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 #1 - 20-03-2011 22:39:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Auto-éniigme

Que vaut le côté du carré ?

http://nsa26.casimages.com/img/2011/03/20/110320103708506742.gif

À dans une semaine.



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 20-03-2011 22:58:13

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

auto-ébigme

SaintPierre est de retour ! je t'aime SaintPierre !

 #3 - 21-03-2011 00:09:09

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Auto-énime

La formule du Heron nous donne une aire de 84
ce qui donne une hauteur de 12

L'aire de ABC peut etre subdivisée en l'aire des triangles BED, FCG et ADG et le carré inscrit de cote c.

84=c²+c(BE+FC+(h-c))/2 or BE+FC=14-c ce qui donne c=84/13


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 21-03-2011 01:23:26

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

auto-énigmr

J'appelle H le pied de la hauteur issue de A.

Avec Thalès dans ABC et (DG) parallèle à (BC) :
[TeX]\frac{DG}{14}=\frac{AD}{13}=\frac{AG}{15}[/TeX]
Avec Thalès dans ABH et (DE) parallèle à (AH) :
[TeX]\frac{DE}{AH}=\frac{13-AD}{13}=\frac{15-AG}{15}[/TeX]
avec [latex]DE = DG[/latex].

En combinant les 2 relations sur DG et AD, j'élimine AD et je trouve :
[TeX]DG = \frac1{\frac1{AH}+\frac1{14}}
DG=\frac{14AH}{14+AH}[/TeX]
Je peux exprimer AH en fonction de l'aire [latex]S[/latex] du triangle :
[TeX]S = \frac{BC.AH}2=7AH[/TeX]
donc
[TeX]DG = \frac{2S}{14+\frac{S}7}[/TeX]
L'aire du triangle peut être calculée à l'aide de la formule de Héron :
[TeX]S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}[/latex], où [latex]p=\frac{AB+AC+BC}2[/TeX]
Je trouve [latex]S=84[/latex]

et donc [latex]\fbox{DG = \frac{84}{13}}[/latex]

 #5 - 21-03-2011 02:02:48

dhrm77
L'exilé
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auto-énugme

Je trouve 84/13 = 6.461538462


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 21-03-2011 07:50:19

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Auto-énigem

6.4615384615

A a pour coordonnées 5, 12 (origine=B)
Homothétie de centre A du carré (0, 0), (0, -14), (14, 0), (14, -14)
rapport 6/13 ; côté=14*6/13=84/13

 #7 - 22-03-2011 16:54:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

auto-énigmr

La formule de Heron donne une aire [latex]A=84[/latex] donc la hauteur issue de [latex]A[/latex] : [latex]h=12[/latex] .

Sur le dessin ci-dessous les triangles [latex]SCD[/latex] et [latex]SAB[/latex] sont homothétiques et la hauteur issue de [latex]S[/latex] de [latex]SAB[/latex] vaut [latex]H=26[/latex] donc :
[TeX]x=\frac{14\times 12}{26}=\frac{84}{13}\approx 6,46[/TeX]
http://img844.imageshack.us/img844/8708/triangleetcarr.jpg

Vasimolo

 #8 - 23-03-2011 00:34:16

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Auto-éigme

Saint Pierre sur ce coup là tu as été diabolique, il m'a fallut énormément de temps pour trouver la hauteur AH, qui selon moi était indispensable pour trouver x.
Je remarque que finalement je n'ai utilisé que Thalès et Pythagore, excepté cette fameuse formule pour la hauteur que je ne connaissais pas...

http://www.prise2tete.fr/upload/mitsuidewi-100_1697.JPG

Merci beaucoup!

 #9 - 24-03-2011 10:25:31

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1998
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auto-énogme

6.46 smile
Quant à en faire une démonstration mathématique ... sad

 #10 - 25-03-2011 14:40:13

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

autp-énigme

Bravo ! Que des bonnes réponses !
J'apprécie particulièrement la démonstration manuscrite de Mitsu.

Voici la mienne:
On utilise le théorème de Pythagore, notant H la projection de A sur BC, de sorte la hauteur est AH:

AH² = 13² - BH² = 15² - HC² = 15² - (14 - BH)²

donc BH = 5 et AH = 12

Puis, on considère une suite infinie de triangles, chacun avec un carré inscrit. Le triangle ABC avec son carré DEFG de côté x sont réduits par un facteur k, résultant en le triangle ADG et son carré de côté kx, qui sont à leur tour réduits par un facteur de k, et ainsi de suite. Cette suite de carrés recouvre entièrement la hauteur du triangle; on a donc

12 = x + kx + k²x + ...
    = x(1 + k + k² + ...)
    = x/(1 - k)

Par suite, on note que la réduction originale applique le côté BC du triangle, de longueur 14, sur le côté DG du carré, de longueur x. Ainsi, 14k = x et k = x/14, d'où:

http://nsa26.casimages.com/img/2011/03/25/110325024309443715.jpg

ce qui donne x = 84/13


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 26-03-2011 00:08:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Auot-énigme

Si on donne la solution avec un avis on peut aussi laisser ( au passage ) un libre accès à l'ensemble du sujet smile

Vasimolo

PS : Merci smile

 

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