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 #1 - 25-05-2009 21:40:35

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Facctorisation PPCM(1..50)

Une énigme issue du site anglosaxon Wild about math. Je vous fais la traduction :

Trouver la factorisation en nombres premiers du plus petit entier divisible par tous les nombres de 1 à 50 compris.

Le calcul peut se faire à la main, vous pouvez vérifier informatiquement, mais donnez moi une explication pour une réponse sans calculatrice.

PS : si vous le souhaitez vous pouvez envoyer votre réponse par mail à l'auteur, vous participerez alors à un tirage au sort pour gagner 10$.



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 #2 - 26-05-2009 00:20:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

factorisatipn ppcm(1..50)

Le PPCM de tous les nombres de 1 à 50 sera de la forme

2^a x 3^b x 5^c x 7^d x 11^e x 13^f x 17^g x 19^h x 23^i x 29^j x 31^k x 37^l x 41^m x 43^n x 47^o

où les lettres de a à o sont les plus grandes puissances portées par les facteurs correspondants dans les décompositions des nombres de 1 à 50.

2^5 = 32 et 2^6 = 64 > 50 donc on prend a = 5
3^3 = 27 et 3^4 = 81 donc b = 3
5^2 = 25...
7^2 = 49...
Pour les autres facteurs, on ne peut pas dépasser 1.

Le nombre cherché est :

2^5 x 3^3 x 5^2x 7^2 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47

et il vaut précisément 3099044504245996706400 (un peu plus de 3E21).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 26-05-2009 04:32:49

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Factorisation PPCM(1.50)

Ce serait:
2x2x2x2x2x3x3x3x5x5x7x7x11x13x17x19x23x29x31x37x41x43x47
Soit le produit obtenu ainsi:
Pour chaque nombre premier entre 1 et 50, on prend la puissance la plus élevée inférieure a 50, donc pour 2 par exemple on prend 32, soit 2^5.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 26-05-2009 13:05:23

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Factorisation PPCM(1..50

On va décomposer en facteurs premiers tout les nombres de 1 à 50.
tous les nombres premiers inférieur à 50 sont:
2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47

maintenant il faut trouver les plus grands multiples de tous les nombres premiers inférieur à 50 et  ensuite on multiplie tous les nombres premiers avec les nombres suivants
on a 32=2^5;27=3^3;25=5^2;49=7^2
donc le plus petit nombre divisible par tous les nombres de 1 à 50 est:

2^5*3^3*5^2*7^2*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47=
309 904 450 424 599 670 400

 #5 - 26-05-2009 13:47:00

ladix
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 3

Fatcorisation PPCM(1..50)

X/1ou2ou3ou4…48ou49ou50 = chiffre entier
Le plus petit chiffre entier divisible par un des nombres compris entre 1 et 50 est :
1*2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47

La plus petite factorisation du chiffre X est forcément le facteur des nombres 1er entre 1 et 50. Puisque les chiffres autres que les nombres 1ers sont obligatoirement divisibles par ces fameux nombre 1er.
________________________________________
Autrement :
Si nous devions prendre tous les nombres entre 1 et 50 en facteur :
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25*26*27
*28*29*30*31*32*33*34*35*36*37*38*39*40*41*42*43*44*45*46*47*48*49*50 = 304140932017134*10^50 et mettre cette formule en nombre 1er , il faudrait :
Il y a déjà tous les nombres premiers :
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
Puis tous les multiples de ces nombres premiers inférieurs à 50 sans répétition dans les multiples :
2=> 4.6.8.10.12.14.16.18.20.22.24.26.28.30.32.34.36.38.40.42.44.46.48.50
2* ; (2) (3) 4 (5) 6 (7) 8 9 10 (11) 12 (13) 14 15 16 (17) 18 (19) 20 21 22 (23) 24 25
On constate 2*x ; x= tous les nombre premier qui suis le chiffre + les multiples dans cette liste
2*2     4  8      16  32  / 2^14                   
2*3     6 12  24 48  / 2^10  3^3                   
2*3*3 18  36          / 2^3   3^4                   
2*3*5 30                 / 2^1   3^1    5^1               
2*3*7 42                 / 2^1   3^1           7^1               
2*5     10  20  40    / 2^6    5^3               
2*5*5  50               / 2^1    5^2               
2*7     14 28           / 2^3                   7^2               
2*11   22  44          / 2^3                           11^2           
2*13   26               /  2^1                                    13^1       
2*17   30               /  2^1                                             17^1       
2*19   38               /  2^1                                                     19^1   
2*23   46               /  2^1                                                              23^1
                            /   2^46  3^9  5^6  7^3  11^2 13^1  17^1 19^1  23^1

3=>  9.15.21.27.33.39.45
   3* ; 3 5 7 (9) 11 13 (15)
On constate 3*y ; y=nombre premier + y compris les multiples déjà dans la liste (9=3*3 ; 15=3*5)
3*3    9   27   /  3^5               
3*5   15  45   /  3^2    5^2           
3*7   21        /   3^1            7^1       
3*11 33        /   3^1                    11^1   
3*13 39        /   3^1                             13^1
                        3^10  5^2  7^1  11^1  13^1

5=>     25.35
    5*5 5*7
5*5  25     /  5^2   
5*7  35     /  5^1   7^1
                /  5^3   7^1

7=>         49
               7*7
7*7 49     / 7^2

Ce qui fait en tout :
1*2^47*3^20*5^12*7^8*11^4*13^3*17^2*19^2*23^2*29*31*37*41*43*47
Nous aurions donc la un entier divisible par tous les nombres de 1 à 50 compris. Mais celui-ci n’est pas le plus petit puisque il possède des exposants. Si nous devions enlever ces exposants il nous resterait que la formule préalablement cité dans le paragraphe 1. Autrement dit la factorisation des nombres 1ers compris entre 1 et 50.

 #6 - 26-05-2009 16:51:58

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

factorisation pocm(1..50)

pour savoir "combien" de chaque nombre premier la décomposition sera faite, il suffit de trouver le "max" qui sera utiliser pour chaque nombre entre 1 et 50.
ce max viendra obligatoirement d'une puissance de ce nombre premier, on a donc :

2: 5 -- 2^5<50<2^6
3: 3 -- 27<50<81
5: 2 -- 25<50<125
7: 2 -- 49<50
puis un seul de 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47..

 #7 - 26-05-2009 18:06:02

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Facotrisation PPCM(1..50)

Je dirais

2*2*2*2*2 * 3*3*3 * 5*5 * 7*7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47
( = 3099044504245996706400 mais bon ça n'a pas d'intérêt )

afin de pouvoir faire chaque entier de 2 à 50 avec les termes compris dans ce nombre. wink

rem : il sera même divisible par 51 et 52 mais plus par 53 qui est premier...

 #8 - 26-05-2009 18:20:28

dododo
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 408
Lieu: Extrême Sud-Ouest

Factorsation PPCM(1..50)

Je crois que je ne comprends pas bien la question hmm
Révisions: pour trouver le PPCM de plusieurs nombres, les décomposer en facteurs premiers et faire le produit des facteurs avec leur exposant maximal.
En l'occurrence, je prends les nombres premiers jusqu'à 50, avec leur exposant maximal, je fais le produit et j'obtiens le PPCM (donc à partir de sa factorisation...)
Ce qui me donne:
2^5*3^3*5^2*7^2*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47
=3099044504245996706400
ça me semble trop simple, je dois être complètement à coté du problème posé !
De toute façon, ça m'a permis de réviser un peu (oui, j'en suis à devoir réviser le PPCM !) et de continuer à agiter mes neurones ! big_smile

 #9 - 26-05-2009 21:41:40

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1431

factorisatoon ppcm(1..50)

Salut !
Bon je dirais:
2^5 * 3^3 * 5^2 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47
Pour trouver ça, on retient les plus grandes puissances des nombres premiers < à 50

Sinon, autre méthode, itérative cette fois, on écrit tous les nombres de 2 à 50.
Puis:
1) on sort le 1er et on l'ajoute à la réponse
2) pour tous les nombres de la liste qu'il divise, on effectue la division en retirant le nombre si le résultat fait 1
3) tant que la liste n'est pas vide, on reprend en 1
ex:
2-3-4-5-6-7-8-9-10
=> (solution: 2) 3-2-5-3-7-4-9-5
=> (solution: 2, 3) 2-5-1-7-4-3-5
=> (solution: 2, 2, 3) 5-7-2-3-5
=> (solution: 2, 2, 3, 5) 7-2-3-1
=> (solution: 2, 2, 3, 5, 7) 2-3
=> (solution: 2, 2, 2, 3, 5, 7) 3
=> (solution: 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7), fini

 #10 - 27-05-2009 15:49:01

Golfc
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 803

factorisation pocm(1..50)

1.- Tous les nombres premiers,
2.- Les carrés parfaits,
3.- Les cubes parfaits,
etc
doivent apparaître.
1.-     2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
2.-     7^2, 5^2
3.-     3^3
et finalement 2^5.

2^5 * 3^3 * 5^2 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 = 3099044504245996706400


Le temps est sage, il révèle tout. (Θαλής)

 #11 - 28-05-2009 23:08:27

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Factorisatino PPCM(1..50)

Bonne réponse de MthS-MlndN, dhrm77, Bamby, zikmu, dododo, scarta et Golfc.
(ladix, je n'ai pas compris le but de ta démonstration)

Pour ceux qui auraient des doutes : PPCM et Décomposition en nombres premiers.

Si non avec Maple ou Mathematica :

Code:

ifactor(lcm(1,2,3,...,50));
 

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