Bonjour,
On trouve $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\cfrac{1}{\cfrac{1}{n+1}}dt =\sum_{n=1}^{+\infty} n[\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}] = \sum{1}{n}$ qui diverge (Riemann)...

Je trouve $\frac{\pi^2}{6}-1$. C'est en effet amusant de voir apparaître pi là-dedans, mais pas plus que dans le problème de Bâle en définitive...

Salut
$$\begin{align} \int_0^1\frac{1}{\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}\mathbb{d}t &= \int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2\lfloor t\rfloor}\mathbb{d}t \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}\int_k^{k+1}\frac{1}{t^2}\mathbb{d}t \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) \\ &= \frac{\pi^2}{6}-1 \end{align}$$

Oui, sans changement de variable : $\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}\text{d}t=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_\frac{1}{n+1}^\frac{1}{n}\frac{1}{n}\text{d}t=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)}$ et on finit comme Sydre.