      54
32 ---->   6+18      /   2+54
31 ---->  1+6+18   /   2+54
30 ---->   6+18      /      54
29 ---->  1+6+18   /      54
28 ---->   2+6+18  /      54
27 ----> 1+2+6+18 /     54
26 ---->       0         /  2+6+18
25 ---->        1        /  2+6+18
24 ---->       0         /   6+18
23 ---->        1        /   6+18
22 ---->        2        /   6+18
21 ---->     1+2       /   6+18
20 ---->        0        /   2+18
19 ---->       1         /   2+18
18 ---->       0         /     18
17 ---->       1         /      18
16 ---->       2         /      18
15 ---->     1+2        /     18
14 ---->      6           /   2+18
13 ---->     1+6       /    2+18
12 ---->       6         /      18
11 ---->      1+6      /      18
10 ---->      2+6      /       18
9  ---->    1+2+6     /       18
8 ---->     2+6         /        18
7 ---->     1             /    2+6
6 ---->     0             /      6
5 ---->     1             /      6
4 ---->     2             /      6
3 ---->    1+2         /       6
2 ---->      0           /        2
1 ---->      0           /        1

 #7 - 05-08-2017 11:50:40

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 530

Problème d'ariithmétique

Un poids peut être placé soit à gauche, soit à droite, soit nulle part. S'il y a p poids, il y a donc au plus 3^p pesées différentes. On veut un total de 81=3^4 pesées différentes : il faut donc au moins 4 poids.

Si on utilise une balance déséquilibrée, c'est possible : en prenant un plateau plus lourd de 40 g que l'autre, et des poids de 1, 3, 9 et 27 g.

En effet, placer des poids de 1, 3, 9, et 27 à gauche, à droite, ou pas du tout équivaut à écrire un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {-1;0;1}. En décalant de 40=1+3+9+27, ça nous donne un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {0;1;2}, c'est-à-dire l'écriture en base 3 d'un entier entre 0 et 80.

Si la balance est équilibrée, 4 poids ne peuvent suffire, car par exemple, "tous les poids à gauche", et "tous les poids à droite" donnent le même écart. On obtient donc strictement moins de 80 pesées différentes avec 4 poids, il en faut au moins 5. Or 5 poids suffisent, en prenant un poids de 40 g et en le plaçant systématiquement à gauche, puis en appliquant le même système que précédemment.

 #8 - 05-08-2017 12:51:05

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Problème d'arihtmétique

Deuxième idée : Des puissances de 3 semblent plus efficaces. On peut se contenter de 1, 3, 9, 27 et 81.
On écrit n en base trois puis on remplace les 2 par des (3-1).
Par exemple :
73 = 2*27 + 2*9 + 1
73 = 81 - 27 + 27 - 9 + 1
73 = 81 - 9 + 1
Donc 73 s'obtient avec 81+1 d'un côté et 9 de l'autre...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 05-08-2017 14:14:13

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 465

problème d'arithmétoque

Bonjour,
Je dirais : 1 3 9 27 81
qui couvre la plage 0 - 121

 #10 - 05-08-2017 14:26:05

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 456

problème s'arithmétique

Merci à tous, vous trouvez tous le meme résultat que moi, je vois d'ailleurs qu'il existe plusieurs solutions différentes et qu'on aurait pu mettre augamenter la valeur de n sans changer le resultat!


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #11 - 05-08-2017 15:30:16

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 465

Problème d'arithméique

Si on veut se limiter à la plage 0 - 80 : 1 3 9 27 40

 #12 - 07-08-2017 15:04:54

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1552

Problèème d'arithmétique

Via les puissances de 3, non ?
5 poids suffiraient, 1, 3, 9, 27 et 81 dans les limites de l'énoncé
* -1..1 ==> 1 côté droit, absent ou côté gauche
* 1..4 ==> 3 côté gauche, 1 suivant les cas ci-dessus (de 3-1 à 3+1)
* 5..13 ==> 9 côté gauche, 1 et 3 suivant les cas ci-dessus (de 9-4 à 9+4)
* 14..40 ==> 27 côté gauche, 1,3,9 suivant les cas ci-dessus (de 27-13 à 27+13)
* 41..121 ==> 81 côté gauche et 1,3,9,27 suivant les cas ci-dessus (de 81-40 à 81+40)
Accessoirement, chaque poids peut être à gauche, à droite ou absent, donc 3 combinaisons différentes. Il faut donc un minimum de n poids avec 3^n >= card[0..80]. Donc au moins 4 poids.
Là on en a 5. Bon. Il va donc falloir vérifier si on ne peut pas faire mieux (en pratique on peut pas). Mais bon y'a plein de manières de faire 5 poids smile

 

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