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 #1 - 24-05-2017 18:54:17

Varzmir
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 11

mydtérieuse intégrale

Bonjour à tous smile
En m'amusant un petit peu avec des intégrales contenant des parties entières j'ai créé cette petite énigme :
Quelle est la valeur de l'intégrale suivante ?
[TeX] \int_{0}^{1} \frac{1}{\lfloor\frac{1}{t}\rfloor} \, \mathrm{d}t [/TeX]
La valeur n'est pas bien difficile à trouver quand on sait comment procéder, mais je trouvais le résultat amusant.



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 #2 - 24-05-2017 19:54:58

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 180

Mystéérieuse Intégrale

Bonjour,
On trouve [latex]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\cfrac{1}{\cfrac{1}{n+1}}dt =\sum_{n=1}^{+\infty} n[\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}] = \sum{1}{n}[/latex] qui diverge (Riemann)...

 #3 - 24-05-2017 20:12:58

Varzmir
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 11

mystérieuse intégrake

caduk il me semble que tu as fait une erreur en décomposant :
lorsque 1/(n+1) <= t < 1/n, E(1/t) vaut n et pas 1/(n+1).
On peut d'ailleurs se convaincre que ça converge en se disant que 1/E(1/t) vaut environ t et que int(0->1) t dt = 1/2.

 #4 - 24-05-2017 20:16:25

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 425

mystétieuse intégrale

Je trouve [latex]\frac{\pi^2}{6}-1[/latex]. C'est en effet amusant de voir apparaître pi là-dedans, mais pas plus que dans le problème de Bâle en définitive...

 #5 - 24-05-2017 20:29:47

Varzmir
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 11

Mystérieuse Itégrale

Ebichu oui c'est ca !
En effet, mais c'était aussi la forme de l'intégrale (1/E(1/t) qui sans la partie entière vaudrait tout simplement t ) et le "-1" qui m'avait surpris.

 #6 - 25-05-2017 23:03:30

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 156

mystérieuse intégeale

Salut smile
[TeX]\begin{align} \int_0^1\frac{1}{\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}\mathbb{d}t &= \int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2\lfloor t\rfloor}\mathbb{d}t \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}\int_k^{k+1}\frac{1}{t^2}\mathbb{d}t \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) \\ &= \frac{\pi^2}{6}-1 \end{align}[/TeX]

 #7 - 26-05-2017 23:37:46

Varzmir
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 11

mystérieusz intégrale

Bonne réponse Sydre smile J'avais une autre démonstration qui n'utilisait pas de changement de variable dans l'intégrale, je la posterai une fois le temps écoulé

 #8 - 27-05-2017 23:54:31

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 425

mystéroeuse intégrale

Oui, sans changement de variable : [latex]\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}\text{d}t=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_\frac{1}{n+1}^\frac{1}{n}\frac{1}{n}\text{d}t=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)}[/latex] et on finit comme Sydre.

 #9 - 03-06-2017 14:31:06

Alex1881
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Mystérieuse Intégral

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