Un tétraèdre régulier, c'est un solide de Platon. Et donc, il existe des formules pour calculer directement les rayons circonscrits (sphère circonscrite), les rayons internes (sphère inscrite) et les rayons moyens (sphère moyenne).
Et les deux premières formules impliquent le symbole de Schläfli et l'angle diédral.

Je pense que c'est ça mais je suis pas sûr. Je trouve [latex]1/(2*sqrt(6))[/latex].

Faut pas pousser non plus, tu tapes le titre de ton sujet dans google ( Sphère dans un tétraèdre ) et tu as 50 réponses détaillées.

Soit tu les comprends et tu as progressé, soit tu ne les comprends pas. Effectivement, je ne comprends pas non plus les trucs "driedal" et "SCHL...à tes souhaits" mais ce n'est pas utile.

Ce sont des formules toutes faites. On peut les trouver sur Wikipédia je pense.
Mais, à mon niveau, je ne peux rien démontrer. Je connais juste les formules, le symbole de Schläfli (du coup je suis pas sûr du nom) et l'angle diédral ou angle dièdre. Mais, si c'est un devoir, je ne peux pas vous aider, Benji.

La formule pour calculer le rayon r de la sphère inscrite d'un polyèdre régulier est :
r = (a/2)*tan(θ/2)*cot(π/p)
Avec a, la longueur de l'arête (ici 1) ; θ, l'angle dièdre et p, le premier nombre du couple représentant du symbole de Schläfli.

Il n'y a que 5 polyèdres réguliers, les solides de Platon. Je vais un tableau avec le nom du polyèdre, θ et le symbole de Schläfli.

Nom            Angle dièdre       Symbole de Schläfli
Tétraèdre      70,53 °            {3, 3}
Hexaèdre       90 °               {4, 3}
Octaèdre       109,47 °           {3, 4}
Dodécaèdre     116,56 °           {5, 3}
Isocaèdre      138,19 °           {3, 5}

Donc, ici r = (1/2)*tan(70,53/2)*cot(π/3) = 1/(2*sqrt(6)) = sqrt(6)/12.

L'angle dièdre, c'est l'angle entre deux plans.
Le symbole de Schläfli permet de définir simplement un polyèdre règulier ou une tessellation (pavage d'une même figure). Il consiste en une notation de la forme {p, q, r, ...}.

Je re-précise, si c'est un devoir, le prof n'attend sûrement pas ça de vous. Mais cela peut vous permettre de vérifier le résultat trouvé.

voir http://www.f-lohmueller.de/pov_tut/geo/geom_200f.htm

Effectivement
Merci de votre aide je pense qu'avec le résultat je trouverai la démonstration (en bonne voie pour l'instant )

En faisant cette méthode j'arrive à sqrt(3)/6...