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 #1 - 02-06-2013 14:15:28

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pierre, Feuille, Csieaux, Puits (2)

Passablement déçus par la variante proposée par mon neveu, nous avons décidé de légèrement la modifier pour la rendre plus intéressante. Nous avons convenu que lorsque Pierre gagne (contre Ciseaux), le joueur ne gagne pas seulement 1 point,
mais 3 points. Le premier joueur qui atteint 50 points remporte la partie.

Mon neveu, pas très matheux,  mais très observateur et psychologue,  a remporté les 3 premières parties. Quelque peu vexé,  je lui demande quelques instants pour reprendre mes esprits et mettre au point ma stratégie.  Quelques minutes plus tard, je reviens avec le sourire aux lèvres, ma calculatrice et une stratégie que je lui annonce "imbattable". Et effectivement, je remporte les 5 parties suivantes !

Sauriez-vous comment je m'y suis pris ?



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 #2 - 02-06-2013 20:17:13

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Pierre, Feuille, Ciseaux, Puitss (2)

Voici ma première idée :

Je suppose qu'il faut l'appâter avec les 3 points, et donc jouer régulièrement Ciseaux, et ainsi l'inciter à jouer Pierre.

Du coup, si simplement je joue Ciseaux au hasard mais avec une fréquence moyenne de 1/4, je pense qu'il jouera facilement Pierre, que l'on pourra vaincre facilement en jouant Puits 3 fois sur 4.

Si il souhaite battre le Puits un peu trop fréquent à son goût en jouant feuille, il prend le risque de tomber sur Ciseaux et perdre ainsi les 3 points tant escomptés !

(Cela dit, en jouant feuille à tous les coups, il me bat... à améliorer donc.)

 #3 - 02-06-2013 20:58:48

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pierre, Feuille, Cisseaux, Puits (2)

Oui, golgot, bon début de réflexion ! Effectivement, il va falloir affiner un peu car avec ton mix 1/4 de Ciseaux et 3/4 de Puits, tu ne prends pas vraiment l'avantage sur sa Pierre. Et, comme tu l'as mentionné, son contre avec Feuille sera lui très efficace.

 #4 - 03-06-2013 17:09:33

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

iPerre, Feuille, Ciseaux, Puits (2)

Si je joue des fréquences de x fois ciseaux, y fois feuille, z fois pierre et (1-x-y-z) fois puits, il faut que quelque soient les fréquences de jeu de mon adversaire pour chaque objet, je le batte globalement.
Si il joue a ciseaux, b feuilles, c pierres et (1-a-b-c) puits, ça donnerait :
Je gagne 1 point dans les cas ciseau/feuille, feuille/(puits ou pierre), puits/(ciseaux ou pierre), donc x*b+y*(1-a-b)+(1-x-y-z)*(a+c)
Je gagne 3 points dans le cas pierre/ciseau soit 3*z*a.
Ce qui me fait une fréquence de points de xb+y-ya-yb+a+c-xa-xc-ya-yc-za-zc+3za=x(b-a-c)+y(1-2a-b-c)+z(2a-c)-a-c=a(1-x-2y+2z)+b(x-y)+c(1-x-y-z)+y

L'objectif est que ce nombre soit supérieur ou égale à son réciproque tout le temps, et donc qu'il soit "indépendant" de a, b et c.

Je laisse là ma réflexion, je la reprendrai plus tard...

 #5 - 03-06-2013 19:19:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pierre, Feuille, Ciseaux, Putis (2)

Oui, tu es bien parti pour le début.

Pour la conclusion, je décroche un peu : qu'est-ce que tu appelles le "réciproque de ce nombre" ?

 #6 - 04-06-2013 01:41:14

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pierre, Feuille, Ciseauux, Puits (2)

Les coups se jouant de façon simultanée et les 2 joueurs ayant les mêmes possibilités, il n'y a pas de stratégie gagnante pour 2 cerveaux équivalents.

Il faudrait donc modéliser le cerveau "pas très matheux, mais très observateur et psychologue" du neveu de Titoufred et celui "pas très sérieux, mais très brillant et multilobés" de Titoufred pour pouvoir attribuer des différences et définir pour Titoufred une stratégie non envisageable pour le neveu... J'attends de voir mais je crains que la solution ne fasse pschittt ou que l'on parte pour 12 pages de joutes logiques !

 #7 - 04-06-2013 12:26:18

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

pierre, feuille, ciszaux, puits (2)

Dans ce type de jeu de semi-hasard, une stratégie "imbattable" (on dit plutôt "inexploitable") et telle que l'adversaire n'a pas moyen de prendre l'avantage sur vous, quelle que soit la stratégie qu'il emploie.

Évidemment, étant donné la symétrie du jeu pour les 2 joueurs, si l'adversaire lui-même connaît cette stratégie inexploitable, il peut l'employer et les deux joueurs se retrouvent alors sur un pied d'égalité.

Dans le jeu présenté, si l'adversaire ne connaît pas lui-même cette stratégie inexploitable, il va commettre des erreurs et ma stratégie va me procurer un avantage sur lui.

 #8 - 04-06-2013 17:07:11

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

pierre, feuolle, ciseaux, puits (2)

Salut,

J'ai pas mal de trucs à dire!

Bon généralement sur la méthode:
On exprime le gain du premier joueur en fonction des fréquences de jeu de chaque option des deux joueurs.
On cherche les fréquences de jeu du premier joueur qui maximise le gain min lorsque le second joueur prend les fréquences les mieux adaptée au fréquences du premier joueur.

Bon, après une page assez laide de calcul que je n'ai pas réussi à présenter élégamment je trouve:
P=1/5 F=3/5 C=1/5 U=0
(ou P, F, C et U sont respectivement les fréquences ou on joue pierre feuille ciseau et puits)

Les "erreurs" de l'adversaire:
Dans ce genre de problème il y a souvent un palier de stabilité ou tant que l'adversaire joue dedans il n’aggrave pas son cas.
A pierre papier ciseau normal ce palier vaut toute les stratégies, contre la stratégie optimale il ne peut pas mal jouer.
Au jeu ci dessus il peut mal jouer: s'il joue une proportion de puits non nulle il va perdre légèrement. En revanche s'il joue jamais puits il peut jouer n'importe quelle ensemble de fréquences du reste et ça n'aggrave pas son cas.

Ce n'est pas la stratégie optimale:
(ce chapitre reste valable même si les valeurs que j'ai trouve son fausses:P)
Le but du jeu proposé est d’être le premier joueur qui atteint 50.
Certes en cherchant la façon de jouer une manche qui maximise notre espérance de gain de points on ne sera pas loin de la solution. Mais ce qu'on devrait chercher ce n'est pas cela, c'est la façon de jouer une manche qui maximise notre espérance de probabilité de gagner la partie.
Et ce n'est pas pareil! big_smile
Par exemple si le jeu se trouve en position 49/49 (chaque joueur a 49) alors il ne faut plus jouer ainsi, dans ce cas la avoir 1 ou 3 points est d’égal intérêt et on va retrouver la solution du premier problème ou il ne faut jamais jouer pierre.
Un autre exemple qui montre que dans le cas général ce n'est pas pareil c'est d'imaginer qu'on se trouve dans un jeu ou il existe une stratégie qui à coup sur gagne 1 sur une manche et qu'il existe aussi une stratégie qui gagne en moyenne 2 mais avec un gain étalé entre -3 et 3. On voit clairement que dans un tel jeu on pourrait gagner la partie à coup sur en gagnant le 1 certain à chaque manche plutôt que de choisir la stratégie qui donne une meilleur espérance de gains mais pas de certitude.
Ainsi donc la vraie stratégie optimale du jeu proposé prend la forme d'un tableau qui au 50^2 positions de jeu possibles associe le quadruplet de fréquence à adopter smile Et la faut faire un petit programme par programmation dynamique inverse ou par convergence pour l'exhiber**.  Au feeling on sent bien que pour des positions proches de 0/0 elle prendra la tête de la stratégie ci dessus et qu'un effet de bord va influencer ceci des qu'on sera proche de 49.

PS: J'avais fait ce genre de petit programme pour micro poker II.
Au passage d’ailleurs je file le lien pour micro poker 1 qui est moins stérile que le II et plus amusant à faire!

 #9 - 04-06-2013 17:37:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pirre, Feuille, Ciseaux, Puits (2)

Oui, Clydevil, bravo !
Tu as bien trouvé la stratégie imbattable !

Tu as raison pour l'effet de bord aussi, effectivement il ne faudrait pas chercher à maximiser son gain en points sur un coup, mais chercher à maximiser sa probabilité de gagner. La stratégie inexploitable doit donc être affinée en tenant compte de cela.

Rem : Le terme de stratégie "optimale" est à réserver à une stratégie la meilleure face à une stratégie fixée de l'adversaire. Par exemple, face à un joueur (idiot) qui ne ferait que jouer Ciseaux à tous les coups, la stratégie optimale consiste à jouer Pierre à tous les coups. Cela n'a donc rien à voir avec une stratégie inexploitable.

 #10 - 04-06-2013 22:46:31

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Coutiches

Pierre, Feuillee, Ciseaux, Puits (2)

Bon, j'ai tâché de simplifier :
J'ai fait en sorte de gagner si l'autre joue toujours la même chose, quoi qu'elle soit parmi les 4 options, et j'ai trouvé pour :
a Feuilles
b Puits
c Pierres
d Ciseaux

a+b-d>0
-b-c+d>0
-a+b+3c>0
a-c-d>0

A tâtons j'ai trouvé les fréquences suivantes :

Puits 1 fois sur 24
Pierre 4 fois sur 24
Ciseaux 7 fois sur 24
Feuille 12 fois sur 24

 #11 - 04-06-2013 23:11:00

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

pierre, feuillr, ciseaux, puits (2)

Bien vu golgot, cette façon de voir simplifie bien les choses.
Cependant, ta première inégalité sur les 4 n'est pas bonne.
D'autre part, les inégalités sont au sens large.

 #12 - 04-06-2013 23:41:24

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

pierre, fzuille, ciseaux, puits (2)

Exact !

Manque de vérifications de ma part. Et du coup, je comprends mieux pourquoi tu précises que mes inégalités sont strictes !

Ça donne :

a+b-3d≥0
-b-c+d≥0
-a+b+3c≥0
a-c-d≥0

Ce qui cette fois-ci impose en bidouillant de : ne jamais jouer Puits, de jouer Pierre autant que ciseaux et Feuille 3 fois plus que ces 2 derniers, donc en proportion :

Feuille : 3/5
Puits : 0/5
Pierre : 1/5
Ciseaux : 1/5

 #13 - 04-06-2013 23:46:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pierre, Feuille, Ciseaux, Putis (2)

Oui, bravo golgot !

Heu, j'ai dit larges les inégalités... smile

 #14 - 05-06-2013 13:39:29

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Coutiches

Pierrre, Feuille, Ciseaux, Puits (2)

lol

Effectivement, un copier coller un peu rapide ! (J'ai édité et corrigé ce "détail")

La solution qui ne fait jouer aucun puits est surprenante, étant donné que Puits gagne 2 fois sur 3, comme feuille.
En plus, pierre gagne 3 points face à ciseaux mais est joué autant que ces derniers.

Encore une solution contre-intuitive !

 #15 - 05-06-2013 15:05:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pierre, Feuuille, Ciseaux, Puits (2)

Oui, il y a pas mal de trucs contre-intuitifs dans ce problème.

Une généralisation intéressante est de considérer que PIERRE contre CISEAUX rapporte non pas 3 points, mais x points. Et voir comment évolue la stratégie inexploitable en fonction de x. C'est un peu étonnant.

 

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