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 #1 - 24-07-2010 20:23:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Gâteau 16 ( l eretour )

Bon , les vacances sont finies et les ennuis reprennent smile

Le pâtissier s'affole , la crise a fait des dégâts et de plus en plus de clients commandent des demi-tartes . Notre ami avait quelques boîtes deux fois plus longues que larges et particulièrement adaptées à ces demandes mais les stocks se sont très vite épuisés . Les lunettes et la casquette de soleil à peine rangés , me voilà à nouveau plongé dans les calculs big_smile

Quel est le rayon maximal du demi-gâteau ( ie : demi-disque ) que je vais pouvoir poser à plat dans une boîte carrée prévue initialement pour un gâteau ( circulaire ) de 10 cm de rayon ????

http://img291.imageshack.us/img291/9256/botecarre.jpg

Le problème n'est pas trop difficile smile

Vasimolo

PS : réaction à une réaction à une énigme de FRiZMOUT

Un des attraits des mathématiques est qu'elles s'adaptent aisément à n'importe quel contexte quasiment sans effort . Je n'invoque pas ici la crise par hasard mais comme je ne cherche pas la polémique je ne précise pas ce que j'en pense . Je crois que dans mes prochaines énigmes je vais intervenir un client récurrent et particulièrement antipathique de notre pâtissier yikes



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 #2 - 24-07-2010 22:30:51

Briedj
Visiteur

Gâetau 16 ( le retour )

20 cm

 #3 - 25-07-2010 12:54:00

pierrot13
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 1

Gâteau 16 ( l retour )

Le rayon r du gâteau en fonction du rayon R de la boîte doit être :

r = R.((1-cos45)/(1+cos45))

soit 11,7157 et des poussières

 #4 - 25-07-2010 17:34:52

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

gâteau 16 ( le eetour )

En partant d'un demi cercle de rayon a, on obtient un carré dont le côté vaut [latex]a+\frac{a sqrt{2}}{2}[/latex]

En résolvant [latex]a+\frac{a sqrt{2}}{2}=20[/latex]

On a [latex]a=20(2-sqrt{2})[/latex]

Je suis parti du principe que ton dessin illustrait la situation optimale wink

...

Le dessin de Vasimolo est le seul cas où le carré est deux fois tangent au gâteau (hormis le cas où le côté du carré et le diamètre du gâteau sont confondus mais qui offre un rayon plus petit), ceci semble lui assurer la solution optimale.

Mais ce n'est pas un preuve roll

 #5 - 26-07-2010 00:59:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Gâteau 16 ( e retour )

Bonne réponse de pierrot13 et looozer mais pourquoi l'illustration proposée fournit-elle la solution optimale ?

Vasimolo

 #6 - 26-07-2010 04:42:51

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

âGteau 16 ( le retour )

Parce que la part se trouve dans un carré !

Si la part est dans une autre orientation, alors on peut la tourner (en gardant les deux contacts cercle-carré [en bleu sur le dessin]), comme ci-dessous (nouvelle part qu'on a tournée en vert):

http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-gateau15.jpg

à ce moment, la part ne toucherait plus deux bords (en bas et à droite : en particulier elle ne toucherait plus à droite), et on pourrait la faire plus grosse.

La seule configuration ou on ne peut pas la faire tourner (et donc grossir) est quand la part est disposée à 45°, qui est par conséquent optimal.

 #7 - 26-07-2010 09:40:04

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gâteau 16 ( le retour

Je cherche à déterminer r le rayon du demi-gâteau en fonction du côté de la boîte :

http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-gateau16.PNG

On détermine que : 20  =  r + r .sin π/4

20  =  r (1 + sin π/4)
r  =  20 / (1 + sin π/4)

Donc : r  =  40 / (2 + √2)

Ce qui nous fait un rayon d'environ 11,72 cm !


Bien sympa cette petite énigme smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #8 - 27-07-2010 23:30:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Gâteau 16 ( le rtour )

Bonne réponse de pierrot13 , Mcflambi et lesingemalicieux smile

Même si c'est intuitif , il n'est pas facile d'expliquer pourquoi l'angle de 45° est optimal . On peut supposer comme Mcflambi que le demi-cercle est en contact avec deux bords consécutifs du carré et la rotation de la part autour du centre du cercle donne un carré minimal pour un angle de 45° .

Merci aux participants .

Vasimolo

 

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