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 #1 - 19-05-2013 00:14:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

le dusque est d'aire maximale

Bientôt 2000 messages, je n'ai rien préparer de particulier, si ce n'est un problème particulier :

Un ami de ma classe nous a dis un jour :

Ami a écrit:

Pour un périmètre donné, le disque est la figure géométrique plane qui a l'aire la plus grande. Je ne sais pas si c'est vrai.

Je pense que vous savez ce qu'il vous reste à faire... wink

J'ai trouvé une démonstration pour tous les polygones sauf les polygones concaves. Il me reste à trouver pour les figures dont les côtés sont des arcs et non des droites. Il me reste donc 255h pour vous trouver la démonstration complète de cette chose là. ^^

Je vous mets ma démonstration complète pour tous les polygones ce week-end smile

Avis aux amateurs, et bonne chance big_smile

Shadock



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 19-05-2013 07:14:23

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Le disque est d'are maximale

Bravo pour les 2000 messages.
Je suis meilleur en Google qu'en Math hmm

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_ … t_Steiner


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 19-05-2013 20:01:04

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

le disque edt d'aire maximale

Allez un indice pour vous aider à commencer smile

Si vous tracer un polygone régulier, dans un cercle par exemple c'est plus simple, tracer les segments reliant les sommets au centre du polygone, vous ne remarquez rien?...des triangles big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 19-05-2013 20:28:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le disque es d'aire maximale

Essayons de le montrer sans aucun calcul.
Soit un segment horizontal AA'. Depuis M, milieu de AA', déplaçons verticalement un point P. PA et PA' s'allongent avec la montée de P, et l'allongement est proportionnel à la hauteur: l'élongation est lente quand P est près de M, c'est une petite proportion de PM, mais plus haut, l'élongation est presque aussi rapide que PM. Soient 2 poiints M1>M2 sur cette verticale, on a alors 2 triangles AM1A' et AM2A'. Si on prend Mm, milieu de M1M2, on a un 3ème triangle AMmA' dont le double de la surface est la somme des surfaces AM1A' et AM2A'. Mais compte tenu de ce qui a été dit précédemment, l'inégalité des longueurs 2*AMm=2*A'Mm<AM1+AM2=A'M1+A'M2 est assez évidente, car l'élongation entre AM2 et AMm est plus importante qu'entre AMm et AM1.
A partir de 2 triangles isocèles à base égale, mais de hauteur différente, on arrive donc à construire 2 triangles identiques de même surface que leur somme, mais avec des cotés plus courts au total.

C'est presque fini.
On assimile un contour convexe d'une ligne fermée à un polygone dont les segments sont aussi courts que l'on veut et tous égaux. On trace toutes les petites diagonales c'est à dire celles qui relient 1 sommet sur 2. On a alors formé avec chaque diagonale et le sommet intercalé des triangles isocèles. On peut alors, entre le triangle de plus grande surface et celui de plus petite surface, construire, comme décrit ci dessus, 2 triangles identiques, mais avec des longeurs de segments plus faibles.
De proche en proche, on est à amené à construire un cercle, ou polygone régulier dont les cotés aussi petits que l'on veut.

 #5 - 19-05-2013 23:31:26

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Le disque ets d'aire maximale

C'est un bon début @nodgim en revanche je ne suis pas sûr de comprendre la deuxième partie smile
Ayant compris mon indice, que penser des concaves?



NB : Pour les surfaces, dont les côtés sont des arcs, passez-vous en dans un premier temps, là je suis en plein dans les intégrales curvilignes et c'est pas rigolo.

En revanche je suis sûr que beaucoup d'entre vous, comme Vasimolo pour ne citer que lui, pourrait apporter des preuves élégantes pour des parties intermédiaires de la démonstration générale
smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 20-05-2013 08:50:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

le disque est d'aire maximake

Dans la seconde partie, je ne fais que donner une méthode pour obtenir un cercle à partir d'un convexe. Il est vrai que dans l'échange entre les petits et les grands triangles, il y aura sûrement les parties voisines des triangles échangés qui deviendront concaves, mais c'est sans importance: si une diagonale est extérieure à la courbe, c'est à dire si un sommet intermédiaire est à l'intérieur de la diagonale, il suffit de rabattre cette partie à l'extérieur. Et le faire autant de fois que nécessaire.
Mais j'aurais aussi très bien pu ne pas décrire la méthode. Le fait que des triangles isocèles de base identique et de hauteurs différentes ont un total de longueur de cotés (triangle sans base) supérieur aux triangles de même hauteur et même surface suffit à la preuve.

 #7 - 20-05-2013 12:03:08

gwen27
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L disque est d'aire maximale

Un polygone concave, on peut toujours le "convexifier" en symétrisant des parties de courbes par rapport à ses tangeantes, non ?  Cela augmente l'aire à périmètre équivalent.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-polygones.jpg

 #8 - 20-05-2013 16:49:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Le disque est d'aire maxiamle

Oui c'est ça @Gwen smile

Ajout du premier indice dans le post smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 22-05-2013 19:39:33

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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le disque est d'aore maximale

Deuxième indice ajouté.

C'est énigme est vraiment si dure que ça? yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 29-05-2013 18:14:40

DeepSpidou2.5
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 49

le disque rst d'aire maximale

Une autre façon de montrer que si une telle aire maximale existe, c'est nécessairement un disque...

http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.php?numExo=110

 #11 - 29-05-2013 18:55:34

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

me disque est d'aire maximale

Pas très sexy cette solution smile

Une démonstration hyper-simple qui date de quelques années : http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200215.pdf

Elle ne s'applique qu'à des polygones mais avec un peu d'analyse on peut l'étendre facilement à des boucles suffisamment régulières .

Vasimolo

 #12 - 29-05-2013 20:09:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

le disque rst d'aire maximale

Je vous posterai ma solution qui est 12 fois plus longue... ^^
Quand j'aurai un peu de temps pour moi hmm

PS : Je ne savais pas que ce problème était connu...


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 29-05-2013 20:10:57

Franky1103
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Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Le disque est d'aire mmaximale

gwen27 a écrit:

Un polygone concave, on peut toujours le "convexifier" en symétrisant des parties de courbes par rapport à ses tangeantes, non ?  Cela augmente l'aire à périmètre équivalent.

Une solution simple et radicale du type "haha" de chez Martin Gardner: bravo.

 #14 - 29-05-2013 20:13:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

le disque est d'aiee maximale

Franchement, dire que les convexes ont plus de surface à périmétre constant, c'est plutôt une Lapalissade.
Je ne suis pas trop mécontent de ce que j'ai écrit plus haut. J'aurais pu donner plus de précision avec un polygone extérieur et un polygone intérieur, pour justifier le passage du polygone à la courbe. Mais bon, je trouve que l'essentiel a été fait.
J'ai vu une solution ancienne de ce fameux problème d'isopérimétrie, mais je l'ai trouvée pas très élégante.

 #15 - 29-05-2013 20:19:33

gwen27
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Messages : 5,466E+3

Le disque est d'aire maximalee

Franky1103 a écrit:

Une solution simple et radicale du type "haha" de chez Martin Gardner: bravo.

J'ai quand même un peu cherché sur le net pour savoir si tu te moquais  hmm lol

 #16 - 25-06-2013 20:00:09

shadock
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Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Le disque set d'aire maximale

La démonstration se décompose en trois "petites" démos, le premier concerne les polygones réguliers, la deuxième concerne les polygones non réguliers convexes et la troisième concerne les polygones concave.

Rappels :

Un convexe est de cette forme    Un concave est de cette forme
http://img15.hostingpics.net/pics/213939convexe.png              http://img15.hostingpics.net/pics/329889concave.png


Démonstration 1 :

Le problème s'intéressant à l'aire par rapport au périmètre, cherchons comment exprimer l'aire d'un polygone régulier en fonction de son périmètre et plus exactement en fonction de la longueur d'un de ses côtés.

On considère donc la figure suivante :
http://img15.hostingpics.net/pics/424473Dmoimg1.png

On a que OAB est la moitié d'un triangle isocèle. Il est rectangle en A donc, [latex]OA=R*cos\left(\frac{\pi}{n}\right)[/latex] et [latex]AB=R*sin\left(\frac{\pi}{n}\right)[/latex]

Soit [latex]c[/latex] la longueur d'un côté alors [latex]c=2R*sin\left(\frac{\pi}{n}\right)[/latex] donc [latex]R=\frac{c}{2*sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}[/latex]

Le polygone a [latex]n[/latex] côtés donc son aire [latex]A_n[/latex] est :
[TeX]A_n=R^2*n*sin\left(\frac{\pi}{n}\right)*cos\left(\frac{\pi}{n}\right)=R^2\frac{n}{2}sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)[/TeX]
D'où en remplaçant [latex]R[/latex] par sa valeur en fonction de [latex]c[/latex] on a :
[TeX]A_n=\frac{n*c^2}{4*tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}[/TeX]
Maintenant c'est là que la démonstration commence véritablement, considérons un cercle de périmètre [latex]p=1[/latex] pour simplifier les calculs, mais il est bien évident que [latex]\lambda \in \mathbb{R_+}[/latex] tout ceci est vrai !

Dans ce cas l'aire du cercle est [latex]A_{cercle}=\frac{1}{4\pi}[/latex]

Soit un polygone régulier de périmètre 1, alors [latex]c=\frac{1}{n}[/latex] donc son aire (je ne détaille pas les calculs d'une ligne...) est [latex]A_{n, p=1}=\frac{1}{4*n*tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}[/latex]

La fonction est strictement croissante et [latex]lim_{n \to \infty} A_n=\frac{1}{4\pi}=A_{cercle}[/latex]

D'où le résultat, ce qui achève la première démonstration.

Je vous passerai la suite une prochaine fois parce que j'ai mal aux yeux là. Je n'ai pas vérifier qu'il n'y ai absolument aucune coquille.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 25-06-2013 20:16:30

SabanSuresh
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Le disque est d'aire mmaximale

La dernière ligne [latex]pi > 3 * sqrt(3)[/latex] : j'ai pas compris car [latex]pi = 3,141592...[/latex] et [latex]3*sqrt(3) = 5,196152... [/latex]

 #18 - 25-06-2013 20:29:42

shadock
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le disque est d'aire mawimale

Corrigé wink


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 #19 - 25-06-2013 21:06:05

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1945
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le disque est d'aire maximame

Ah c'est bon.

 #20 - 25-06-2013 22:07:10

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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Le disque est d'aire maxximale

Pourquoi étudies-tu les variations de [latex]f(n)[/latex] ?

C'est plutôt les variations de [latex]A_{n,p=1}[/latex] qui nous intéressent non ?

Pourquoi calculer [latex]A_{cercle} - A_3[/latex] ?

 #21 - 25-06-2013 23:08:54

gwen27
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Le disqeu est d'aire maximale

Titoufred, attends la suite... Il a peut-être une bonne raison qui t'échappe ?

Tu critiques avant même de lire le tout... C'est vrai que tu peux être assez désagréable hmm  Oublie un peu ton point de vue ou arrête de répondre à des questions par des questions et propose une solution, tu n'as même pas posté dans cette énigme avant de te poser là !!! 

Tu ne penses sûrement pas à mal , mais ça en donne parfois l'effet.

 #22 - 25-06-2013 23:18:31

Franky1103
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Le disque est d'aire maxiimale

Je me fais une bête réflexion: une ellipse pleine (je ne sais pas comment on appelle cette figure, de ce que le disque est au cercle), pourtant tout à fait convexe, n'est pas la figure optimale recherchée (qui est très probablement le disque).

 #23 - 25-06-2013 23:49:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Le disque est d'air maximale

Non, mais gwen, si on ne comprend pas, il faut se taire ? Poser une question parce qu'on n'a pas compris, c'est être désagréable ? Tu t'intéresses à ce qu'il écrit toi ?
Tu l'as lue sa démonstration ?

 #24 - 25-06-2013 23:56:42

shadock
Elite de Prise2Tete
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le disque zst d'aire maximale

Titou, sais-tu as quoi sert une dérivée?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #25 - 26-06-2013 00:01:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
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le disque esy d'aire maximale

titoufred a écrit:

Non, mais gwen, si on ne comprend pas, il faut se taire ? Poser une question parce qu'on n'a pas compris, c'est être désagréable ? Tu t'intéresses à ce qu'il écrit toi ?
Tu l'as lue sa démonstration ?

Bah oui, mais je n'y comprends rein lollollol

Seulement je comprends qu'elle doit être complétée.
Tu peux être très sympa, je le sais par MP , mais parfois tu devrais juste réfléchir à "comment il va comprendre mon post ? " et mettre des propos plus circonstanciés...

Un petit "je ne comprends pas", par exemple,  change tout le ton du message pour le lecteur même si ce n'est pas une ambiguïté pour toi.

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