Enigme Problème d'arithmétique @ Prise2Tete

Spirou · #1

Bonjour tout le monde!

J'ai trouvé dans un livre de maths un problème que je pense avoir résolu, mais je ne suis pas totalement sur. A la fin du livre il n'y a pas la solution. Pour certains d'entre vous ce problème sera surement un jeu d'enfant, et que vous pourrez m'éclaircir sur ce problème.

Donc le voici:
On a une balance Roberval et on aimerait que un coté pèse n grammes de plus que l'autre. Sachant que n est un entier entre 0 et 80 inclus, quel est le nombre minimal de poids dont on a besoin pour accomplir notre souhait.
Les poids peuvent avoir n'importe quelle masse (il faut qu'elle soit positive quand même). Si n = 5 par exemple, on peut mettre un poids de 7 sur l'une des plaques et un poids de 2 sur l'autre. On peut mettre plusieurs poids sur une même plaque.

Bonne recherche et merci d'avance!

Spirou

Sydre · #2

Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de $n$ grammes ...

Spirou · #3

Tel que tu poses le problème il suffit d'un seul et unique poids de nn grammes ...

Oui il faut choisir les poids à l'avance et à l'aide de ceux la remplir la condition pour tout n <= 80.

Désolé pour la mauvaise formulation

gwen27 · #4

Bonjour,

Avec 6 poids, ça marche : on l'a dans le porte monnaie tous les jours...
1, 2, 5, 10, 20, 50

Mais 1, 2, 7, 21, 63 permet d'aller jusqu'à 94 avec 5 poids, ce qui est le minimum.

Edit 1 3 9 27 81 donne 121, ce qui est le maximum avec 5 poids.

scrablor · #5

Première idée : les sept valeurs 1, 3, 7, 15, 31, 63 et 127 s'écrivent en base deux uniquement avec des 1.
On écrit n en base deux. Par exemple 1101001.
Dans ce cas, on place 1111111 à gauche.
Puis 11111 à droite.
Puis 1111 à gauche.
Puis 111 à droite.
Puis 1 à gauche.
1111111+1111+1-11111-111=1101001.
Comment prouver qu'on ne fait pas mieux ?

[edit]
Là, je vais jusqu'à n=255... Les six premiers poids suffisent !

unecoudée · #6

bonjour .

avec 5 poids ( 1 , 2 , 6 , 18 & 54g ) ça devrait coller je pense.

je commence ainsi :
80 ----> 0 / 2+6+18+54
79 ----> 1 / 2+6+18+54
78 ----> 0 / 6+18+54
77 ----> 1 / 6+18+54
76 ----> 2 / 6+18+54
75 ----> 1+2 / 6+18+54
74 ----> 0 / 2+18+54
73 ----> 1 / 2+18+54
72 ----> 0 / 18+54
71 ----> 1 / 18+54
70 ----> 2 / 18+54
69 ----> 1+2 / 18+54
68 ----> 6 / 2+18+54
67 ----> 1+6 / 2+18+54
66 ----> 6 / 18+54
65 ----> 1+6 / 18+54
64 ----> 2+6 / 18+54
63 ----> 1+2+6 / 18+54
62 ----> 0 / 2+6+54
61 ----> 1 / 2+6+54
60 ----> 0 / 6+54
59 ----> 1 / 6+54
58 ----> 2 / 6+54
57 ----> 1+2 / 6+54
56 ----> 0 / 2+54
55 ----> 1 / 2+54
54 ----> 0 / 54
53 ----> 1 / 54
52 ----> 2 / 54
51 ----> 1+2 / 54
50 ----> 6 / 2+54
49 ----> 1+6 / 2+54
48 ----> 6 / 54
47 ----> 1+6 / 54
46 ----> 2+6 / 54
45 ----> 1+2+6 / 54
44 ----> 18 / 2+6+54
43 ----> 1+18 / 2+6+54
42 ----> 18 / 6+54
41 ----> 1+18 / 6+54
40 ----> 2+18 / 6+54
39 ----> 1+2+18 / 6+54
38 ----> 18 / 2+54
37 ----> 1+18 / 2+54
36 ----> 18 / 54
35 ----> 1+18 / 54
34 ----> 2+18 / 54
33 ----> 1+2+18 / 54
32 ----> 6+18 / 2+54
31 ----> 1+6+18 / 2+54
30 ----> 6+18 / 54
29 ----> 1+6+18 / 54
28 ----> 2+6+18 / 54
27 ----> 1+2+6+18 / 54
26 ----> 0 / 2+6+18
25 ----> 1 / 2+6+18
24 ----> 0 / 6+18
23 ----> 1 / 6+18
22 ----> 2 / 6+18
21 ----> 1+2 / 6+18
20 ----> 0 / 2+18
19 ----> 1 / 2+18
18 ----> 0 / 18
17 ----> 1 / 18
16 ----> 2 / 18
15 ----> 1+2 / 18
14 ----> 6 / 2+18
13 ----> 1+6 / 2+18
12 ----> 6 / 18
11 ----> 1+6 / 18
10 ----> 2+6 / 18
9 ----> 1+2+6 / 18
8 ----> 2+6 / 18
7 ----> 1 / 2+6
6 ----> 0 / 6
5 ----> 1 / 6
4 ----> 2 / 6
3 ----> 1+2 / 6
2 ----> 0 / 2
1 ----> 0 / 1

Ebichu · #7

Un poids peut être placé soit à gauche, soit à droite, soit nulle part. S'il y a p poids, il y a donc au plus 3^p pesées différentes. On veut un total de 81=3^4 pesées différentes : il faut donc au moins 4 poids.

Si on utilise une balance déséquilibrée, c'est possible : en prenant un plateau plus lourd de 40 g que l'autre, et des poids de 1, 3, 9 et 27 g.

En effet, placer des poids de 1, 3, 9, et 27 à gauche, à droite, ou pas du tout équivaut à écrire un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {-1;0;1}. En décalant de 40=1+3+9+27, ça nous donne un nombre du type a*1+b*3+c*9+d*27 avec a, b, c, d dans {0;1;2}, c'est-à-dire l'écriture en base 3 d'un entier entre 0 et 80.

Si la balance est équilibrée, 4 poids ne peuvent suffire, car par exemple, "tous les poids à gauche", et "tous les poids à droite" donnent le même écart. On obtient donc strictement moins de 80 pesées différentes avec 4 poids, il en faut au moins 5. Or 5 poids suffisent, en prenant un poids de 40 g et en le plaçant systématiquement à gauche, puis en appliquant le même système que précédemment.

scrablor · #8

Deuxième idée : Des puissances de 3 semblent plus efficaces. On peut se contenter de 1, 3, 9, 27 et 81.
On écrit n en base trois puis on remplace les 2 par des (3-1).
Par exemple :
73 = 2*27 + 2*9 + 1
73 = 81 - 27 + 27 - 9 + 1
73 = 81 - 9 + 1
Donc 73 s'obtient avec 81+1 d'un côté et 9 de l'autre...

enigmatus · #9

Bonjour,
Je dirais : 1 3 9 27 81
qui couvre la plage 0 - 121

Spirou · #10

Merci à tous, vous trouvez tous le meme résultat que moi, je vois d'ailleurs qu'il existe plusieurs solutions différentes et qu'on aurait pu mettre augamenter la valeur de n sans changer le resultat!

enigmatus · #11

Si on veut se limiter à la plage 0 - 80 : 1 3 9 27 40

scarta · #12

Via les puissances de 3, non ?
5 poids suffiraient, 1, 3, 9, 27 et 81 dans les limites de l'énoncé
* -1..1 ==> 1 côté droit, absent ou côté gauche
* 1..4 ==> 3 côté gauche, 1 suivant les cas ci-dessus (de 3-1 à 3+1)
* 5..13 ==> 9 côté gauche, 1 et 3 suivant les cas ci-dessus (de 9-4 à 9+4)
* 14..40 ==> 27 côté gauche, 1,3,9 suivant les cas ci-dessus (de 27-13 à 27+13)
* 41..121 ==> 81 côté gauche et 1,3,9,27 suivant les cas ci-dessus (de 81-40 à 81+40)
Accessoirement, chaque poids peut être à gauche, à droite ou absent, donc 3 combinaisons différentes. Il faut donc un minimum de n poids avec 3^n >= card[0..80]. Donc au moins 4 poids.
Là on en a 5. Bon. Il va donc falloir vérifier si on ne peut pas faire mieux (en pratique on peut pas). Mais bon y'a plein de manières de faire 5 poids

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