Joli, mais tu as une solution ? une solution élégante ? ou c'est une question ouverte ?

Hello,
Pour la suite des carrés, on a: S(n) = (2n-3)^2+5 pour n>2
(pour n=1 et n=2, la formule ne marche pas)
Pour la suite des cercles, ça se complique un peu.

Edit: Rien qu'en calculant la surface du "patatoîde" formé par deux cercles consécutifs, c'est une usine à gaz, alors pour plus de deux cercles, je ne pense pas qu'une solution "simple" existe.

Bonjour,

Poir ma part, je ne vois pas comment passer de Un à Un+1 simplement, comme l'énnoncé le suggére. La différence entre deux termes de la suite, c'est la forme hachurée sur le schéma, sorte de croissant brisé.



En revanche, on peut découper la surface comme sur le schéma. On a alors un ensemble de formes dont on sait calculer les surfaces.

- 4 portions(?) de disques (R²θ/2 avec θ moche mais calculable...)
- 4 triangles dont 3 triangles isocèles dont on connait les 3 côtés (formule de héron)
- une forme centrale composée d'un rectangle coiffé d'un triangle rectangle. (N+1)²


Je me suis demandé si on pouvait assembler joliment les tiangles pour imaginer une formule simple. Mais mon esprit limité ne voit rien d'évident

On sait calculer la surface d'intersection de deux disque (lentille asymétrique).
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ … ntille.htm
Dès lors il suffit de calculer les 2 surfaces en bleu et vert (somme de la surface des deux disques moins celle de la lentille, le tout divisé par 2)
Idem pour pour les surfaces en vert et jaune.

La surface blanche vaut trivialement (n-3)(n-2)+(n-2)*2/2, soit (n-2)^2

Si on fait la somme de tout ça, il reste à retirer les surfaces vertes comptées deux fois
Les deux de droites sont juste des quarts de disques.
Pour les deux de gauches il faut déterminer l'angle a :
BD = rac( (n-2)^2 +4 ) =rac ( n^2 - 4n + 8 )
BD cos (a) = 2
d'où a = acos ( 2 / rac (n^2 -4n +8 )

Tout ça sous réserve d'erreur. La formule finale est surement un peu lourde, mais avec un tableur, ça se fait  assez facilement.
Quelqu'un d'un peu patient doit pouvoir en sortir une formule imbuvable.

Edit : ça ne marche pas pour les plus petits cas car le plus grand cercle doit être assez "englobant".

En contact avec un de mes élèves, je lui ai évoqué cette question ouverte.
(Enseignant Chercheur en Informatiques à Grenoble)

Il m'a répondu notamment cela :

Je viens donc de voir le problème et sa solution (sourire)^2.

Plus généralement on peut calculer l’aire (et le périmètre) de l’union quelconque de disques :

https://pub.ista.ac.at/~edels/Papers/19 … agrams.pdf

https://citeseerx.ist.psu.edu/document? … 6d015f2187

Ma maîtrise de l'anglais étant faible
j'attends la traduction de mon fils

Mais certains saurons peut-être ...