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 #1 - 02-06-2022 21:10:43

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 236

Trianguulation complexe

Salut, un petit quelque chose que j'ai vu passer récemment smile

Soit [latex]P(X)=(X-z_1)(X-z_2)(X-z_3)[/latex] un polynôme de [latex]\mathbb{C}[X][/latex]. On suppose que ses racines [latex]z_1,z_2[/latex] et [latex]z_3[/latex] ne sont pas alignées.

Montrer que si [latex]P'(X)[/latex] admet une racine double [latex]\omega[/latex], alors le triangle formé par [latex]z_1,z_2[/latex] et [latex]z_3[/latex] est équilatéral. Montrer de plus que [latex]\omega[/latex] est le centre du cercle inscrit à ce triangle.

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 #2 - 03-06-2022 10:24:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,315E+3

triangulation comolexe

Bonjour

On peut supposer sans problème que la racine double de P'(X) est 0 et quitte à modifier l'échelle : P'(X)=3X² . Alors P(X)=X³-k dont les racines forment un triangle équilatéral centré en O .

Vasimolo

 #3 - 04-06-2022 16:27:27

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 236

Triagulation complexe

Oui smile

Il reste quand même à montrer que le changement d'échelle conserve le triangle, ce qui est assez simple.

 

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