Enigmes

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 #1 - 20-04-2018 18:24:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Problème Impssible

Bonjour à tous smile

Le site de Diophante propose ce mois-ci une variante au "problème impossible" où  deux personnes connaissant le produit et la somme de deux nombres bien choisis  finissent par deviner les nombres suite à un dialogue surréaliste .

Je propose une variante à cette variante :

Jules dit à Simon et à Paul qu’il a choisi deux entiers naturels supérieurs à 1 et inférieurs à 40 . Il leur dit qu’il donne discrètement à Simon la somme de ces deux nombres et qu’il donne discrètement à Paul le produit de ces deux nombres . Puis il leur demande de déterminer les deux nombres choisis .

Après un bon moment de recherches de la part de Simon et Paul , s’instaure le dialogue suivant :

Simon : " Tu ne peux pas connaître ma somme "

Paul : " Toi non plus tu ne peux pas connaître mon produit . "

Simon : " Si , maintenant je connais ton produit . "

Quels sont les deux nombres choisis par Jules ?

Bon courage et amusez-vous bien smile

PS : rien ne vous empêche de chercher l'original au passage .



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 #2 - 20-04-2018 19:52:02

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 666

problème imposdible

Je dirais bien 2 et 2

Mais je ne vois pas pourquoi les paires 39 / 24 et 36 / 26 ne fonctionnerait pas.
Auquel cas, Simon connait la somme et le produit, mais pas paul ! (et pas nous sad )

 #3 - 20-04-2018 21:32:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

problème impoqsible

2 et 2 ne peuvent pas être les valeurs choisies par Jules car Paul connaîtrait tout de suite la somme 4 de Simon et sa première affirmation ne serait pas correcte .

Vasimolo

 #4 - 20-04-2018 22:14:23

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 666

problème imoossible

ha oui, j'ai corrigé mon fichier pour inférieur à 40 mais pas pour supérieur à 1 ... sad

Donc la réponse est, on ne connait pas les chiffres de jules ?

 #5 - 20-04-2018 22:23:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

probmème impossible

On peut trouver de façon certaine ( et unique ) les valeurs choisies par Jules d'après les affirmations de Paul et Simon  .

Vasimolo

 #6 - 20-04-2018 22:30:20

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 666

Probblème Impossible

En supprimant le 1, j'ai refais mes tableaux, et je trouve les paires
3/4, 24/39 et 36/26

la paire 3/4 sent bon, mais dans l’énoncé, je ne vois rien que me ferait choisir celle là plutot que l'une des deux autres !

 #7 - 20-04-2018 22:53:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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pronlème impossible

Attention , la première affirmation de Simon est très forte smile

Vasimolo

 #8 - 21-04-2018 05:43:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

Problème IImpossible

Salut Vasimolo.

Oui, c'est la 1ère réponse de Simon qui filtre beaucoup !

Je donne ma solution :

S = 11 et P = 30 donc ( 5 , 6 )

Simon dit d'abord qu'avec sa somme Paul ne peut pas la retrouver, c'est donc que dans la décomposition de sa somme, il n'y a aucun couple de 2 nombres premiers, sinon ça contredirait l'affirmation (puisqu'un produit de 2 nombres premiers se décompose de façon unique, 1 étant exclus)

Si la somme est paire, elle est forcément supérieure à 40, puisqu'il y a une conjecture, vérifiée bien au dela de 40, qui dit que tout pair est somme de 2 premiers.

Mais toute somme paire >= 46 peut avoir un nombre premier > 20 dont la décomposition sera unique. Par exemple 50 = 23 + 27, le produit 23 * 27 ne peut se décomposer autrement.
Et 42, 44 se décomposent en une somme de 2 premiers < 40.

Si la somme est impaire, alors il faut exclure d'une part les nombres de la forme p+2 et d'autre part ceux qui sont supérieurs à 23. Car les nombres premiers > 20 associés avec un pair ont une décomposition unique, car le double d'un premier > 20 est > 40, contraire à l'énoncé.

Les impairs résiduels sont donc 11, 17 et 23.

Paul et Simon, tous les 2 logiciens, ont maintenant les mêmes nombres filtrés.

Si Paul affirme qu'il ne peut toujours pas deviner la somme, c'est qu'il a un produit qui donne au moins 2 sommes parmi les 3 possibles, par exemple 42 qui peut être associé à 23 ( 2 * 21 ) ou 17 ( 3 * 14). Si Simon afffirme en retour qu'il peut deviner le produit, c'est que l'option était unique pour 2 nombres. Par exemple 42 et 60 sont 2 produits associés aux sommes 17 et 23. Si Simon avait 17 ou 23, la réponse de Paul ne lui permettrait pas de conclure. Comme Simon peut conclure, la seule possibilité est 30, qui est le seul produit associé à la somme 11 et à une autre somme (17 en l'occurence).

 #9 - 21-04-2018 07:56:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Probèlme Impossible

C'est ça Nodgim , bien joué smile

Vasimolo

 #10 - 21-04-2018 15:21:18

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Prolème Impossible

Quand tu dis "supérieurs à 1 et inférieurs à 40", faut-il comprendre "strictement supérieurs", ou "supérieurs ou égaux" ?

 #11 - 21-04-2018 17:34:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Problème Imppossible

Oui , il faut comprendre inférieurs et supérieurs au sens strict .

Vasimolo

 #12 - 21-04-2018 23:51:24

fauconiv
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

problèmz impossible

Je dirais 3 et 4 car 7  n est la somme que de 2 décomposition à 2 nombres entre 2 et 39
Simon à 2 choix: 2+5 ou 3+4
Paul à donc 12 ( car 2x6 où 3x4 alors que 10 ne peut être que 2x5 )
Voilà

 #13 - 22-04-2018 09:13:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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problème impossoble

Non 3 et 4 n'est pas une solution possible car Simon disposerait d'un 7 . Ce 7 est compatible avec un 10 de Paul ( 2X5 ) . Or si Paul dispose de 10 , il connait assurément la somme de Simon et Simon a raconté n'importe quoi .

Si Simon a un 7 il ne peut pas dire à Paul qu'il ne peut pas connaître sa somme .

Vasimolo

 #14 - 22-04-2018 18:38:42

fauconiv
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

ptoblème impossible

Avec la premiere phrase j'ai gardé tous les couples dont la somme fait 11, 17 ou 23.( seul somme où tous les produits associés sont ambigus )
Avec la deuxieme phrase je garde les couples dont le produit fait 30, 42 ou 60 ( seuls produits où l'ambiguité reste)
Avec la 3ieme phrase on choisi la seule ligne dont la somme est 11.
Donc les nombres sont 5 et 6.  smile

Merci Excel!!

 #15 - 22-04-2018 18:52:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Problmèe Impossible

C'est ça Fauconiv , c'est faisable à la main avec un peu de patience smile

Vasimolo

 #16 - 23-04-2018 17:25:02

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

Problème Impossiblle

J'ai le raisonnement suivant qui me paraît un peu tiré par les cheveux, à moins que je me sois planté quelque part ?

Simon dit : " Tu ne peux pas connaître ma somme ", on en déduit que la somme est 11, ou 17, ou 23.

Paul ne saute pas sur l'occasion pour donner la somme de Simon, donc son produit est 30, ou 42, ou 60.

Enfin, si Simon est sûr de lui, c'est parce que sa somme est 11 et qu'il peut en déduire que le produit est 30.

Les deux nombres étaient donc 6 et 5.

 #17 - 23-04-2018 17:36:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Prolème Impossible

Pourquoi tiré par les cheveux ?

Les trois zèbres sont clairement fêlés du bocal mais la logique est implacable lollollollol

Vasimolo

 #18 - 25-04-2018 18:51:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Problème Impossibl

Je relance l'énigme qui s'endort en précisant qu'elle ne demande pas de connaissance mathématique dépassant le niveau collège smile

Vasimolo

 #19 - 27-04-2018 18:29:30

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1461
Lieu: Coutiches

problème impossoble

Tu ne peux pas connaître ma somme :
Donc les sommes qui ne peuvent être obtenues sont 4 à 10, 12 à 16, 18 à 22, 24 à 26, 28, 30 à 34, 36, 38 à 40, les pairs de 42 à 54, 60, 62, 66, 68, 74, 77, 78

Par exemple 38 n'est pas possible car il pourrait venir de 19+19 qui donne un produit permettant à Paul de déduire immédiatement les 2 nombres.

Les sommes restantes possibles sont : 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, impairs de 41 à 53, 55 à 59, 61, 63 à 65, 67, 69 à 73, 75, 76.

Toi non plus tu ne peux pas connaître mon produit :
Simon n'a donc pas la réponse, son produit n'est donc pas unique, il conserve :
30,42,60,66,70,76,78,102,120,126,132,180,190,210,234,252,264, 306,312,330,342,390,396, 418,420,442,450,562,494,510,540,546, 570,594,630,646,684,700,702,756,780,792,840,858.
5.6 ou 2.15
3.14 ou 2.21
5.12 ou 3.20
6.11 ou 2.33, etc.

Simon : Si , maintenant je connais ton produit .
Le seul qui reste trouvable une seule fois est la somme 11 obtenue par


5 et 6 !

 #20 - 27-04-2018 19:11:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

problème imposdible

Bonjour Golgot .

La réponse est bonne mais il y a des erreurs dans la justification smile

- Parmi les sommes possibles tu peux en éliminer bien plus ( 27 par exemple ) .

- En quoi le fait que Simon ne connaisse pas le produit de Paul entraîne que celui-ci peut décomposer son nombre de plusieurs façons ? La somme de Simon peut correspondre à plusieurs produits et l'empêcher de trouver la valeur de Paul .

Il reste encore un peu de travail , bon courage !

Vasimolo

 #21 - 29-04-2018 02:35:39

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Coutiches

Problème Impossiblee

Oups, j'avais oublié le bonjour hmm

Bonjour donc (ou bonsoir) !

Effectivement j'étais allé un peu vite : en fait après la première réponse on peut enlever bien plus de proposition, je n'étais pas allé au bout de la réflexion !
Il ne reste déjà plus que 11, 17 et, 23 comme somme possible, car toute somme supérieur pouvant donner le produit d'un nombre premier par un autre n'est pas possible, par exemple le 27 que tu proposes pourrait provenir des nombres 23 et 4 dont le produit conduit immédiatement au résultat. Il faut donc le retirer.

Après la réponse de Simon, on sait que les seules solutions possibles sont :
5 et 6 (S=11) ou 2 et 15 (S=17)
3 et 14 S=17) ou 2 et 21 (S=23)
5 et 12 (S=17) ou 3 et 20 (S=23)

Puisque Simon trouve la solution c'est que la somme est unique, il s'agit de 5 et 6 !

 #22 - 29-04-2018 08:21:56

Vasimolo
Le pâtissier
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problème imposqible

Tu es presqu'au bout Golgot smile

Il reste une somme à évacuer et pour les sommes restantes il te manque plusieurs produits possibles .

Vasimolo

 #23 - 29-04-2018 10:18:50

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1461
Lieu: Coutiches

problème impossuble

Ah oui, pardon, je suis encore allé trop vite ! (j'avais utilisé les conclusions de mon tableau excel déjà utilisé)
Reprenons :
Toute somme pouvant provenir de 2 nombres premiers n'est pas possible.
Toute somme pouvant provenir de 2 nombres dont l'un est premier supérieur à 23 non plus.
Il ne reste donc que les sommes 11, 17 et 23.
Simon connaît donc le produit et presque la somme de ses 2 nombres, mais ne peut quand même pas conclure.
Les seuls produits redondants sont 30; 42 et 60, on sait donc que les seules solutions possibles sont :
P=30 : 5 et 6 (S=11) ou 2 et 15 (S=17)
P=42 : 3 et 14 S=17) ou 2 et 21 (S=23)
P=60 : 5 et 12 (S=17) ou 3 et 20 (S=23)
On observe que la seule somme nous permettant de trouver le résultat final est 11, et puisque Simon sait conclure, c'est que les nombres sont 5 et 6.
J'espère que ce coup-ci il n'y a plus d'erreur...

 #24 - 29-04-2018 10:40:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Problème Impossiblee

C'est bon smile

Vasimolo

 #25 - 01-05-2018 10:36:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Problème Ipmossible

Le problème était très calculatoire mais faisable à la main ( ce que j'ai fait ) smile

La première affirmation de Simon ne laisse que trois possibilités S= 11 , 17 ou 23 .  La réponse de Paul indique qu'il dispose de P = 30 , 42 ou 60 . La réponse de Simon ne laisse plus de choix S=11 et P= 30 .

Merci aux valeureux participants smile

Vasimolo

 

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