Enigmes

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 #1 - 23-09-2013 19:13:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Analyse : roblème ouvert

Salut tout le monde après une rapide révision je me suis essayé aux intégrales avec des racines de polynômes, ayant séché pour trouver la primitive de [latex]\sqrt{1+x^2}[/latex] je ne vous demanderai pas de trouver la primitive ni même avec un polynôme de degré n.


En revanche j'aimerai savoir ceci :

Existe t-il une un polynôme fini de coefficients non nuls [latex](a_0,...,a_n)[/latex] avec [latex]n \in \mathbb{N}[/latex] tel que


                           [latex]\int_0^1 \sqrt{\sum_{i=0}^n a_i x^i}dx=\sqrt{2}[/latex] ?


Je ne connais moi-même pas la réponse j'ai bien mon petit avis mais loin d'avoir une preuve...


Amusez-vous bien,
Shadock smile



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 #2 - 23-09-2013 19:44:52

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Analyse : Problème ouveert

Bonjour,

Le polynôme (0,0,8) n'est pas bien ?


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 23-09-2013 19:57:35

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Analyse : Probème ouvert

Euh j'ai oublié de coefficients non nuls khihihi big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 23-09-2013 20:33:42

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Analyse : Problème ouverrt

Soit [latex]P(x)=\sum_{k=0}^na_ix^i[/latex] alors :

Posons [latex]K = \int_0^1 P(x) dx[/latex]

Alors si [latex]K\neq 0[/latex] on peut poser [latex]Q(x) = {2\over K^2}(P(x))^2[/latex]

et on a [latex]\int_0^1 \sqrt{Q(x)} dx = \sqrt{2}[/latex]

et des polynômes tels que [latex]K\neq 0[/latex] il y en a plein smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 23-09-2013 22:29:33

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Analyse : Problème ouver

Il me semble qu'avec n=0 et a0=2, on trouve le résultat souhaité.
C'est peut-être trop simple pour être la réponse attendue....

 #6 - 23-09-2013 22:37:37

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

analyse : problèmr ouvert

J'essaie de répondre à la question qui n'est pas posée, et ce aux erreurs près dûes au ramollissement de mes neurônes (sup-spé en 1980-82):

Prim [V(x²+1)] = Prim [x²/V(x²+1) + 1/V(x²+1)]
= x.V(x²+1) - Prim [V(x²+1)] + Prim [1/V(x²+1)]
[en intégrant par parties: u = x et v = V(x²+1)]
d'où: Prim [V(x²+1)] = x.V(x²+1) - Prim [V(x²+1)] + argsh(x)
et enfin: Prim [V(x²+1)] = [x.V(x²+1) + argsh(x)] / 2
(mais à vérifier)

 #7 - 23-09-2013 23:48:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

Analyse : Problème ouvret

Pour répondre plus directement à la question posée, je pense qu'il en existe même une infinité. Voici comment on pourrait prouver l'existence d'au moins un tel polynôme: je calcule Prim [V(1+x²)] de 0 à 1 et je trouve k, alors le polynôme (2/k²).(1+x²) devrait répondre à la question, non ?

Edit: Ah oui, mais ce n'est peut-être pas bon car k est sans doute un irrationnel.

 #8 - 24-09-2013 09:49:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Anaalyse : Problème ouvert

Indice i dans le terme général de la somme, somme indexée en k big_smile

Sinon, je suis persuadé que oui, mais je ne vois pas comment construire un tel polynôme. J'y réfléchis...


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 #9 - 24-09-2013 11:35:17

titoufred
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analyse : peoblème ouvert

Dans wolfram alpha, il faut taper "indefinite integral sqrt(1+x^2)"

 #10 - 24-09-2013 18:09:39

nodgim
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analyse : probmème ouvert

Pour moi, pour tout n, il y a au moins une solution.

 #11 - 24-09-2013 23:23:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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analyse : problème ouverr

Ah oui en fait ce n'est pas si difficile que ça si on prends le problème autrement, je ne vous dirai donc pas ma méthode de début de démonstration lollollol

Bref alors pour les plus fort (si ça se trouve c'est encore plus simple) une telle intégrale, peut-elle converger vers [latex]\pi[/latex]? Y a t-il des nombres qui ne peuvent être atteint ou alors le sont-ils tous ?


Shadock big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 25-09-2013 00:30:27

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Analyse : Problème ouuvert

La question qui me taraude, c'est : est-il possible de répondre à ta question avec un polynôme à coefficients tous entiers ?

Pour des coefficients non nuls, tu calcules l'intégrale d'un polynôme quelconque à coefficients non nuls, et tu obtiens un réel X (si tu tombes sur 0, chope un autre polynôme au hasard). Tu multiplies ton polynôme de départ (donc tous ses coefficients) par [latex]\sqrt{2}/X[/latex], et hop !


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 #13 - 25-09-2013 19:33:32

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Analyse : Problème ouvertt

Je m’aperçois au fil des réponses que j'ai oublié la moitié des conditions que je voulais alors on verra à la fin, et pour le moment tu as un choix libre sur le fait que les coefficients soient ou non entiers. ^^


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 25-09-2013 20:09:23

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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analyse : problèle ouvert

Je pense que les nombres négatifs ne peuvent pas être atteins. Sinon pour les nombres positifs, avec les mêmes notations, si on prend :
[TeX]Q(x)={r^2\over K^2}(P(x))^2[/TeX]
alors [latex]\int_0^1 \sqrt{Q(x)}dx = |r|[/latex]

Après si les coefficients doivent être entiers, on peut toujours trouver un polynôme [latex]P[/latex] à coefficients dans [latex]\mathbb{Z}[/latex] tels que [latex]K=1[/latex] (par exemple P=(-1,4)) et donc si [latex]r^2[/latex] est entier alors [latex]Q[/latex] est un polynôme à coefficients entiers.

Après avec des polynômes qui n'ont pas cette forme là, on doit sûrement pouvoir atteindre d'autre réels, mais là ... ce n'est plus de mon ressort smile


Il y a sûrement plus simple.

 #15 - 26-09-2013 20:06:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

analyse : priblème ouvert

masab a écrit:

L'ensemble des polynômes à coefficients entiers étant dénombrable

Je ne vois pas pourquoi, puisque l'ensemble des polynômes est infini... yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 26-09-2013 20:24:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Analse : Problème ouvert

@shadock: J'espère que ma primitive te servira à quelquechose (si elle est juste) lol

 #17 - 26-09-2013 21:02:59

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1745

Anlayse : Problème ouvert

Hello ! de mon temps on disait "une" primitive ... big_smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #18 - 26-09-2013 21:34:17

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Aalyse : Problème ouvert

shadock a écrit:

masab a écrit:

L'ensemble des polynômes à coefficients entiers étant dénombrable

Je ne vois pas pourquoi, puisque l'ensemble des polynômes est infini... yikes

Dénombrable, cela signifie qu'il existe une bijection avec [latex]\mathbb{N}[/latex]

L'ensemble des rationnels est dénombrable.
Tu peux coder un polynôme à coefficients entiers comme une suite fini d'entiers.
Tu peux interpréter cette suite fini d'entier comme le développement décimale d'un rationnel. Et donc à chaque polynôme tu peux lui associer un rationnel.
Il existe donc une bijection entre l'ensemble des polynômes et un sous ensemble des rationnels. Et comme les rationnels sont dénombrables alors l'ensemble des polynômes à coefficients entiers est dénombrable.


Il y a sûrement plus simple.

 #19 - 26-09-2013 22:47:47

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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analyse : problème ouvzrt

@Cogito : La démo ne tient pas debout à mon sens. Est-ce que [latex]1,27[/latex] correspond à [latex]1+2x+7x^2[/latex] ou à [latex]1+27x[/latex] ?

@Shadock : "Dénombrable" et "infini" sont deux notions différentes. Un ensemble contenant une infinité d'éléments peut être dénombrable ou non. La différence se fait en voyant s'il est possible "d'étiqueter les éléments par des entiers" ou pas (c'est cette histoire de bijection avec [latex]\mathbb{N}[/latex], sous une forme vulgarisée voire approximative).

Ce sont des infinis très différents. Certaines énigmes ont déjà été postées dans ce genre, je crois... Et tu avais même compris et réécrit la démo dite de la diagonale de Cantor selon laquelle l'intervalle [0,1] n'est pas dénombrable smile

Si tu te sens à l'aise avec ces notions, tu peux jeter un oeil à l'hypothèse du continu...


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 #20 - 26-09-2013 23:11:17

cogito
Expert de Prise2Tete
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analyse : problème ouvzrt

Je n'ai pas vraiment réfléchi au codage, mais on pourrait imaginé celui là :
[TeX]1 + 2x - 7x^2[/TeX]
nombre maximum de chiffres des coefficients ---> 1
donc chiffre avant la virgule ----> 1+1 (1 de plus pour coder le signe du coefficient)
codage du polynôme :
2,010217.

décodage : chiffre avant la virgule 2 donc je découpe en paquets de 2 :

01 02 17 ---> le premier chiffre code le signe donc le polynôme est :
[TeX]1 + 2 x - 7 x^2[/TeX]
et 1 + 27 x serait codé : 3,001027

Je ne sais pas si c'est bien expliqué, mais je pense qu'avec un codage dans ce genre là ça devrait aller smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 26-09-2013 23:22:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Annalyse : Problème ouvert

Pas si compliqué que ça, et efficace smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 27-09-2013 10:23:04

MthS-MlndN
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Analyse : Prolème ouvert

Moins joli, mais okay big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 27-09-2013 13:43:43

shadock
Elite de Prise2Tete
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analyse : probkème ouvert

@Franky1103

[latex]\int ^x \sqrt{1+t^2}=\frac{\sqrt{1+x^2}+sinh^{-1}}{2}[/latex] wink


@Mathias oui c'est vrai je me souviens pour Cantor, c'est la fatigue je mélange tout en ce moment sad

En réalité sinon dans ma tête l'énoncé c'était d'avoir un polynôme fini à coefficients entiers et non nul. Et pour les bornes de l'intégrale j'ai choisis 0 et 1 parce que c'est beau, mais peut-on généraliser avec des bornes du type n et n+1 avec n un entier naturel?

Après on peut se poser plein d'autres questions...


NB : Si j'ai bien compris la manière de cogito pour obtenir les nombres qu'il veut, avec un polynôme fini on ne peut pas atteindre pi, c'est bien ça?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 27-09-2013 17:55:40

cogito
Expert de Prise2Tete
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Analsye : Problème ouvert

Pas tout à fait.

En fait les nombres que j'obtiens c'est uniquement pour faire un lien entre les polynômes à coefficients entiers et les nombres rationnels pour montrer que c'est un ensemble dénombrable. Mais cela n'a pas de rapport avec le résultat de l'intégrale.

Comme tu l'as indiqué, avec le polynôme 1+x² on voit apparaître une fonction trigonométrique, donc il n'est pas évident que l'on ne puisse pas atteindre pi.
Enfin, je ne vois pas d'argument simple hmm.

(Mais vous savez moi, sans mes lunettes... lol )
Euh,... pardon.


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 27-09-2013 18:13:22

shadock
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Analyes : Problème ouvert

Mais c'est pas la Loire ici c'est la Seine lol


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