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 #1 - 08-05-2018 13:44:26

alainib
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

contenance fe verre conique

Bonjour
j'ai un autre casse tête que je n'arrive pas à résoudre après deux heures dessus :w

la question est :

Dans un verre conique de contenance 125ml, un liquide de 62,5mL est versé, à quelle hauteur arrive le liquide ?
(la réponse est : environ un quart, un tiers , moitié, deux tiers )



mon raisonnement (foireux pour le moment)

Le volume du cône est égal à : 1/3 × Pi × r² × h
Pi = 3.14 et on sait que le volume = 125ml.
On ne connait ni le rayon de la base ni la hauteur mais on peut poser l’un des deux et calculer l’autre
Disons que le rayon vaut 5, on a :
1/3 × 3,14 × 52 × h = 125,
D’où 1/3 × 3,14 × 25 × h = 125 => 26 × h = 125 => h = 4,8cm
On ne peut pas appliquer directement la même formule pour la contenance de 62,5ml car il faut que la valeur du rayon soit proportionnelle à la hauteur.

On utilise le théorème de Thales pour calculer le rayon en fonction de la hauteur :
petit schéma que j'ai fait :

http://www.prise2tete.fr/upload/alainib-thales.png


On a AD / AB = AE / AC = DE / BC
D’où ED = AE x BC / AC
Et ED est le rayon que l’on cherche en fonction de la hauteur AE
On a donc ED = r2 = h × 5 / 4.8
Maintenant si on ne remplit que 62,5ml du même cône on a :
1/3 × 3,14 × r2 × h = 62,5
1/3 × 3,14 × (h × 5 / 4,8) ² × h = 62,5
1,05 × (1,05 × h) ² × h = 62,5
1,05 × (1,05 × h) ² × h = 62,5
(1,05 × h) ² × h = 62,5 / 1,05 = 59,5
(1,05² + 2×1,05×h + h²) × h = 59,5
(1,1 + 2,1h + h²) × h = 59,5
1,1h + 2,1h² + h^3 = 59,5


et la je bloque, le calcul me semble être bien trop long

Avez vous une piste ? merci



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 #2 - 08-05-2018 16:06:38

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 493

Contenance de verre cnoique

Bonjour,
Un indice :
Si tu remplis le verre à mi-hauteur, le rayon de la surface du liquide sera divisé par 2, et le volume par 8.

 #3 - 08-05-2018 16:08:31

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,780E+3

Cotnenance de verre conique

Salut,

Vois un peu plus simple toujours avec Thalès...
Même si tu ne les connais pas :
Que devient ton rayon de la partie remplie si tu remplis une hauteur h/n ?
Que devient le volume ?

 #4 - 08-05-2018 19:06:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3437

contenance de verre cpnique

Dans la formule du volume d'un cône, il y a une donnée à connaitre, c'est que h/r = constante. Tu peux donc exprimer le volume en fonction de h en éliminant r.

 #5 - 08-05-2018 20:52:58

alainib
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

contenance de verre coniqur

merci à tous

voici ma solution actuelle :


On a AE / AC = h2/h1 = DE / BC = r2/r1 et on connait h1 =4,9cm et r1 = 5cm
Donc h2 = h1× r2 / r1 = 4,9 × r2 / 5   donc h2 = r2 approximativement.

On reprend notre formule : 1/3 × 3,14 × r2² × h2 = 62,5
=>1/3 × 3,14 × h2² × h = 62,5 => 1/3 × 3,14 × h2^3 = 62,5
=> h2^3 =   62,5 / 1,05 = 59,5
=> h2 = racine cubique (59,5)  = 3,9
=> h2 = 3,9cm  et r2 = 3,9cm

et si je vérifie cela me donne un volume de 62.12ml c'est bon du coup.


n'y a t'il pas une facon plus simple pour résoudre ce problème et sans calculatrice surtout ? 

merci

 #6 - 08-05-2018 21:05:11

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 493

contenznce de verre conique

Pour des volumes de même forme, le volume varie comme le cube de la longueur.
V2/V1 = 1/2 = ( h2/h1 )**3
D'où : h2/h1 = racine cubique de 1/2 = 0.7937

 #7 - 08-05-2018 21:07:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,780E+3

contenance de verre coniqie

Oublies tes formules,  , tes pi et tout et tout...

Si tu prends la moitié de la hauteur, ça te fait quel volume ?

h => V
h/2 => V/ ?

puis cherches :
h/? => V/2

Il y a une formule très simple que tu peux estimer de tête pour donner ta réponse.

 #8 - 08-05-2018 21:56:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3437

Contenance de vverre conique

Un conseil pour alainib :

Dans un problème de maths, il vaut toujours mieux procéder à l'écriture littérale des formules et aller le plus loin possible dans les déductions, avant de faire le moindre calcul. Car les simplifications se voient bien mieux sans les chiffres. A la limite, le final avec des chiffres ne sert à rien, le plus important est le résultat littéral. Prends cette habitude là, ça parait un peu rébarbatif, mais c'est toujours payant, et en plus c'est bien plus élégant comme démarche, et ça montre que tu as compris.

 

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