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 #1 - 21-02-2014 23:00:59

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour lles nuls 20 (Probabilité et nombre entier)

Quelle est la probabilité que deux nombres entiers tirés au hasard soient premiers entre eux? (On rappel que deux nombres sont premiers entre eux si leur pgcd vaut 1)


La case réponse valide la troncature de cette probabilité à 8 chiffres après le point décimal !

Shadock big_smile


Spoiler : A regardez seulement si vous avez un problème pour calculer un produit particulier infini !!! [latex]\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^k}{p^k-1}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^k}[/latex]



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 21-02-2014 23:19:38

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Mathématiques pour les nls 20 (Probabilité et nombre entier)

Comment fait-on pour tirer un nombre entier au hasard ?

 #3 - 21-02-2014 23:30:15

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 20 (Probabilité te nombre entier)

Je ne sais même pas comment répondre à ta question, je ne vois pas ce qui ne va pas...
Imagine qu'une urne contient contient une infinité de boules sur lesquelles est inscrit un nombre entier différent de tous les autres. Tu demandes à un pakistanais et à un finnois de tiré chacun leur tour une boule, quelle est la probabilité qu'ils avaient de choisir deux boules dont les nombres sont premiers entre-eux ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 21-02-2014 23:30:44

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Mathématiques pour les nuls 20 (Probabilité e nombre entier)

Avant même de m'attaquer au caractère premier des nombres, j'ai déjà un soucis avec l'énigme : je ne connais pas de loi équiprobable pour tirer un nombre entier au hasard.

Aurais-tu un indice pour m'éclairer sur ce point ?

 #5 - 21-02-2014 23:34:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuuls 20 (Probabilité et nombre entier)

J'ai un niveau de probabilité collège smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 22-02-2014 07:42:27

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Mahtématiques pour les nuls 20 (Probabilité et nombre entier)

C'est la probabilité qu'aucun nombre premier ne soit simultanément diviseur des deux nombres tirés.

La probabilité qu'un un nombre premier p soit diviseur commun est 1/p²
La probabilité que p ne soit pas diviseur commun est [latex]1-\frac 1 {p²}=\frac {p²-1}{p²}[/latex]

Pour tous les facteurs, c'est le produit infini de cette expression pour tous les premiers, qui vaut [latex]\frac 1 {\sum_{n=1}^{+\infty} {\frac 1 {n²}}}=\frac 6 {\pi²}=0.60792710185402662866327677925837...[/latex]

 #7 - 22-02-2014 12:46:06

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Mathématiques pour les nuls 20 (Probabilité et nombre entierr)

6/pi² = 0.60792710

Edit :

Explication :

La probabilité qu'un nombre entier soit divisible par un nombre premier p est 1/p. La probabilité que deux nombres entiers soient divisibles par un nombre premier p est alors 1/p² et donc, la probabilité qu'au moins l'un des deux ne le soit pas est 1-1/p². La probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est donc donnée par le produit de tous les 1-1/p² (pour tout nombre premier p). Ce produit est égal à l'inverse du produit de tous les 1/(1-p^(-2)) qui est lui-même égal à l'inverse de l'image de 2 (car il y a deux nombres) de la fonction zêta de Riemann qui associe à tout x la somme de tous les 1/(n^x).  Or ζ(2) = pi²/6 donc la probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est de 6/pi².

Histoire :

En 1644, Pietro Mengoli énonce un problème très renommé dans la théorie des nombres :
Quelle est la valeur exacte de la somme de tous les 1/n² pour tout entier naturel n, c'est-à-dire que vaut exactement 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² ...
En 1735, alors que ce problème posait problème aux plus éminents mathématiciens de l'époque, le mathématicien suisse originaire de Bâle, Leonhard Euler, alors âgé seulement de 28 ans trouve la solution : pi²/6. Mais il n'y apporte pas une démonstration rigoureuse (comme moi d'ailleurs). Dès lors, le problème dit "Problème de Mengoli" devient le "Problème de Bâle".
En 1859, le mathématicien allemand Bernhard de Riemann reprend les idées d'Euler et définit la fonction zêta de Riemann qui pour tout x associe la somme de tous les 1/(n^x) pour tout entier naturel n.

Voilà.

P.S : Les prénoms d'Euler et Riemann s'écrivent Leonhard et Bernhard et non Léonard et Bernard comme on pourrait le croire. Ils sont hard, quoi ! lol

 #8 - 22-02-2014 13:30:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Mathématiques pour les nuls 220 (Probabilité et nombre entier)

Le problème est classique mais il faut faire attention et dire de quoi on parle quand on met une "equiprobabilté" sur un ensemble infini smile

Vasimolo

 #9 - 22-02-2014 13:36:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Mathématiques pour les nul 20 (Probabilité et nombre entier)

6/pi², mais ça ne doit pas être très abordable cette démo...

 #10 - 22-02-2014 13:43:08

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Matématiques pour les nuls 20 (Probabilité et nombre entier)

@nogdim, si ça se fait tranquillement wink
@Vasimolo je n'ai pas compris hmm

Bravo à @halloduda et à @Saban !


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 22-02-2014 17:44:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

mathématiqued pour les nuls 20 (probabilité et nombre entier)

Je veux dire que tirer deux entiers au hasard ne veut pas dire grand chose et même rien du tout . Tu peux par contre chercher la limite de la probabilité que deux entiers choisis dans {1;2;...;n} soient premiers entre eux quand n tend vers l'infini .

Il y a quelques petites subtilités auxquelles il faut faire très attention quand on joue avec l'infini smile

Vasimolo

 #12 - 22-02-2014 18:23:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Mathématiqus pour les nuls 20 (Probabilité et nombre entier)

Si tu appelles ça "mathématiques pour les nuls" , tu te trompes... big_smile Je ne comprends même pas la solution quand je l'ai sous les yeux et pourtant je suis nul en maths lol

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … s_nombres)

 #13 - 23-02-2014 00:30:29

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 20 (Probablité et nombre entier)

D'accord @Vasimolo j'y penserai la prochaine fois mais par rapport au probas c'est très peu probable ^^
Et @Gwen même si tu ne suis pas le calcul en lui même tu es largement (de ce que j'ai vu de toi sur le forum) capable de comprendre le raisonnement de départ après le "gros calcul" du produit personne ne va le démontrer, c'est déjà fait smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 23-02-2014 10:43:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

mathématiques pour les nuls 20 (probabilité et nombre entizr)

l'algo qui calcule cette proba est facile: Pour que 2 nombres soient premiers entre eux il suffit qu'aucun des 2 à la fois ne soit divisible par 2,3,5, 7....
La proba pour que les 2 nombres soient pairs est de (1/2)*(1/2)=1/2² et donc le contraire est 1-1/2²=3/4.
Dans ce 3/4, on vérifie qu'ils ne sont pas tous les 2 divisibles par 3. La proba qu'ils ne sont pas tous les deux divisibles par 3 est de 1-1/3².

La proba générale pour que 2 nombres soient premiers entre eux est donc:
Produit, pour tout p premier, de (1-1/p²).

 #15 - 23-02-2014 13:35:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 20 (Probabbilité et nombre entier)

Oui c'est ça @nogdim wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 23-02-2014 17:51:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Mathématiques pour les nuls 20 (Probabilité et nombre enntier)

Ben oui, mais pour prouver que ça fait 6/pi², tu fais comment ?

 #17 - 23-02-2014 19:34:58

Franky1103
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Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Mathématiqeus pour les nuls 20 (Probabilité et nombre entier)

La probabilité qu'un entier soit divisible par un premier p est de: 1/p.
La probabilité que deux entiers soient divisibles par un premier p est de: 1/p².
La probabilité qu'un des deux ne le soit pas est de: 1-1/p².
La probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est donc de:
X = Produit [1-1/p²] = Produit [(p²-1)/p²] = 1 / Produit [p²/(p²-1)],
ce qui donne, d’après ton indice: X = 1 / Somme [1/n²],
ce qui est un résultat connu, obtenu grâce à la formule de Parseval appliquée à une fonction bien choisie, soit: X = 1 / [pi² / 6] = 6 / pi²
X = 6 / pi² = 0.60792710 env.

Je suis d'ailleurs très étonné par la formule donnée par ton indice, car elle relie un produit comprenant tous les premiers avec une somme indépendante de premiers.

 #18 - 24-02-2014 01:35:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Maathématiques pour les nuls 20 (Probabilité et nombre entier)

Et oui Franky mais c'est bien ça, moi c'est plutot la probabilité que je trouve contre nature ^^

Montrons que :
[TeX]\forall k \in \mathbb{R} \text{, } \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^k}=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^k}{p^k-1}[/TeX]
Soit [latex]k>1[/latex] pour tout [latex]p \in \mathbb{P}[/latex] on a le développement en série absolument convergente :
[TeX]\left(\frac{p^k}{p^k-1}\right) = \sum_{a=0}^{+\infty} \frac{1}{p^{ak}}[/TeX]
D'où en considérant que [latex]\mathcal{H}(P)[/latex] est l'ensemble des entiers strictements plus grand que 0 dont les diviseurs premiers valent au plus N :
[TeX]\prod_{p \in \mathbb{P} \text{, } p \le N} \left(\frac{p^k}{p^k-1}\right)=\sum_{n \in \mathcal{H}(P)} \frac{1}{n^k}[/TeX]
Comme [latex]\{1,\text{ ..., N}\} \subset \mathcal{H}(P)[/latex]

Alors     
[TeX]\left|\zeta(k)-\prod_{p \in \mathbb{P} \text{, } p \le N} \left(\frac{p^k}{p^k-1}\right)\right| \le \sum_{n \ge N} \frac{1}{n^k}[/TeX]
D'où le résultat en faisant tendre [latex]N[/latex] vers [latex]+\infty[/latex]

Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 25-02-2014 00:04:18

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 20 (Probabilité ett nombre entier)

Impossible d'utiliser les balises LaTeX pour le moment je posterai la solution entièrement détaillée quand ça marchera ! smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 25-02-2014 16:34:43

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

mathématiquzs pour les nuls 20 (probabilité et nombre entier)

Au moins je ne me sens pas nul, puisque je ne comprends pas la solution pour les Nuls lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #21 - 25-02-2014 19:35:15

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

mathématiques pour les nulq 20 (probabilité et nombre entier)

Code:

[latex]\frac{1}{p^2}[/latex]

donne : [latex]\frac{1}{p^2}[/latex]

@emmaenne pourtant la solution est simple yikes Je tiens à préciser que mon post #18 réponds juste à l'interrogation de Franky ^^


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 05-03-2014 00:04:51

yanbena
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 62

mathématiques pour kes nuls 20 (probabilité et nombre entier)

Je pense que la réponse tend vers 0,00000000 puisque si l'on considère TOUS les nombres entiers positifs, il arrive un moment ou les nombre premiers se font extrêmement rares.

Spoiler : [Afficher le message] Oups : pas vu le "premiers entre eux"

 

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