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 #1 - 25-02-2012 21:08:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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peoblème sur la suite de syracuse

Pour ceux qui ne connaissent pas encore, la suite dite de Syracuse est celle qui consiste, à partir d'un entier naturel n, à calculer le nb suivant de cette façon:
Si n impair, 3n+1
Si n pair, n/2.
On arrête dès qu'on a atteint 1.
On peut identifier une famille par la suite des puissances de 2 des divisions par 2.
Par exemple 13:
3*13+1=40 puis 20 puis 10 puis 5: on a divisé le pair 3 fois de suite on note 3.
3*5+1=16 puis 8 puis 4 puis 2 puis 1, on a divisé le pair 4 fois de suite on note 4.
13 fait donc partie de la famille 34. On décrète que toute autre famille qui commence par 34 fait partie de cette famille.

Si vous vous lancez dans la famille du nombre 27, vous allez vous rendre compte que c'est une longue suite.

Quel est le plus petit entier impair suivant qui fait partie de la famille du nombre 27 ?

Bon amusement



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 #2 - 25-02-2012 22:43:36

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Problèem sur la suite de Syracuse

Bonjour,
Je pars à l'envers: je dois trouver un nombre m tel que l'on ait pour le nombre final n:
n = ({[(m.2^7 - 1) / 3].2^2} - 1) / 3, soit encore: n = (512.m - 7) / 9
Le nombre m doit être impair car sinon je pourrais encore le diviser par 2 et le nombre n changerait alors de famille.
Cela fonctionne pour m valant successivement 11; 29; 47; 65 .... soit m = 18k - 7
Au final, on aura: n = 1024k - 399, le plus petit étant 625 et le suivant 1649.
Mais je ne suis pas vraiment sûr d'avoir compris la question.
Bonne soirée.

 #3 - 25-02-2012 22:57:02

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
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problème sur la suite de syravuse

82 ?

 #4 - 26-02-2012 02:39:01

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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problème syr la suite de syracuse

J'ai écrit un petit programme censé me résoudre ça en quelques secondes, mais je suis limité par la taille des mes entiers. Je dois dépasser 2^50, et ça bloque sad

Si je n'ai pas fait d'erreur, la famille de 27 est :
1,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4
(j'ai rajouté des virgules parce qu'il peut y avoir des nombres à 2 chiffres)

Pour trouver un nombre de la même famille, j'ajoute un nombre à la fin de cette famille, et je reconstruit le nombre correspondant (si c'est possible) en partant de la fin et du nombre 1.
La première puissance à ajouter à la fin est 4 (la plus petite puissance de 2 donnant le premier 1 par Syracuse est 16)

Voici la liste des étapes pour retrouver le nombre de départ :

1
16
5
5*2^4=80
erreur car 80 ne peut pas être obtenu à partir d'un nombre impair (79 non divisible par 3)

On essaie ensuite avec une puissance supérieure.
A noter qu'il suffit de considérer les puissances paires, car 2^(2n+1) vaut 2 modulo 3, et n'est donc pas obtenu par Syracuse à partir d'un nombre impair. Alors que 2^(2n) vaut bien 1 modulo 3.

J'ai testé les valeurs jusqu'à 50, sans trouver. Et là mon programme est limité, il me dit qu'il arrive à remonter toutes les puissances de la famille jusqu'à un nombre, alors qu'au bout de 3 puissances on est bloqué normalement.

Du coup, j'imagine que le plus petit nombre après 27 faisant partie de sa famille doit être assez grand !

Une piste pour résoudre mon problème ? Ou alors je fais fausse route ?

 #5 - 26-02-2012 08:02:52

nodgim
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Problème sur la suite de Syracus

@ Francky: je n'ai pas bien compris ce que tu faisais, mais ce n'est pas ça, tu es froid.

@ Looping: Bon début, mais ce n'est pas la voie que j'ai choisie pour trouver ce nombre.

@ tous: Je l'ai fait à la main. J'ai demandé le 1er nombre de la famille 27 (après le 27 bien sûr) mais, une fois ce nombre trouvé, tous les nombres de cette famille sont donnés directement.

 #6 - 26-02-2012 08:20:21

Franky1103
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Problème sur la uite de Syracuse

@nodgim
Je suis un âne: je suis parti sur les nombres de la famille 27, alors que tu demandes la famille du nombre 27, ce qui n'est évidemment pas pareil. Je reviendrai plus tard sur cette énigme.

 #7 - 27-02-2012 18:30:10

nodgim
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Problème sur la suitee de Syracuse

Conseil pour Looping: et si tu tentais avec un autre nombre qui arrivera à 1 en moins d'étapes ? ça te donnera peut être l'idée de la généralisation...

 #8 - 27-02-2012 19:32:26

L00ping007
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Problème sur la suite d Syracuse

Je ne comprends pas ton indication : s'il arrive en moins d'étapes, alors il ne fera pas partie de la même famille que 27. 27 fera partie de la famille de ce nouveau nombre, mais pas l'inverse, non ?

 #9 - 28-02-2012 17:49:30

lilinea
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Probèlme sur la suite de Syracuse

bonjour
Si j'ai bien compris l'énoncé il faut prendre les deux premiers chiffres de la famille. Après avoir décomposé 27 je me suis arrêté à 26 fois et j'ai bien relu l'énoncé.
Donc 27 sa famille c'est 12 et donc le prochain nombre que je trouve c'est 34.

 #10 - 28-02-2012 18:16:39

nodgim
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ptoblème sur la suite de syracuse

Pour Looping: 27 est un nombre qui arrive à 1 au bout de beaucoup d'étapes. En choisissant un autre nombre, 11 par exemple, à qui est associée une autre famille, mais avec un nombre d'étapes plus réduit (11,17,13,5,1 donc 1234) et en cherchant un nb de cette famille, peut être trouvera t on alors un lien.....

Je donne ce nombre (de tête): 2059. A vous de trouver la règle et l'explication.

 #11 - 28-02-2012 19:45:23

lilinea
Passionné de Prise2Tete
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Prolbème sur la suite de Syracuse

bonsoir
en décomposant 2059 on retombe sur 11 peut on dire que ces deux nombres sont de la même famille?
Si c'est le cas les multiples de 27 serait dans ce cas 54 ...............

 #12 - 28-02-2012 22:49:09

rivas
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Problème sur laa suite de Syracuse

Pourquoi ne pas avoir simplement mis une virgule dans la dénomination d'une famille puisqu'on considère les chiffres séparement?
Comment nomme-t-on une famille pour laquelle on fait d'abord 3 divisions successives, des multiplications puis 11 divisions? 311? Comment la distingue-t-on de 3,1,1?
Enfin, c'est vraiment posé de façon obscure, et si encore j'ai compris...
On cherche donc le prochain nombre qui comme pour 13 entraine d'abord 2 divisions, des multiplications (nombre quelconque), puis 7 divisions puis des multiplications et des divisions en nombre quelconque pour aboutir à 1, c'est bien ça?
Et puisque les multiplications sont muettes, on peut sans doute commencer aussi par des multiplications non?

 #13 - 29-02-2012 00:44:39

L00ping007
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problème sur la suitr de syracuse

D'accord, titoufred, avec 11 le problème paraît plus abordable.
Mon problème, c'est que j'ai considéré les nombres qui comptaient seulement une division de plus que le nombre de départ, alors que pour 2059, il y en a plusieurs après les 4 premières 1,2,3,4 qui sont les mêmes que pour 11. D'ailleurs, en partant de 2059, on ne passe par 11.

La famille de 11 est 1,2,3,4.
La famille de 2059 est 1,2,3,4,1,5,1,1,5,4.

Il me reste à comprendre le lien entre les 2 smile

 #14 - 29-02-2012 07:59:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Problèem sur la suite de Syracuse

De la même famile que 2059: 536872971.
Maintenant que les réponses sont visibles, le problème devient collégial.
Je temporise pour la réponse.

 #15 - 29-02-2012 08:05:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Problème sur la usite de Syracuse

rivas a écrit:

Pourquoi ne pas avoir simplement mis une virgule dans la dénomination d'une famille puisqu'on considère les chiffres séparement?
Comment nomme-t-on une famille pour laquelle on fait d'abord 3 divisions successives, des multiplications puis 11 divisions? 311? Comment la distingue-t-on de 3,1,1?
Enfin, c'est vraiment posé de façon obscure, et si encore j'ai compris...
On cherche donc le prochain nombre qui comme pour 13 entraine d'abord 2 divisions, des multiplications (nombre quelconque), puis 7 divisions puis des multiplications et des divisions en nombre quelconque pour aboutir à 1, c'est bien ça?
Et puisque les multiplications sont muettes, on peut sans doute commencer aussi par des multiplications non?

Oui, j'aurais dû mettre une virgule. Mais bon, tu as compris.
Pour les multiplications, je crois que tu n'as pas bien compris l'algorithme.
Si on multiplie un impair par 3 et qu'on ajoute 1, ça donne forcément un pair. Donc si les divisions par 2 peuvent se succeder, en revanche on ne fait la multiplication qu'une fois par étape. Donc "une famille" n'est caractérisée que par les divisions par 2.

 #16 - 29-02-2012 08:08:44

nodgim
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problème sue la suite de syracuse

lilinea a écrit:

bonsoir
en décomposant 2059 on retombe sur 11

Peux tu expliquer ?

 #17 - 29-02-2012 09:26:39

rivas
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Problème sur la suite de Syraccuse

nodgim a écrit:

Oui, j'aurais dû mettre une virgule. Mais bon, tu as compris.
Pour les multiplications, je crois que tu n'as pas bien compris l'algorithme.
Si on multiplie un impair par 3 et qu'on ajoute 1, ça donne forcément un pair. Donc si les divisions par 2 peuvent se succeder, en revanche on ne fait la multiplication qu'une fois par étape. Donc "une famille" n'est caractérisée que par les divisions par 2.

Je suis partiellement d'accord pour la caractérisation car il manque l'information de si on commence par une division ou une multiplication (la parité du nombre de départ) pour reconstruire le nombre à partir de la suite...

J'insiste par contre de façon générale sur le fait que la clarté de l'énoncé conditionne GRANDEMENT l'envie que j'ai de me plonger un problème, sans doute autant que le sujet lui-même. Je ne pense pas être le seul dans ce cas. Je ne vise pas nodgim en particulier, c'est juste que ça tombe sur cette énigme là parce que je l'ai trouvé particulierement difficile à décrypter au premier abord.

Je ne comprends pas encore bien le but du problème. Ca reste très confus. La confusion des familles et des sous-familles, ...
L00ping007 donne la famille de 27 (je lui fais confiance smile):
1,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4
N'importe quel nombre commençant par une extraction de cette "suite" en partant du début répond à la question, il reste à trouver le plus petit après 27 non?

Famille: 1: Nombre: 2
Famille 1,2: Impossible (amusant ça une famille impossible).
Famille 1,2,1: Impossible aussi (amusant encore).
D'ailleurs, on se rend compte qu'une famille ne peut finir par ,1 (sauf la famille 1), ni par ,2.
Ni par ,3 sinon le nombre précédent aurait été 8 qui ne peut s'atteindre par 3k+1.
,4 est OK (16=3*5+1)
,5 non (32 n'est pas de la forme 3k+1)
,6 est OK (64=3*21+1)
,7 non
...

Il faut donc extraire une suite qui commence au début et ne finit pas par ,1 ni ,2 ni ,3 ni ,5 ...

La plus petite est:
1,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4
Il ne reste plus qu'à trouver à quel nombre cela correspond par recomposition inverse...

Une famille ne peut se terminer par 1,1,4 car c'est celle de 6 et 6 ne peut être atteint par 3k+1.
On ne peut pas extraire d'autre sous suite strictement incluse de la famille de 27, il faut donc travailler par "extension", c'est à dire rajouter un nombre à la suite en respectant les conditions de "terminaison" listées ci-dessus.
On essaye donc:
1,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4,4... A suivre...

En même temps, puisque 27 est impair, la première étape est de faire 3k+1 ce qui donne 82. Et puisque cette étape ne change rien à la caractérisation choisie, 82 à exactement la même suite que 27, ce qu'a déjà donné FRiZMOUT dès le début.
Le nombre cherché, s'il n'est pas 82 est donc entre 27 et 82 strictement...
Aucun nombre entre 27 et 82 n'appartient à la même famille.

82 est donc la réponse...

 #18 - 29-02-2012 09:56:56

nodgim
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Problème sur la suiite de Syracuse

C'est l'inverse qui est demandé. Trouver un nombre tel que le début de sa suite soit le même que la suite 27. Donc un nombre dont les 41 premiers termes de sa suite sont les mêmes que la suite de 27.
Ce n'est pas écrit dans l'énoncé, mais c'est sous entendu, on cherche un nombre impair.

 #19 - 29-02-2012 10:03:17

nodgim
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problème sut la suite de syracuse

lilinea a écrit:

Si c'est le cas les multiples de 27 serait dans ce cas 54 ...............

54, OK et son double aussi, et le double du double....
Mais ce que je demande, c'est un autre nombre impair que 27...
C'eût été trop aisé..

 #20 - 29-02-2012 10:07:38

rivas
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Problème sur la suie de Syracuse

nodgim a écrit:

C'est l'inverse qui est demandé. Trouver un nombre tel que le début de sa suite soit le même que la suite 27. Donc un nombre dont les 41 premiers termes de sa suite sont les mêmes que la suite de 27.
Ce n'est pas écrit dans l'énoncé, mais c'est sous entendu, on cherche un nombre impair.

C'est un peu fort ça que ce soit sous-entendu que ça soit un nombre impair...

De plus encore une fois la confusion totale de l'énoncé porte à confusion.
Si a est de la même famille que b alors forcément b est de la même famille que a. Donc rien de dit dans l'énoncé que la famille que l'on cherche doive être plus longue. Ceci dit il n'en existe pas de plus courte comme je le montre ci-dessus...

 #21 - 29-02-2012 10:15:02

lilinea
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Problème sur la sutie de Syracuse

bonjour
Je ne suis pas très douée en  math mais je remarque que lorsque des nombres sont de la même famille ils tombent sur les mêmes nombres premiers .
Je dirais que 31,41,47 71.......... sont de la même famille que 27 .

 #22 - 29-02-2012 12:28:51

nodgim
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Problème sur la ssuite de Syracuse

Attention, comme je l'ai écrit, la famille d'un nombre ne s'arrête que quand ce nombre atteint 1.
La famille du nombre 13 est (3;4)
La famille du nombre 11 est (1;2;3;4)
La famille du nombre 5 est (4)
La famille du nombre 37 est (4;1;2;3;4)

Parmi ces 4 exemples, la seule chose qu'on peut dire dans le cadre de l'énoncé est que 37 fait partie de la famille du nombre 5. Je n'ai pas écrit autre chose.

La famille du nombre 27 a été correctement décrite dans les réponses faites. C'est déja un début.

 #23 - 29-02-2012 14:10:01

rivas
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rPoblème sur la suite de Syracuse

Il faut donc trouver un nombre N auquel lorsqu'on lui applique la suite:
1,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4
permet d'aboutir à un nombre impair I sans passer par 1.
En effet à partir de la, on continuera la suite de I qui se rajoutera à la fin de celle de 27.

Le problème, c'est que je n'ai trouvé aucun nombre N auquel lorsqu'on applique la suite ci-dessus permet d'obtenir un I impair (parce que si pair, cela ajoutera au moins 1 au dernier 4 ce qu'on ne veut pas).

J'ai quand même cherché jusqu'à 100.000.000.000...

 #24 - 29-02-2012 15:01:34

L00ping007
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problème sur la suiye de syracuse

Le plus petit nombre suivant N dans sa famille est
[TeX]N+2^{1+\sum_{k=1}^{n}p_k}[/TeX]
où les [latex]p_k[/latex] sont les n puissances successives de la famille du nombre N

La démo ce soir, mais c'est en fait relativement simple !

 #25 - 29-02-2012 17:59:16

nodgim
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Problème sur la suite de Syracse

Bien vu Looping !
Information complémentaire:
La suite de Syracuse est une suite à caractère géométrique: grosso modo, on multiplie par 3^k et on divise par 2^j.
Lorsque les nombres sont petits, le "+1" après le produit par 3 est significatif, mais lorsque les nombres grandissent, le +1 devient négligeable.

Exemple: 123456789 devient 366625 après la suite de divisions:6312111112442.
En comparant 123456789/36625=336.738..
Et 2^29/3^13=336.739...
On voit que la dérive est minime.

On ne connait pas de boucle pour cet algorithme (un nombre retombe sur lui même au lieu de redescendre à 1) mais on n'a pas la preuve que ça n'existe pas.
Si on suppose une boucle, elle ne peut exister qu'avec de très grands nombres (plusieurs dizaines de chiffres au moins pour le plus petit de cette boucle) et beaucoup beaucoup d'étapes. On serait donc amené à écrire:
2^k/3^j=1 avec k et j grands. Or, on sait que les puissances de 2 et les puissances de 3 s'éloignent les unes des autres de manière assez régulière.
C'est la raison pour laquelle la majorité des mathématiciens pensent que la conjecture est juste, c'est à dire que tous les nombres redescendent à 1 au final.

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