SaintPierre est de retour ! je t'aime SaintPierre !

J'appelle H le pied de la hauteur issue de A.

Avec Thalès dans ABC et (DG) parallèle à (BC) :
[TeX]\frac{DG}{14}=\frac{AD}{13}=\frac{AG}{15}[/TeX]
Avec Thalès dans ABH et (DE) parallèle à (AH) :
[TeX]\frac{DE}{AH}=\frac{13-AD}{13}=\frac{15-AG}{15}[/TeX]
avec [latex]DE = DG[/latex].

En combinant les 2 relations sur DG et AD, j'élimine AD et je trouve :
[TeX]DG = \frac1{\frac1{AH}+\frac1{14}}
DG=\frac{14AH}{14+AH}[/TeX]
Je peux exprimer AH en fonction de l'aire [latex]S[/latex] du triangle :
[TeX]S = \frac{BC.AH}2=7AH[/TeX]
donc
[TeX]DG = \frac{2S}{14+\frac{S}7}[/TeX]
L'aire du triangle peut être calculée à l'aide de la formule de Héron :
[TeX]S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}[/latex], où [latex]p=\frac{AB+AC+BC}2[/TeX]
Je trouve [latex]S=84[/latex]

et donc [latex]\fbox{DG = \frac{84}{13}}[/latex]

6.4615384615

A a pour coordonnées 5, 12 (origine=B)
Homothétie de centre A du carré (0, 0), (0, -14), (14, 0), (14, -14)
rapport 6/13 ; côté=14*6/13=84/13

Saint Pierre sur ce coup là tu as été diabolique, il m'a fallut énormément de temps pour trouver la hauteur AH, qui selon moi était indispensable pour trouver x.
Je remarque que finalement je n'ai utilisé que Thalès et Pythagore, excepté cette fameuse formule pour la hauteur que je ne connaissais pas...



Merci beaucoup!

Bravo ! Que des bonnes réponses !
J'apprécie particulièrement la démonstration manuscrite de Mitsu.

Voici la mienne:
On utilise le théorème de Pythagore, notant H la projection de A sur BC, de sorte la hauteur est AH:

AH² = 13² - BH² = 15² - HC² = 15² - (14 - BH)²

donc BH = 5 et AH = 12

Puis, on considère une suite infinie de triangles, chacun avec un carré inscrit. Le triangle ABC avec son carré DEFG de côté x sont réduits par un facteur k, résultant en le triangle ADG et son carré de côté kx, qui sont à leur tour réduits par un facteur de k, et ainsi de suite. Cette suite de carrés recouvre entièrement la hauteur du triangle; on a donc

12 = x + kx + k²x + ...
    = x(1 + k + k² + ...)
    = x/(1 - k)

Par suite, on note que la réduction originale applique le côté BC du triangle, de longueur 14, sur le côté DG du carré, de longueur x. Ainsi, 14k = x et k = x/14, d'où:



ce qui donne x = 84/13