Ce serait:
2x2x2x2x2x3x3x3x5x5x7x7x11x13x17x19x23x29x31x37x41x43x47
Soit le produit obtenu ainsi:
Pour chaque nombre premier entre 1 et 50, on prend la puissance la plus élevée inférieure a 50, donc pour 2 par exemple on prend 32, soit 2^5.

X/1ou2ou3ou4…48ou49ou50 = chiffre entier
Le plus petit chiffre entier divisible par un des nombres compris entre 1 et 50 est :
1*2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47

La plus petite factorisation du chiffre X est forcément le facteur des nombres 1er entre 1 et 50. Puisque les chiffres autres que les nombres 1ers sont obligatoirement divisibles par ces fameux nombre 1er.
________________________________________
Autrement :
Si nous devions prendre tous les nombres entre 1 et 50 en facteur :
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25*26*27
*28*29*30*31*32*33*34*35*36*37*38*39*40*41*42*43*44*45*46*47*48*49*50 = 304140932017134*10^50 et mettre cette formule en nombre 1er , il faudrait :
Il y a déjà tous les nombres premiers :
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
Puis tous les multiples de ces nombres premiers inférieurs à 50 sans répétition dans les multiples :
2=> 4.6.8.10.12.14.16.18.20.22.24.26.28.30.32.34.36.38.40.42.44.46.48.50
2* ; (2) (3) 4 (5) 6 (7) 8 9 10 (11) 12 (13) 14 15 16 (17) 18 (19) 20 21 22 (23) 24 25
On constate 2*x ; x= tous les nombre premier qui suis le chiffre + les multiples dans cette liste
2*2     4  8      16  32  / 2^14                   
2*3     6 12  24 48  / 2^10  3^3                   
2*3*3 18  36          / 2^3   3^4                   
2*3*5 30                 / 2^1   3^1    5^1               
2*3*7 42                 / 2^1   3^1           7^1               
2*5     10  20  40    / 2^6    5^3               
2*5*5  50               / 2^1    5^2               
2*7     14 28           / 2^3                   7^2               
2*11   22  44          / 2^3                           11^2           
2*13   26               /  2^1                                    13^1       
2*17   30               /  2^1                                             17^1       
2*19   38               /  2^1                                                     19^1   
2*23   46               /  2^1                                                              23^1
                            /   2^46  3^9  5^6  7^3  11^2 13^1  17^1 19^1  23^1

3=>  9.15.21.27.33.39.45
   3* ; 3 5 7 (9) 11 13 (15)
On constate 3*y ; y=nombre premier + y compris les multiples déjà dans la liste (9=3*3 ; 15=3*5)
3*3    9   27   /  3^5               
3*5   15  45   /  3^2    5^2           
3*7   21        /   3^1            7^1       
3*11 33        /   3^1                    11^1   
3*13 39        /   3^1                             13^1
                        3^10  5^2  7^1  11^1  13^1

5=>     25.35
    5*5 5*7
5*5  25     /  5^2   
5*7  35     /  5^1   7^1
                /  5^3   7^1

7=>         49
               7*7
7*7 49     / 7^2

Ce qui fait en tout :
1*2^47*3^20*5^12*7^8*11^4*13^3*17^2*19^2*23^2*29*31*37*41*43*47
Nous aurions donc la un entier divisible par tous les nombres de 1 à 50 compris. Mais celui-ci n’est pas le plus petit puisque il possède des exposants. Si nous devions enlever ces exposants il nous resterait que la formule préalablement cité dans le paragraphe 1. Autrement dit la factorisation des nombres 1ers compris entre 1 et 50.

Je dirais

2*2*2*2*2 * 3*3*3 * 5*5 * 7*7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47
( = 3099044504245996706400 mais bon ça n'a pas d'intérêt )

afin de pouvoir faire chaque entier de 2 à 50 avec les termes compris dans ce nombre.

rem : il sera même divisible par 51 et 52 mais plus par 53 qui est premier...

Salut !
Bon je dirais:
2^5 * 3^3 * 5^2 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47
Pour trouver ça, on retient les plus grandes puissances des nombres premiers < à 50

Sinon, autre méthode, itérative cette fois, on écrit tous les nombres de 2 à 50.
Puis:
1) on sort le 1er et on l'ajoute à la réponse
2) pour tous les nombres de la liste qu'il divise, on effectue la division en retirant le nombre si le résultat fait 1
3) tant que la liste n'est pas vide, on reprend en 1
ex:
2-3-4-5-6-7-8-9-10
=> (solution: 2) 3-2-5-3-7-4-9-5
=> (solution: 2, 3) 2-5-1-7-4-3-5
=> (solution: 2, 2, 3) 5-7-2-3-5
=> (solution: 2, 2, 3, 5) 7-2-3-1
=> (solution: 2, 2, 3, 5, 7) 2-3
=> (solution: 2, 2, 2, 3, 5, 7) 3
=> (solution: 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7), fini

Bonne réponse de MthS-MlndN, dhrm77, Bamby, zikmu, dododo, scarta et Golfc.
(ladix, je n'ai pas compris le but de ta démonstration)

Pour ceux qui auraient des doutes : PPCM et Décomposition en nombres premiers.

Si non avec Maple ou Mathematica :

ifactor(lcm(1,2,3,...,50));