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 #1 - 19-06-2018 11:45:30

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

Filet de fot

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-maillefoot.jpg
Une association d'idées entre le théorème du nid d'abeille proposé dans le Burger Quiz (http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=13625) et la Coupe du Monde de Foot m'a donné l'idée de ce petit problème.

Rappel : théorème du nid d'abeille : le pavage du plan le plus économique en longueur de frontière pour des pavés de surface fixée est le pavage à base d’hexagones réguliers.

La question que je me vous pose est la suivante : si on cherche à trouver le maillage le plus économique en longueur de fil pour empêcher un ballon de franchir un filet, quel doit-être le motif de la maille ?
Cas 1 : on suppose les mailles rigides.
Cas 2 : on suppose les mailles souples.
Dans les 2 cas, je vous propose, entre autres, de comparer les 3 motifs réguliers : triangle, carré et hexagone.

Bonne recherche !

Dylasse



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 #2 - 19-06-2018 23:55:10

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 751

Filet de oot

Salut dylasse,

pour déterminer la réponse, je calcule la longueur de fil nécessaire par maille (en supposant qu'il y a un grand nombre de mailles et qu'on peut négliger les effets de bord), que je divise par l'aire de chaque maille, en construisant des mailles qui font la taille limite entre les mailles laissant passer le ballon et celles qui l'arrêtent.

Cas 1 : avec des mailles rigides, je trouve dans les 3 cas que le rapport vaut 1/R, où R est le rayon du ballon. Les trois maillages sont équivalents.

Cas 2 : avec des mailles souples, le rapport vaut 3V3/πR pour le pavage triangulaire, 4/πR pour le pavage carré et 2V3/πR pour le pavage hexagonal. C'est donc le pavage hexagonal le plus économique.

 #3 - 20-06-2018 15:04:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3549

gilet de foot

Le meilleur filet est celui dont le rapport S / L ( portion aire / coté de figure) est le plus fort.
Un coté est commun à 2 figures, il intercepte 2 triangles compris entre lui et le centre des 2 figures. S / L = L.H  / L = H.

Cas maille rigide
H est le rayon du ballon, donc rapport indifférent à la forme de la figure.

Cas maille souple
Soit 1 la circonférence du ballon,  L vaut respectivement 1 / 3, 1 / 4 et 1 / 6 pour le triangle, le carré et l'hexagone.
H vaut alors respectivement (1 / 3) * (1/3), (1 / 4) * (1 / 2) et (1 /6) * V3 / 2, soit 1 / 9, 1 / 8 et 1 / 6,9...

C'est l'hexagone le plus efficace, suivi du carré puis du triangle.

 #4 - 21-06-2018 19:33:25

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2886
Lieu: Luxembourg

filet de fooy

Remarquons que tout polygone régulier ne permet pas forcément le pavage (mais seuls les trois cas cités).
Soient R le rayon du ballon de foot et N le nombre de côtés des polygones réguliers.
Et soient S la surface et P le périmètre de la maille.
En mailles rigides, je trouve: 2S/P = R, résultat indépendant de N: dans ce cas il n’y
a donc pas de maillage optimal.
En mailles souples, je trouve: 2S/P = R.(N/pi).tan(pi/N): dans ce cas l’économie augmente avec N (d'ailleurs quand N tend vers +oo, alors 2S/P tend vers R).

 #5 - 23-06-2018 07:26:30

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

Filet de foott

@ebichu : c'est ça !
@nogdim : c'est ça aussi !
@franky : c'est ça toujours !!!
Le cas de la maille rigide, théorique pour un filet de foot mais réaliste pour un grillage, se retrouve dans le choix du motif carré de ces grillages. A noter, d'ailleurs, que la maille régulière (polygone régulier) n'est pas l'optimum dans le cas d'une maille rigide.

 

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