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 #1 - 04-01-2014 12:00:48

Benji1996
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

sphère dans un tétraèsre

Bonjour,
Je viens de trouver votre forum en cherchant des aides pour une énigme qu'on m'a posé mais après une recherche sur ce forum, je n'ai pas trouvé d'aides hmm

Voici l'énigme (donc je ne connais pas la réponse --" )
1/ Quel est le plus grand rayon d'une sphère inscrite dans un tétraèdre régulier de côté 1 ?

Je suis parti sur l'énigme en faisant le projeté de la sphère sur la base et avec les médianes mais je n'arrive pas à m'en sortir hmm



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 #2 - 04-01-2014 12:37:15

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Sphère dans un étraèdre

Un tétraèdre régulier, c'est un solide de Platon. Et donc, il existe des formules pour calculer directement les rayons circonscrits (sphère circonscrite), les rayons internes (sphère inscrite) et les rayons moyens (sphère moyenne).
Et les deux premières formules impliquent le symbole de Schläfli et l'angle diédral.

Je pense que c'est ça mais je suis pas sûr. Je trouve [latex]1/(2*sqrt(6))[/latex].

 #3 - 04-01-2014 13:17:44

Benji1996
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

sphète dans un tétraèdre

Oula xD
Juste petit info, je suis en Terminale et j'ai jamais vu ça^^"

Et les deux premières formules impliquent le symbole de Schläfli et l'angle diédral.

Je ne connais pas du tout ce symbole hmm

En tout cas merci de la réponse (très rapide) !
Mais si y a possibilité d'avoir un peu plus de détail dans le raisonnement que je puisse bien l'expliquer ce serait super big_smile

 #4 - 04-01-2014 13:27:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Sphère dans unn tétraèdre

Faut pas pousser non plus, tu tapes le titre de ton sujet dans google ( Sphère dans un tétraèdre ) et tu as 50 réponses détaillées.

Soit tu les comprends et tu as progressé, soit tu ne les comprends pas. Effectivement, je ne comprends pas non plus les trucs "driedal" et "SCHL...à tes souhaits" mais ce n'est pas utile.

 #5 - 04-01-2014 13:55:21

Benji1996
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Sphère dan sun tétraèdre

Avant de poster ici, j'ai cherché...
Et si vous regardez les différentes réponses "détaillées", aucune ne correspond car elles partent toutes avec des informations en plus ou n'ont aucun rapport avec le problème...

 #6 - 04-01-2014 14:09:23

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Sphère dans nu tétraèdre

Ce sont des formules toutes faites. On peut les trouver sur Wikipédia je pense.
Mais, à mon niveau, je ne peux rien démontrer. Je connais juste les formules, le symbole de Schläfli (du coup je suis pas sûr du nom) et l'angle diédral ou angle dièdre. Mais, si c'est un devoir, je ne peux pas vous aider, Benji.

La formule pour calculer le rayon r de la sphère inscrite d'un polyèdre régulier est :
r = (a/2)*tan(θ/2)*cot(π/p)
Avec a, la longueur de l'arête (ici 1) ; θ, l'angle dièdre et p, le premier nombre du couple représentant du symbole de Schläfli.

Il n'y a que 5 polyèdres réguliers, les solides de Platon. Je vais un tableau avec le nom du polyèdre, θ et le symbole de Schläfli.

Code:

Nom            Angle dièdre       Symbole de Schläfli
Tétraèdre      70,53 °            {3, 3}
Hexaèdre       90 °               {4, 3}
Octaèdre       109,47 °           {3, 4}
Dodécaèdre     116,56 °           {5, 3}
Isocaèdre      138,19 °           {3, 5}

Donc, ici r = (1/2)*tan(70,53/2)*cot(π/3) = 1/(2*sqrt(6)) = sqrt(6)/12.

L'angle dièdre, c'est l'angle entre deux plans.
Le symbole de Schläfli permet de définir simplement un polyèdre règulier ou une tessellation (pavage d'une même figure). Il consiste en une notation de la forme {p, q, r, ...}.

Je re-précise, si c'est un devoir, le prof n'attend sûrement pas ça de vous. Mais cela peut vous permettre de vérifier le résultat trouvé.

 #7 - 04-01-2014 15:32:48

Benji1996
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Sphère dans n tétraèdre

Ce n'est pas un devoir mais un exercice d'une fiche d'énigme qu'il nous a donné pour nous entraîner (c'est facultatif)

Je vais continuer à chercher de mon côté et merci de la réponse, ça me permettre effectivement de vérifier smile

 #8 - 04-01-2014 17:06:46

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Shpère dans un tétraèdre

 #9 - 04-01-2014 17:54:02

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Sphère dans unn tétraèdre

Bah, alors j'ai bon !
Selon, le lien de masab, pour les tétraèdres,
r = 1/(sqrt(24)*1) = 1/sqrt(24) = 1/(2*sqrt(6))
Et c'est ce que j'ai trouvé. Youpi !
Malheureusement, il n'y a pas de démonstration sur le site.

 #10 - 04-01-2014 20:34:52

Benji1996
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Sphèe dans un tétraèdre

Effectivement big_smile
Merci de votre aide je pense qu'avec le résultat je trouverai la démonstration (en bonne voie pour l'instant big_smile )

 #11 - 05-01-2014 00:00:54

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

sphère dans un rétraèdre

Tu peux tout faire en observant des triangles rectangles. Le centre de la sphère se projette orthogonalement sur chaque face triangulaire au centre de gravité de celui-ci.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #12 - 05-01-2014 19:14:03

Benji1996
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

sphère dabs un tétraèdre

En faisant cette méthode j'arrive à sqrt(3)/6...

 #13 - 05-01-2014 20:04:29

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Sphère dans unn tétraèdre

1°/ Tu mesures la médiane d'une face, tu en gardes les 2/3 vu la position du centre de gravité du triangle.
2°/ Tu déduis la hauteur du tétraèdre et tu en gardes le quart, vu la position du centre de gravité du tétraèdre sur cette hauteur (propriété des barycentres à utiliser).
Tu devrais obtenir sqrt(6)/12...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
 

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