Yanyan a écrit:

C'est pas très dur.

L'énoncé ne me fait pas peur, je ne suis juste pas du tout d'accord avec cette phrase, c'est différent ^^

Factoriser $x^p+y^p$ en p termes (?) dans $Q[\alpha]$ (quid de $x$et de $y$ ?).

On supposera $x\neq 0$ et $y\neq 0$ (auxquels cas le problème est résolu).
Pour tout rationnel $y$ non nul, on considère la fonction  $f_y$ définie sur $Q^*$ par :
$$f_y(x)=x^p+y^p[/latex]. Alors, pour tout entier [latex]k[/latex] compris entre 0 et [latex]p-1[/latex], [latex]f_y(-\alpha^ky)=(-\alpha^ky)^p+y^p=((-1)^p\alpha^{pk}+1)y^p[/latex]. Or [latex](-1)^p=-1[/latex] car [latex]p[/latex] est impair et [latex]\alpha^{pk}=(\alpha^p)^k=1^k=1$$
Donc, pour tout entier $k$ compris entre 0 et $p-1$, $f_y(-\alpha^ky)=0$
On en déduit que le polynôme unitaire$f_y(X)$ de degré $p$ se factorise en $(X+y)(X+\alpha y)...(X+\alpha^{p-1}y)$.
Donc, pour tous rationnels non nuls $x$ et $y$ :
$x^p+y^p=(x+y)(x+\alpha y)...(x+\alpha^{p-1}y)$.
Remarques : En échangeant $x$ et $y$, on a également $x^p+y^p=(x+y)(\alpha x+y)...(\alpha^{p-1}x+y)$.

Ce qui répond à la question...telle que je l'ai comprise !

Superbe Je vais tenter de me souvenir de cette factorisation très élégante !