Enigmes

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 #1 - 30-05-2018 21:47:37

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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50 asn

Puisqu'on en finit avec le cinquantenaire, voici un des sujets posés au baccalauréat de 1968 dans l'académie de Clermont-Ferrand, à l'oral. Évidemment, à faire sans calculatrice... et en expliquant votre méthode, je suis l'examinateur, et contrairement à il y a 50 ans, je ne suis pas disposé à vous faire de cadeau mad

Déterminer une progression arithmétique de 4 termes ayant pour raison 6 et telle
que le produit de ses termes soit égal à 385.



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 #2 - 30-05-2018 23:25:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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50 anns

-7 -1 5 11  ou -11 -5 1 7 , à l'opposé

 #3 - 30-05-2018 23:31:10

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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0 ans

@gwen27 : certes, cher candidat, bien vu... mais n'y a-t-il que cela comme solution ? C'est votre bachot que vous jouez là, gardez-vous de toute réponse trop hâtive !

 #4 - 30-05-2018 23:52:16

Jackv
Elite de Prise2Tete
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50 and

Si on décompose 385 en termes premiers, on obtient 5 X 7 X 11 . Pas de quoi faire une progression géométrique arithmétique de 4 termes !
Le plus petit produit multiple de 5 des termes d'une progression arithmétique de raison 6 serait : 5 X 11 X 17 X 23 =  21505 . Il y a comme un blème roll .

 #5 - 31-05-2018 00:08:21

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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50 anss

@Jackv : passant outre votre allègre confusion entre les termes "géométrique" et "arithmétique", que je mets sur le compte de votre émoi, tant il est vrai que cette jeunesse chevelue est facile à déstabiliser, je me permets de vous rappeler que vous êtes en Terminale, et donc, que vous êtes censé disposer d'une culture mathématique suffisante (et ce, même depuis le collège) pour ôter les œillères qui obscurcissent votre jugement. Je vous en conjure, un petit effort ! J'aimerais ne pas avoir à vous revoir l'an prochain.

 #6 - 31-05-2018 08:15:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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5 ans

Etonnante cette question en 1968. Ce n'est pas du niveau Termimale, mais seconde, car à l'époque on étudiait le trinôme en seconde.

Soit a le nombre cherché et r la raison :
(a-3/2r)(a-r/2)(a+r/2)(a+3/2r) = 385
a²-81)(a²-9)= 385
a^4 - 90a² + 344 = 0
A² -90A + 344 = 0
A = 4 ou 86
a = +-2 et +- V86

 #7 - 31-05-2018 08:18:57

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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50 anq

Bonjour,

La première idée est de décomposer 385 en facteurs premiers (5,7,11). On obtient ainsi facilement 2 solutions :
-7, -1, 5, 11
-11, -5, 1, 7


L'équation de degré 4 et l'œil sévère de l'examinateur incitent à approfondir.
En prenant comme origine le point milieu de la progression, il faut résoudre :
(x-9)*(x-3)*(x+3)*(x+9) = 385
(x²-81)*(x²-9) = 385
x^4 - 90*x² + 344 = 0

Cette équation bicarrée se résoud facilement à la main, et a 4 solutions : ±2, ±sqrt(86)

Les 2 premières correspondent aux solutions déjà trouvées, auxquelles il faut ajouter :
+sqrt(86)-9, +sqrt(86)-3, +sqrt(86)+3, +sqrt(86)+9
-sqrt(86)-9, -sqrt(86)-3, -sqrt(86)+3, -sqrt(86)+9

 #8 - 31-05-2018 08:40:03

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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05 ans

@nodgim & enigmatus : braves petits ! Vous étudiâtes parfaitement, et votre solution, excellemment expliquée, détonne dans la chienlit ambiante. Je vous mets donc un 12/20 bien mérité.

Vous auriez eu 14 si vous en aviez profité pour démontrer la conjecture de Collatz.

 #9 - 31-05-2018 11:07:10

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 535

550 ans

C'est sympa de noter large, ça encourage… smile

 #10 - 31-05-2018 12:38:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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50 aans

Non, on peut simplifier l'équation de degré 4 avec les racines évidentes, pour en obtenir une de degré 2 qu'un bachelier sait résoudre. Le discriminant est au programme de seconde si je ne me trompe pas...

x(x+6)(x+12)(x+18) -385 = (x+)(x+11)(x^2 + 18x -5)

Delta = 344

On a donc aussi -9 +/- V(86)

 #11 - 31-05-2018 16:01:07

Sphynxis
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1949
Lieu: Paris

50 asn

On veut x tel que x(x+6)(x+12)(x+18) = 385 i.e x⁴ + 36x³+ 396x² + 1296x - 385 = 0.

On peut d'abord chercher x entier. On décompose en facteurs premiers : 385 = 5*7*11. On a 11=5+6 et on constate que 5 = -7+12. De plus, -7+6 = -1 donc x = -7 convient. De même, x = -11 convient. Ce sont les deux seules solutions entiers.

On factorise le polynôme par (x+7)(x+11) = x² + 18x + 77 donc on cherche a,b,c tels que : (x⁴ + 36x³+ 396x² + 1296x - 385) = (x² + 18x + 77)(ax²+bx+c).
On a directement : a=1, c=-5. Le calcul donne : b=18. La résolution de x²+18x-5 = 0 donne les deux autres solutions : x = -9-sqrt(86) et x = -9+sqrt(86).

On vérifie bien que le produit des solutions vaut -385 (terme constant du polynôme).


C'est une solution calculatoire, j'ai peut être raté une astuce...

 #12 - 31-05-2018 17:08:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,167E+3

50 and

Cher Monsieur

Je me suis permis de noter [latex]x-9 , x-3 , x+3 , \text{ et }x+9[/latex] les trois termes de la suite et quelle ne fût pas ma stupeur lorsque je suis tombé sur une piètre équation bicarrée : [latex]x^4-90x^2+344=0[/latex] dont les solutions sont :[latex]2;-2;\sqrt{86};\text{ et }-\sqrt{86}[/latex] . Vous m'autoriserez , j'espère , à ne pas écrire les quatre suites qui en découlent smile

Vasimolo

 #13 - 31-05-2018 18:14:17

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 17

50 anss

Jeudi 31 Mai 2018,

Monsieur le professeur, veuillez trouver ci-joint ma résolution du problème '50 ans' donné lors de votre dernier cours.

Enoncé
Je cherche quatre nombres qui forment une progression arithmétique de raison 6 et dont le produit est 385

Je vais donc commencer à chercher 4 nombres dont le produit entre eux fera 385

385 est divisible par 5 , ce qui donne 77
77 est divisible par 7 , ce qui donne 11

Nous obtenons donc 385 comme le produit de quatre nombres  (premiers): 1*5*7*11

Cette décomposition en nombres positifs est unique  d'après le théorème vu en cours : "tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs."

Hors l'énoncé nous demande une raison de six entre ces nombres, ceci n'est pas le cas si on considère ces nombres comme des entiers positifs.

Il nous faut donc considérer que certains sont négatifs : deux, pour que le produit des quatre soit positif .

Comme il y une différence de 6  de 1 à 7, et également de 5 à 11 ,

On pense donc à la suite -7, -1, 5, 11 qui convient

et bien sûr également à la suite de signe inverse -11,-5,1,7

Solution(s)
les 4 nombres  -7,-1,5 et 11  ainsi que les quatre nombres -11,-5,1,7 sont en progression arithmétique de 6 et ont leur produit égal à 385.

Et ce sont les deux seules solutions.

 #14 - 31-05-2018 21:26:04

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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50 nas

OK ! Je m'étais trompé de niveau sad . Il est vrai qu'il y a 50 ans le bac était d'une toute autre difficulté !
Les termes de la progression n'appartiennent donc pas à l'ensemble des entiers mais des réels roll ...

Soit x le plus petit des termes. Il est solution de l'équation :
                     x^4 + 36 x^3 + 396 x^2 + 1296 x - 385 = 0

Tu es bien sûr que cette résolution d'équation du 4ème degré était au programme de terminale il y a 50 ans mad ?
Dans ce cas, je préfère repasser l'année prochaine, où la suivante... en espérant que les questions deviendront de plus en plus facile au fil des années lol !

Au moins, j'aurais participé wink .

 #15 - 31-05-2018 21:50:41

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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50 nas

@gwen27 : il était temps. Je n'aurais guère goûté que vous retardiez ma pause déjeuner.

@Sphynxis : correct, mais vous aimez visiblement compliquer les choses. Je vais proposer votre nom à mon ami Lichnerowicz qui prépare la prochaine réforme, votre profil peut l'intéresser.

@Vasimolo : vous confondez déférence et flagornerie. Avant de jubiler, relisez votre première phrase puis apprenez à compter jusqu'à quatre. Je n'ai jamais pu supporter les premiers de la classe...

@LeJeu : les seules solutions ? Comme votre camarade Jackv auparavant, vous vous permettez de rajouter inconsciemment dans l'énoncé des contraintes inexistantes. Merci de me laisser mon travail - composer l'énoncé - et faites plutôt le vôtre.

@Jackv : vous progressez. À cette vitesse, vous serez élu sénateur avant d'avoir votre diplôme. Peut-être qu'un autre choix pour x nous évitera à tous deux de mourir de vieillesse dans cette salle d'examen.

 #16 - 31-05-2018 22:42:25

Vasimolo
Le pâtissier
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0 ans

Pourquoi une telle méchanceté pour une simple étourderie , j'en parlerai ce soir avec père qui saura quelle suite ( ahahah ) il faut donner suite  à cette triste affaire .

Au revoir

Vasimolo

 #17 - 31-05-2018 22:44:50

Jackv
Elite de Prise2Tete
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50 nas

Effectivement, il est beaucoup plus judicieux de choisir comme variable x la moyenne des 4 termes.
                            (x-9) * (x-3) * (x+3) * (x+9) = 385
On obtient alors des simplifications remarquables :
                                 x^4 - 90 x^2 + 344 = 0
Et en posant X = x^2 :   X^2 -90 X + 344 = 0 ,
une équation du deuxième degré nettement plus à ma portée !

Le déterminant vaut 6724, et possède, Ô miracle, une racine entière : 82 !!!
Il existe donc 2 solutions :

a) X = (90 - 82)/2 = 4, d'où x = 2 , ce qui conduit au valeurs :
                                     -7 ,  -1 ,  5  et  11

b) X = (90 + 82)/2 = 86, d'où x ~ 9.274 , ce qui conduit au valeurs approximatives :
                          0.274 ,  6.274 ,  12.274  et  18.274

Voilà, je pense y être arrivé, de mon allure de sénateur  .
Merci pour ta patience et ta pédagogie très incitatrice lol lol .

 #18 - 31-05-2018 22:52:24

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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5 0ans

@Jackv : merci de copier dix fois la résolution de l'équation x²=4, d'amender votre production en conséquence, et d'aller vous poster au coin coiffé du bonnet d'âne.

 #19 - 01-06-2018 07:59:12

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
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5 ans

Vendredi 1 juin,

Il est vrai que ma première résolution fut un peu expéditive, je la complète donc.

nous pouvons donc  reformuler le problème comme la résolution de :
x( x+6)(x+12)(x+18) = 385

ce qui donne en développant
x^4 + 36 x^3 + 396 x^2 + 1296 x - 385 = 0

la première tentative de résolution nous donne deux racines évidentes : -7 et -11, nous pouvons mettre en facteur  les deux binômes :

( x+7)(x+11) ( x²+18x-5) =0

on résoud
x²+18x-5 =0
soit  ( x+9)^2 - 86 = 0

qui admet deux solutions
x +9 = racine(86)
x+9 = -racine(86)

Solution
les 4 séries solutions du problèmes sont donc les 4 séries de  premier terme:
-7, -11, -9-racine(86), -9 +racine(86)

 #20 - 01-06-2018 09:05:52

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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5 0ans

@LeJeu : correct, mon ami, correct... mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? Voici bien une maxime de notre temps.

 #21 - 01-06-2018 12:09:53

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 17

50 anss

Effectivement, on peut faire plus compliqué en résolvant directement

x^4 + 36 x^3 + 396 x^2 + 1296 x - 385 = 0

en utilisant la méthode de Ferrari ( 1522-1565) , on pose x= y -36/4 , ce qui va faire disparaître les termes en y^3

on trouve
y^4 - 90 y^2 + 344 =0

coup de chance ? on trouve une équation en bicarré, posons z=y²

z^2 -90z +344=0

Que l'on résout facilement
(z-45)²-1681=0
(z-45)² -41^2 =0

on trouve donc z =86 et z=4

avec z=y²
donc y= racine(86), -racine(86), 2, -2

et pour terminer x = y-9
x=  racine(86) -9, -racine(86) -9, -7, -11

CQFD

 #22 - 01-06-2018 12:47:52

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

550 ans

Oups hmm ! Décidément, je n'en loupe pas une... Je crois qu'il y a bien trop longtemps que je suis sorti du lycée.

Je reprends, donc :

Le déterminant vaut 6724, et possède, Ô miracle, une racine entière : 82 !!!
Il existe donc 2 familles de solutions :

          X = (90 - 82)/2 = 4, d'où
a1) x = 2 , ce qui conduit au valeurs :
                                     -7 ,  -1 ,  5  et  11
a2) x = -2 , ce qui conduit au valeurs :
                                     -11 ,  -5 ,  1  et  7

          X = (90 + 82)/2 = 86, d'où
b1) x ~ 9.274 , ce qui conduit au valeurs approximatives :
                          0.274 ,  6.274 ,  12.274  et  18.274
b2) x ~ -9.274 , ce qui conduit au valeurs approximatives :
                       -18.274 ,  -12.274 ,  -6.274  et  -0.274

Je pense être tombé à pieds joints dans toutes les chausse-trappes possibles. Mais peut-être en reste-t-il encore ?
J'espère que je vais finir par l'avoir Spoiler : [Afficher le message] mon siège de sénateur lol !
Un grand merci pour cette énigme qui m'a permis de faire une bonne révision.
En tout cas, j'aurais bien contribué au bon nombre de réponses que tu as reçu wink .
Et j'espère vivement ta participation à ma prochaine énigme. Le niveau mathématique ne dépassera pas celui du CM1 lol !

 #23 - 01-06-2018 14:11:59

tevennec
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 8

5 0ans

on voit tout de suite que en prenant 1 comme premier terme on arrive à un produit très supérieur a 385.

il faut donc un premier terme négatif ( deux termes négatifs pour avoir un produit positif)) et ( un terme égal a 1 ou -1 et un terme qui vaut 5 ou -5  pour avoir un produit multiple de 5)

sans tatonner beaucoup   -7;  -1 ; 5 ; 11.

en posant l’équation (x-6)*(x)*(x+6)*(x+12)=385

et en faisant le changement de variable   x=X-3  on symétrise l’équation

(X²-81)(X²-9)=5*7*11  d'ou X²-9=5 ou 7 ou 11 ou 35 ou 55 ou 77  seules possibilités:

X²=16 ou X²=64    X= -8 -4  4  8  en essayant tous les cas on retombe sur le résultat précédant  ( flemme de tout écrire!)

 #24 - 01-06-2018 16:25:54

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 17

500 ans

4ieme essai- ( Cent fois sur le métier tu remettras ton ouvrage...)


Une autre façon d'aborder la résolution

en partant de :

x( x+6)(x+12)(x+18) = 385

on  peut "rééquilibrer" l'équation en posant dès le départ ,au lieu de développer
x = y-9

ce qui donne
(y-9)(y-3)(y+3)(y+9) = 385

et donc
(y²-81)(y²-9) = 385

Ce qui nous supprime de suite le degré 4 en posant z=y²
(z-81)(z-9) =395

et on continue comme précédemment avec
z² -90z +344=0

Mais avec des calculs bien plus simple depuis le départ !

( et donc non, l'équation en bicarré de ma résolution précédente n'était pas un coup de chance ! et la bonne idée était de prendre le "milieu' des 4 nombres pour simplifier le calcul smile )

 #25 - 01-06-2018 18:24:38

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 681
Lieu: Belgique

50 as

Mise en équation :
x est le second terme de la progression
(x-6)x(x+6)(x+12)=385
donc x^4 + 12 x^3 - 36 x^2 - 432 x - 385 = 0

Les valeurs numériques du membre de gauche pour les diviseurs entiers de 385
donnent 0 pour  x=-1 et x=-5
On peut donc diviser le membre de gauche par x+1 puis par x+5 et obtenir successivement x^3 + 11 x^2 - 47 x - 385 puis x^2 + 6 x - 77

En recherchant les solutions de x^2 + 6 x - 77 = 0

On obtient encore -3 + rac(86) et -3 - rac(86)

On a donc 4 solutions pour x : -1 ; -5 ; -3+RAC(86) et -3-RAC(86)

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