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 #1 - 04-10-2010 11:34:26

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

tranches de nombte

Voici une petite énigme arithmétique (vous savez maintenant que j'aime bien ça).

Jean découvre un jour un bout de papier sur lequel est écrit un nombre de 100 chiffres. Curieux et intrigué par un nombre aussi grand, il le découpe en tranches de 2 chiffres et ajoute tous ces nombres de 2 chiffres. Il trouve 2010.
(Pour clarifier si nécessaire: si le nombre est 120456, il le coupe en 3 nombres: 12 04 et 56, les ajoute et trouve 72.)

Le lendemain, il le découpe d'une autre façon: il ajoute ou soustrait les chiffres un par un de la façon suivante: le chiffre de unités - le chiffre des dizaines + le chiffre de centaines - le chiffre des milliers ... ainsi de suite jusqu'à avoir épuisé les 100 chiffres (il finit donc par une soustraction). Le résultat, à sa grande surprise est un nombre (positif) à 1 chiffre.
(Pour clarifier si nécessaire: toujours avec 120456, il calcule 6-5+4-0+2-1 et trouve 6.)

Quel est ce chiffre? Je ne donne pas de case réponse vu le petit nombre de possibilités smile

Amusez-vous bien.



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 #2 - 04-10-2010 12:13:40

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
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rranches de nombre

Si C est le chiffre en question, je trouve que 2010+C 2010-C est un multiple de 11. La seule solution est C=3 C=8.

 #3 - 04-10-2010 13:47:56

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Tranches de noombre

en supposant qu'il ny ait qu'une seule solution, je dirais 8.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 04-10-2010 16:18:08

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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tranched de nombre

Vu que [latex]10^n \equiv (-1)^n [11] [/latex], on peut remarquer que notre gros nombre, 2010 et notre nombre mystère sont tous congrus modulo 11.
Comme 2010 est congru à 8 modulo 11, et que seul ce nombre est compris entre 0 et 10, c'est donc notre chiffre mystère.

 #5 - 04-10-2010 17:19:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Tranchhes de nombre

euh
°_0' j'ai l'impossibilité de te répondre! mais je vais y réfléchir


Un promath- actif dans un forum actif

 #6 - 05-10-2010 15:25:37

LeSingeMalicieux
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Lieu: Haute-Marne

Trannches de nombre

Soit le nombre recherché composé de cent chiffres de la forme : D1 U1 D2 U2 ... D49 U49 D50 U50
Avec :
- D1 entier naturel compris entre 1 et 9
- Dn (pour n de 2 à 50) entier naturel compris entre 0 et 9
- Un (pour n de 1 à 50) entier naturel compris entre 0 et 9.

Nous avons cent variables :
D1 ; D2 ; ... ; D49 ; D50
U1 ; U2 ; ... ; U49 ; U50


De l'énoncé, on déduit :

10.(D1+D2+...+D49+D50) + (U1+U2+...+U49+U50)  =  2010
(U1+U2+...+U49+U50) - (D1+D2+...+D49+D50)  =  x
avec x entier naturel compris entre 1 et 9


On pose :
D  =  D1+D2+...+D49+D50
U  =  D1+D2+...+D49+D50


Alors :
10.D + U  =  2010
U - D  =  x

U  =  2010 - 10.D

2010 - 10.D - D  =  x
2010 - 11.D  =  x
D étant la somme d'entiers naturels, D est un entier naturel.
x étant un entier naturel compris entre 1 et 9, on en déduit :
2001  <=  11.D  <=  2009

On a donc une seule solution :
D = 182    (et  11.D  =  2002)
x  =  8


Pour aller un peu plus loin :

U - D  =  8
U  =  190

Ainsi :
- la somme de U1 à U50 est égale à 190
- la somme de D1 à D50 est égale à 182


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #7 - 06-10-2010 11:14:07

franck9525
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Lieu: UK

tranches de bombre

[TeX]d_1u_1d_2u_2...d_{100} u_{100}[/latex] is the number

condition 1: [latex]10\sum d_i+ \sum u_i = 2010[/TeX]
condition 2: [latex]\sum u_i - \sum d_i = x[/latex]
[TeX]C1+C2 \Longrightarrow 11\sum d_i + x = 2010[/TeX]
x=8 est le reste de la division euclidienne de 2010 par 11  cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 06-10-2010 15:51:26

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
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Tranches d enombre

Grâce au découpage par tranches de deux, on sait que la somme des chiffres de position impaire plus 10 fois la somme des chiffres de position paire donne 2010.
i+10p = 2010
Grâce au deuxième découpage, on sait que la somme des chiffres de position impaire moins la somme des chiffres de position paire donne un chiffre entre 0 et 9
0 <= i - p <= 9

Donc on a   0 <= 2010 - 11p <= 9
=> p = 182 et i = 190.

La solution est l'ensemble des nombres de 100 chiffres dont la somme des chiffres de position impaire est 190 et la somme des chiffres de position paire est 182

 #9 - 08-10-2010 00:43:01

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Tanches de nombre

Quasiment que des bonnes réponses.
Je vous donne ma solution.

Soit N le nombre de 100 chiffres.
En découpant N en 50 nombres de 2 chiffres [latex]n_i[/latex], on a:
[TeX]N=\sum_0^{49}n_i.100^i[/TeX]
Or [latex]100 \equiv 1 [99][/latex] donc [latex]\forall i, 100^i \equiv 1 [99][/latex] et donc [latex]N \equiv \sum_0^{49}n_i [99][/latex]
Au final [latex]N \equiv 2010 [99] \equiv 2010 [11] \equiv 8 [11] [/latex]

2ème partie:

On appelle [latex]c_i[/latex] les chiffres de N.
[TeX]N=\sum_0^{99}c_i.10^i[/TeX]
La somme S que Jean  a calculé le 2ème jour vaut: [latex]S=\sum_0^{99}(-1)^i.c_i[/latex]
Or [latex]10 \equiv -1 [11][/latex] donc [latex]\forall i, 10^i \equiv (-1)^i [11][/latex] et donc [latex]N \equiv \sum_0^{99}(-1)^i.c_i [11][/latex]

On a donc [latex]S \equiv N [11] \equiv 8 [11][/latex]

Or S est un chiffre (donc entre 0 et 9). Donc S=8.

Merci d'avoir joué.

 #10 - 08-10-2010 01:55:20

kosmogol
Banni
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tranches de nolbre

"c'est pas faux !"


http://enigmusique.blogspot.com/

 #11 - 08-10-2010 09:21:25

rivas
Elite de Prise2Tete
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Tranches de nombr

Merci smile

 #12 - 08-10-2010 11:25:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

tranched de nombre

Euh... Ca a beau être le programme de spé math de terminale S (à peu de choses près), je vais dire pareil que Kosmo sur ce coup-là lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 08-10-2010 11:26:30

kosmogol
Banni
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tranches dz nombre

je vais dire pareil que Kosmo sur ce coup-là lollollol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #14 - 08-10-2010 14:14:29

scarta
Elite de Prise2Tete
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Tranchees de nombre

La méthode du tricheur: si on pose la question, c'est qu'il y a une réponse big_smile
On va donc écrire un nombre à 100 chiffres qui commence par 9 écrit 40 fois, suivi de 22 puis 01 écrit 8 fois, et pour finir que des 0.
La somme des paires fait 99*20 + 22 + 8 = 2010, la somme/soustraction des chiffres fait 1+1+1+1+1+1+1+1=8 (les autres sont soit nuls, soit annulés par le chiffre suivant)
Vu qu'il y a une réponse qui vaut 8, la réponse est 8

 #15 - 08-10-2010 15:39:49

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

Tranche sde nombre

Salut scarta,

Ca s'appelle la méthode du physicien smile.

Pour des raisons extérieures au problème on sait qu'une solution existe et qu'elle est unique.
On fait donc tout un tas de suppositions/simplifications (on néglige ceci, cela, ...), jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une équation de degré 1 (allez disons 2 ou sin(t)=c ou exp(x)=c) que l'on résout (avec un 't').
On vérifie quand même (mais pas tout le temps) que la solution convient (à peu près). Si nécessaire on affine avec une méthode d'itération numérique et voila c'est fini. Pendant que les "matheux rigoristes" trimment pour résoudre l'équation initiale.

smile

Rivas (matheux qui a été beaucoup frustré (certes il y à longtemps) en Spé par la physique).
smile

 #16 - 11-10-2010 10:40:25

rivas
Elite de Prise2Tete
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Tranches dee nombre

Je pensais que ma "pique" sur les physiciens ouvrirait un débat plus passioné smile

 #17 - 11-10-2010 10:58:08

scarta
Elite de Prise2Tete
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Traches de nombre

En même temps,

rivas a écrit:

Si nécessaire on affine avec une méthode d'itération numérique et voila c'est fini.

sans un matheux derrière, le physicien restera le bec dans l'eau

 #18 - 11-10-2010 11:22:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Tranches e nombre

...et sans un physicien après lui, le matheux ne saura jamais à quoi servent ses outils lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 11-10-2010 11:28:55

rivas
Elite de Prise2Tete
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Tracnhes de nombre

Est-ce bien sûr? Sans physicien, il vivra très bien dans le monde qu'il a construit sans personne pour lui montrer que ça ne colle pas à la réalité... Il n'aura besoin de personne à part lui pour utiliser ses outils. smile

D'autre part, le physicien peut très bien inventer une méthode numérique simple et encore une fois ne pas la justifier autrement que par: "la nouvelle solution est meilleure que l'ancienne". L'avantage du physicien, c'est que sa justification ultime est: "ca marche ou ca concorde"...

 #20 - 11-10-2010 11:38:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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tranches dz nombre

Pour moi, la science est d'abord une tentative de compréhension du monde, au même titre que la philosophie (qui a juste choisi de s'attaquer à la question sous un autre angle). Partant de là, des mathématiques qui se contentent de s'appliquer à elle-même me semblent gâchées. Mais ce n'est sans doute qu'un point de vue personnel...

Quant à l'approche du physicien ("ça a l'air de marcher mieux, alors on garde"), elle est gâtée par plusieurs choses :
- le fait qu'une vérification d'une propriété, même jusqu'au rang 1000, n'est pas une démonstration par récurrence (il se peut que ça déconne totalement à partir du premier terme que l'on n'a pas vérifié) ;
- le fait que, sur des problèmes spécifiques, le physicien est incapable de trouver une méthode plus efficace sans en appeler aux mathématiques (je pourrais te citer des exemples, dont un sur lequel je travaille actuellement big_smile) ;
- le fait qu'une méthode qui marche mieux dans un cas particulier peut être inutile dans d'autres cas, même "voisins".

Et j'en oublie peut-être.

Matheux et physiciens
Marchons main dans la main
Pour de meilleurs lendemains


lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 11-10-2010 12:04:50

scarta
Elite de Prise2Tete
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tranches de nombrr

rivas a écrit:

Est-ce bien sûr? Sans physicien, il vivra très bien dans le monde qu'il a construit sans personne pour lui montrer que ça ne colle pas à la réalité...

Je vous renvoye à une blague que j'ai postée sur le forum un jour:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 261#p76901

 #22 - 11-10-2010 12:14:41

rivas
Elite de Prise2Tete
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Tranchhes de nombre

Je suis globalement d'accord avec toi Mathias.
Il y a un point cependant: il n'est pas nécessaire que ce soit la même personne qui fasse des avancées en Maths et qui l'exploite en physique. C'est d'ailleurs rarement le cas.

Le mathématicien "fondamental" va donc tendre à s'isoler, pas volontairement souvent, pour abstraire l'univers, seul moyen d'arriver à en appréhender la trame cachée (il n'y a cas penser aux EV de dimensions > 3 par exemple). Ensuite les physiciens vont piocher dans les outils mathématiques.

Le plus fructueux étant encore un collaboration entre eux plutôt que 2 approches isolées.

Enfin, c'est aussi mon humble avis smile

 #23 - 11-10-2010 13:00:46

Nicouj
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tranches de nomvre

Moi aussi j'étais un peu frustré par la physique en prépa.

On suppose qu'une quantité est négligeable, on fait nos calculs et on déduit que en effet c'était bien négligeable O_o.

En revanche je relativise tout de même car on les maths ne permettent pas de montrer que les maths sont consistantes X_x.

 #24 - 11-10-2010 13:17:09

scarta
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Tranches dde nombre

Nuance: les mathématiques ne pourrait prouver leur consistance que si elles étaient inconsistantes. Plus fort, les mathématiques prouvent que si elles se prouvaient elles-même, alors elles seraient inconsistantes.

Ce qui revient à dire la chose suivante:
Si les mathématiques sont consistantes et qu'elles peuvent le prouver, alors elles sont inconsistantes, puisque les mathématiques le prouve (faut suivre), mais comme elles sont inconsistantes, la preuve peut être fausse (Aaaaarrrgh)

Mais d'un autre côté, quelle foi peut-on accorder à une démonstration basée sur un système inconsistant big_smile

 #25 - 11-10-2010 13:26:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

tranches dr nombre

rivas a écrit:

Le plus fructueux étant encore un collaboration entre eux plutôt que 2 approches isolées.

Cette phrase sera notre point d'accord principal (et c'est un matheux bossant chez des physiciens qui le dit lol)


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