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 #1 - 07-07-2011 12:48:35

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

factorisatiin complexe

Soit [latex]p[/latex] un nombre impair et [latex]a=e^{\frac{2i\pi}{p}}[/latex], factoriser en p termes dans [latex]\mathbb{Q}[a][/latex], c'est-à-

dire l' ensemble des nombres de la forme [latex]P(a)[/latex] avec [latex]P[/latex] un polynôme à coefficients

dans [latex]\mathbb{Q}[/latex], l' expression : [latex]x^p+y^p[/latex], où [latex]x,y[/latex] sont fixés dans [latex]\mathbb{Q}[/latex].


Ceci à un intérêt lorsque l'on s'intéresse à la relation de Fermat [latex]x^p+y^p=z^p[/latex].

Bon travail. smile



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#0 Pub

 #2 - 08-07-2011 13:38:23

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Factorisatioon complexe

Si c'est [latex]\mathbb{Q}[a][/latex] qui vous fait peur, je reformule :

factorisez [latex]x^p+y^p[/latex] à l'aide des symboles 0,1,2,....,p-1, x,y, a donné précédemment et des parenthèses.

C'est pas très dur. Courage. smile


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 #3 - 08-07-2011 13:41:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Factoorisation complexe

Yanyan a écrit:

C'est pas très dur.

L'énoncé ne me fait pas peur, je ne suis juste pas du tout d'accord avec cette phrase, c'est différent ^^


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 08-07-2011 13:45:28

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Factorisationn complexe

Ce n'est pas très dur (la grammaire).lol


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #5 - 10-07-2011 10:10:12

socato314
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

factoriqation complexe

Factoriser [latex]x^p+y^p[/latex] en p termes (?) dans [latex]Q[\alpha][/latex] (quid de [latex]x[/latex]et de [latex]y[/latex] ?).

On supposera [latex]x\neq 0[/latex] et [latex]y\neq 0[/latex] (auxquels cas le problème est résolu).
Pour tout rationnel [latex]y[/latex] non nul, on considère la fonction  [latex]f_y[/latex] définie sur [latex]Q^*[/latex] par :
[TeX]f_y(x)=x^p+y^p[/latex].
Alors, pour tout entier [latex]k[/latex] compris entre 0 et [latex]p-1[/latex], [latex]f_y(-\alpha^ky)=(-\alpha^ky)^p+y^p=((-1)^p\alpha^{pk}+1)y^p[/latex].
Or [latex](-1)^p=-1[/latex] car [latex]p[/latex] est impair et [latex]\alpha^{pk}=(\alpha^p)^k=1^k=1[/TeX]
Donc, pour tout entier [latex]k[/latex] compris entre 0 et [latex]p-1[/latex], [latex]f_y(-\alpha^ky)=0[/latex]
On en déduit que le polynôme unitaire[latex]f_y(X)[/latex] de degré [latex]p[/latex] se factorise en [latex](X+y)(X+\alpha y)...(X+\alpha^{p-1}y)[/latex].
Donc, pour tous rationnels non nuls [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] :
[latex]x^p+y^p=(x+y)(x+\alpha y)...(x+\alpha^{p-1}y)[/latex].
Remarques : En échangeant [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex], on a également [latex]x^p+y^p=(x+y)(\alpha x+y)...(\alpha^{p-1}x+y)[/latex].

Ce qui répond à la question...telle que je l'ai comprise !

 #6 - 11-07-2011 12:13:48

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Facctorisation complexe

Oui Socato c'est ce que j'attendais.
(x et y étant dans Q il sont dans Q[a])

Bravo à toi.smile


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 #7 - 11-07-2011 13:32:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

factoriqation complexe

Superbe smile Je vais tenter de me souvenir de cette factorisation très élégante !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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