Enigme Le convoyeur de pierre . @ Prise2Tete

unecoudée · #1

Bonjour ,

Allez , pour commencer 2020 , un petit casse-tête . Je ne sais pas ce qu'il vaut ; mais bon ... l'inspiration ça va ça vient . Voici l'histoire :

Jean et Pierre sont deux frères qui habitent près d'une carrière à pierre . Ils aiment la marche et aussi le convoyeur de la carrière , surtout lorsque celui-ci est en mouvement . Jean marche plus vite que Pierre qui est le plus jeune des deux .
Lorsque le tapis est à l'arrêt , lors d'une montée ou une descente , Jean met 32 mètres dans la vue à Pierre . Comme la pente du tapis métallique est assez faible , les vitesses propres de chacun sont identiques en ascension et en descente .
Ce jour là , le tapis est en mouvement et en " mode montant " ; les deux frères sont au pied de l'engin et entament une série de va-et-vient . Au départ Jean tient un témoin à la main et à chaque dépassement il y a passage du témoin .
Lorsque Jean marche lors d'une ascension , il parcourt 72 mètres* sur le tapis , alors que Pierre , lui , n'en parcourt que 64 . Il n'y a pas de temps mort .
Au bout d'un certain temps les deux frères arrivent ensembles pile au bas du tapis ; et là , ils arrêtent .

Q1) quelle distance a été parcourue par le témoin ?
Q2) H est le point haut du tapis et B le point bas ; Jean effectue son premier dépassement de Pierre en M . Que vaut HM ?
Bon courage .

* mouvement relatif .
n.b. pas de passage de témoin lors des croisements .

TOUFAU · #2

Bonjour Unecoudée.

Je te confirme que l’inspiration est au rendez-vous ! belle créativité, ce convoyeur de pierre (de jean aussi d’ailleurs 😊).

J’appelle d la longueur du tapis, V sa vitesse quand il est actif, Va celle de Jean/sol, Vb celle de Pierre.

Tapis à l’arrêt.
Si jean met un temps t = d/Va, alors Vb.t = d-32. Soit Vb/Va = (d-32)/d (i)

Tapis en mouvement.
Jean parcours 72m sur le tapis pour sa montée, et Pierre 64m.
Si Jean met un temps t à monter, alors Va.t=72, et (Va+V).t=d
Donc V/Va=(d-72)/72 (ii). De même V/Vb=(d-64)/64 (iii)

De (i) et (iii) on a V/Va = (V/Vb).(Vb/Va) = (d-64).(d-32)/64d. En combinant avec (ii), on obtient
d²-(3^2).(2^5).d+(3^2).(2^11)=0. Ce qui donne d=96 ou d=192.
Voilà une bonne chose de faite (sur ce point, les valeurs que tu as choisies sont bien pratiques !)

Le temps d’A/R de Jean est Ta = d/(Va+V)+d/(Va-V) soit d=2dVa/(Va²-V²)
De même Tb=2dVb(Vb²-V²).
On sait qu’ils se retrouvent tous deux en bas au bout d’un certain nombre minimum d’A/R (disons n pour Jean, m pour Pierre).
nTa=mTb donne n/m=[d².(d-32).(144-d)]/[72².(d-32)²-d².(d-72)²]. Qu’on peut exprimer en puissances de 2 et 3 pour la résolution avec d=96 ou 192.
On trouve qu’avec 192, n/m<1, ce qui est incohérent puisque Jean est plus rapide.

Donc d=96, n=16 et m=9 (premiers entre eux, donc première rencontre en bas). A nouveau tes valeurs sont cools 😊
De fait Va=3V et Vb=2V.

Pour le trajet du témoin, avec un xls à deux balles (pour ne pas réfléchir), je trouve 13 A/R. soir 26d
Le témoin parcourt donc 2496 mètres.

Pour la distance HM, le premier passage de témoin a lieu dans la 3ème descente de Jean, commencée 168/V secondes après le début du jeu, et dans la seconde descente de Pierre commencée seconde 160/V.
En descente, Jean va deux fois plus vite que pierre par rapport au sol, et parcourt le tapis en d/(Va-V)= 48/V secondes. On trouve vite que le ‘retard’ de Jean est rattrapé en 8/V secondes, soit d/6.
Donc HM vaut 16 mètres.

Bonne année et bonne soirée

unecoudée · #3

Bonjour , bonne année et surtout bonne santé à vous tous .

@Toufau : mais t'as encore Toubon !! bravo à toi . J'aurais pu poser plus de questions , mais ces deux là occupent déjà son monde .

Ebichu · #4

Salut,

merci à toi de proposer un si joli problème de robinets Il vaut mieux rester concentré, je ne sais pas si je m'en suis tiré...

En notant L la longueur du tapis, vJ et vP les vitesses de Jean et Pierre sur un sol fixe, et v la vitesse du tapis, l'énoncé se traduit par les équations suivantes :
vP = (1-32/L)*vJ
vJ = 72/(L-72)*v
vP = 64/(L-64)*v

On en déduit l'équation L²-288L+18432 = 0 qui donne L = 96 ou 192.

L = 192 est éliminée, car cela correspond à un cas où v>vJ ou vP, et donc nos deux frères ne pourraient revenir au début du tapis.

Finalement, on a L = 96, vP = 2v et vJ = 3v. Ainsi, le temps nécessaire à Jean pour monter est 96/(4v), et 96/(2v) pour descendre. Pour Pierre, c'est 96/(3v) et 96/v. En prenant 8/v comme unité de temps, cela fait respectivement 3, 6, 4 et 12.

Il faut 9 unités à Jean pour faire un aller-retour, et 16 unités à Pierre : ils arrêtent au bout de 144 unités. À partir de là, ça devient fastidieux à expliquer, je trouve.

Les dépassements ont lieu au bout de 22, 42, 62, 84, 104, 124 unités. Et les réponses aux questions sont :
1) 2496 m (13 aller-retour)
2) 16 m

unecoudée · #5

bonjour ;

Et de deux !

@Ebichu : bravo à toi pour tes 2 bonnes réponses .

Ebichu · #6

Je reviens sur la fin de la démo car j'ai trouvé une explication rapide. On en était au point suivant : il faut 9 unités de temps à Jean pour faire un aller-retour, et 16 unités à Pierre : ils arrêtent au bout de 144 unités.

Lors du 1er passage de témoin, le témoin a fait un aller-retour de plus que Pierre et autant que Jean.
Lors du 2e passage de témoin, le témoin a fait un aller-retour de plus que Pierre et un de moins que Jean.
Lors du 3e passage de témoin, le témoin a fait deux allers-retours de plus que Pierre et un de moins que Jean.
Lors du 4e passage de témoin, le témoin a fait deux allers-retours de plus que Pierre et deux de moins que Jean.
Et ainsi de suite : 1/0 1/1 2/1 2/2...

À la fin, comme Pierre aura fait 9 allers-retours et Jean 16, la seule possibilité est 4/3, c'est-à-dire 13 allers-retours pour le témoin.

unecoudée · #7

bonjour ,

tout simplement !

Franky1103 · #8

L = longueur du convoyeur & Vc = vitesse du convoyeur
Vj = vitesse de Jean & Vp = vitesse de Pierre
L / Vj = (L-32) / Vp => Vp = Vj.(1 - 32/L)
L / (Vj+Vc) = (L-8) / (Vp + Vc) => Vp = (Vc / 3).(1 - 32/L)
d’où finalement: Vj = Vc / 3
L = (Vj + Vc).T = (4/3).Vc.T = 72 + Vc.T => Vc.T = 216
d’où finalement: L = 288 et: Vp = (8/9).Vj => Vp = (8/27).Vc

Bon, maintenant il faut répondre aux questions: je reviendrai plus tard.

unecoudée · #9

bonjour,

j'ai remis 48h supplémentaires .

tesla · #10

bonjour,

je tente une réponse, au moins pour justifier les 48h sup !

j'habite sur la montagne au-dessus de la carrière... j'ai demandé à Pierre mon voisin de me ramener une salade.
Le village a une boulangerie, il est à 2880 m du seuil de ma grange. Jean le Frère de Paul et Pierre décide d'aider Pierre à porter le panier rempli de pommes. Ce panier en osier pèse 897 grammes.

En chemin, Pierre & Jean croise Paul qui est au pied du tapis mécanique de la carrière...
Voici donc que les trois frères en profitent pour jouer dessus !
Alors le panier ( témoin ) parcoure 72 mètres par 4 fois soit 288 m, suite au jeu suggéré par Paul surnommé "une Coudée" pour arriver en haut du machin roulant ! Ah j'ai oublié qu'il doit descendre : au final mon panier aura fait 576 mètres de trop !

et pour parfaire le tout, quand le panier est arrivé au point M, toutes les pommes sont tombées... (quel jeu idiot ! )
c'était soixante quatre mètres après le début du tapis, il restait encore 224 mètres à faire pour que les pommes arrivent en haut du tapis.

quand les frères m'ont rendu mon panier 2 heures et demi après, celui-ci pesait 1,2 Kg...
je ne vous demanderai pas le poids des pommes !

unecoudée · #11

Bonjour,

Et merci à tous ceux que ce genre de casse-tête intéresse . Je vous donne donc mon point de vue concernant la résolution de ce problème en essayant d'être le plus clair possible .

Pour commencer , Vj est la vitesse de Jean en mètre/min ( m/min) .
Vp est la vitesse de Pierre . Soit X la longueur du tapis ;
Lorsque Jean démarre en bas de celui-ci , puis parcourt les 72 m , il se retrouve alors à l'autre extrémité . La partie apparente du tapis qu'il n'a pas piétinée est :
a = (X - 72) m ; et c'est aussi le mouvement du tapis durant l'ascension de Jean .

Avec Pierre , cette distance est : b = (X - 64)m . Lors d'une montée avec tapis à l'arrêt , Jean met 32 m dans la vue à Pierre .
Leur rapport de vitesse relative se calcule : Vp / Vj = (X-32) / X . b / a est , quant à lui , le rapport des temps de montée de Pierre et de Jean .
On peut calculer b/a .
[TeX]\cfrac{b}{a}=\cfrac{64}{72.\frac{x-32}{x}}[/TeX]
Alors :
[TeX]b = \cfrac{8ax}{9.(x-32)}[/TeX]
Mais on ne veut qu'une inconnue : X ; comme a = x - 72 & b = x - 64 , on finit par obtenir l'équation :
[TeX] x^2 - 288.x + 18432 = 0 [/TeX]
Les deux racines sont : X = 96 et X = 192 . On doit tout de suite abandonner la seconde racine parce que les deux garçons ne peuvent plus redescendre le convoyeur ; la vitesse relative des deux serait inférieure à la vitesse d'entrainement du tapis .
La longueur du tapis est donc x = 96m .
On peut s'amuser à calculer la vitesse moyenne de chacun sur une montée - descente qu'on appellera un cycle .
On pose V : la vitesse d'entrainement du tapis .

a) Jean parcourt 72 marches , l'escalier a donc avancé de 96 - 72 = 24 marches . La vitesse absolue de Jean est la somme de sa vitesse relative ,72/24 = 3V et de sa vitesse d'entrainement : V . Sa vitesse absolue en montée est Vj = 4V .
Sa vitesse de descente est donc 3V - V = 2V .

b) Pour Pierre on procède de la même façon ; ses vitesses de montée et de descente sont donc : 3V & V .
La vitesse moyenne de Jean sur un cycle montée - descente est alors cette moyenne harmonique :
[TeX]v_j = \cfrac{2}{\frac{1}{4v}+\frac{1}{2v}} = \cfrac{8v}{3}[/TeX]
La vitesse moyenne de Pierre sur un cycle est :
[TeX]v_p = \cfrac{2}{\frac{1}{3v}+\frac{1}{v}} = \cfrac{3v}{2}[/TeX]
Maintenant , lorsqu'ils interrompent leur cavalcade , ils ont parcouru chacun un nombre entier de cycles durant le même temps .

Soit m et n les nombres à chercher . " Pour la première fois ensembles au bas du tapis " implique que ces nombres sont premiers entre eux .

c'est donc la fraction irréductible :
[TeX]\cfrac{m}{n} = \cfrac{\frac{8v}{3}}{\frac{3v}{2}} = \cfrac{16}{9}[/TeX]
Jean a donc parcouru 16 cycles et Pierre : 9 cycles .

Q1) Comme Jean démarre en possession du témoin , et que par la suite il dépasse 16 - 9 = 7 fois Pierre jusqu'à l'arrivée incluse ,
c'est donc encore lui qui passe le témoin à l'arrivée . Le témoin a donc parcouru : 16 - 3 = 13 cycles soit 26 x 96 m = 2496 m .

Q2) . Lorsque Jean dépasse Pierre pour la première fois , c'est au point M et leur temps de parcours est le même .
Alors Tj = Tp .
Si le dépassement a lieu lors d'une montée , alors :
Posons m : le nombre de cycles entiers de Jean avant cette montée , m-1 est donc celui de Pierre . L = 96m

Posons aussi BM = x : la longueur à parcourir avant dépassement .
[TeX] t_j = t_p [/TeX]
Alors :
[TeX]\cfrac{2mL}{\frac{8v}{3}} + \cfrac{x}{4v} = \cfrac{2.(m-1).L}{\frac{3v}{2}} + \cfrac{x}{3v}[/TeX]
Et l'équation finale : [latex] x = 1536 - 672m [/latex]

comme m est un entier , avec m = 2 => x = 192 . pas de solution .
Maintenant , si le dépassement a lieu au retour , alors on pose MH = x .
L'équation devient alors :
[TeX]\cfrac{2mL}{\frac{8v}{3}} + \cfrac{L}{4v} + \cfrac{x}{2v} = \cfrac{2.(m-1).L}{\frac{3v}{2}} + \cfrac{L}{3v} + \cfrac{x}{v}[/TeX]
Et la relation finale avec L = 96 :
[TeX] x = 240 - 112m [/TeX]
Dans ce cas m = 2 & x = MH = 16 m .

Pour connaître les 6 autres lieux de dépassement , il suffit de reprendre l'égalité de temps en remplaçant (m - 1) par (m - 2) , (m - 3) .....
jusqu'à (m - 6) . On sait que le septième dépassement est le point B d'arrivée .
Le second dépassement est solution de : x = 496 - 112m ; avec m = 4 , x = MH = 48 m ( avec m -2 )

le troisième dépassement , avec (m - 3) , est solution de : x = 752 - 112m ; avec m = 6 , x = MH = 80 m .

le quatrième dépassement , avec (m - 4) , est solution de : x = 1008 - 112m ; avec m = 9 , x = MH = 0 ( dépassement en H )

le cinquième dépassement , avec (m - 5) , est solution de : x = 1264 - 112m ; avec m = 11 , x = MH = 32 m

l'avant dernier dépassement avec (m - 6) , est solution de : x = 1520 - 112m ; avec m = 13 , x = MH = 64 m

On se rend compte qu'aucun dépassement n'a lieu durant une ascension . Et tous les points de dépassement divisent le segment BH en 6 segments de longueur 16 m .

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#1 - 11-01-2020 10:27:53

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#2 - 12-01-2020 01:14:09

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