Enigme Mélange d'eau et de vin @ Prise2Tete

EfCeBa · #1

On dispose de deux pichets de même volume, le premier contient du vin et le second contient de l'eau.

On prend un verre d'eau que l'on met dans le vin, puis du mélange obtenu (supposé homogène) on prend un verre que l'on met dans l'eau.

Y a-t-il plus d'eau dans le vin ou de vin dans l'eau ?

pierdebzak · #2

Il y a autant d'eau dans le vin que de vin dans l'eau.

Les deux pichets étant de contenance identique, à la fin de l'opération, ils sont toujours de contenance identique. Cela veut dire qu'on a déplacé autant d'eau que de vin d'un pichet à l'autre.

Bert3 · #3

Soit x = la quantité d'eau ou de vin dans le pichet au départ
Soit y = la contenance d'un verre

Etape 1)
Premier pichet : x H20
Deuxième pichet : x vin

Etape 2)
Premier pichet : (x-y) H20
Deuxième pichet : x vin + y H20

Etape 3)
Premier pichet : (x-y) + (y^2)/(x+y) H20 et xy/(x+y) vin
==> xy/(x+y) vin dans l'eau
Deuxième pichet : x-xy/(x+y) vin et y-(y^2)/(x+y) H20
==> xy/(x+y) eau dans le vin

On a donc la même quantité d'eau dans le vin que de vin dans l'eau! De là, me vient une autre question... Je comprends l'intérêt de mettre de l'eau dans son vin... Il paraît que c'est parfois une bonne chose! Mais mettre du vin dans de l'eau... Quelle idée??

tiziano8 · #4

Il y a plus de vin dans l'eau car la première étape est juste une dilution non ?

scarta · #5

Je dirais ex-aequo.
Demo simple: tout le vin sorti de la bouteille de vin a été remplacé par un volume d'eau sorti de la bouteille d'eau (vu que le volume final est inchangé). Donc du coup autant d'eau dans le vin que de vin dans l'eau.

Demo compliquée:
On a un volume V de vin, auquel on ajoute un volume v d'eau, on a donc un volume V+v dans la bouteille de vin, avec les quantités d'eau et de vin respectivement $\frac{v}{v+V}$ et $\frac{V}{v+V}$ , et les concentrations d'eau et de vin respectivement $\frac{v}{(v+V)^2}$ et $\frac{v}{(v+V)^2}$
On retire un volume v de cette bouteille: les concentrations sont inchangées, la quantité d'eau dans la bouteille de vin est donc volume * concentration = $V*\frac{v}{(v+V)^2}$ , et la quantité de vin prelevé dans le verre est $v*\frac{V}{(v+V)^2}$ , c'est cette quantité qu'on introduit dans la bouteille d'eau. Au final, ces deux quantités étant égales, on a autant d'eau dans le vin que de vin dans l'eau

sensini · #6

Imaginons que l'on ait 1L d'eau et 1L de vin. Supposons que notre verre fasse 1L. Après avoir versé notre verre d'eau dans le vin, on se retrouve avec 0L d'eau et 2L de mélange vin+eau, à raison d'une moitié d'eau pour 1 moitié de vin. On prend 1verre(=1L) de ce mélange, et voilà 1litre de mélange + 1L de mélange.
Bon, un peu plus sérieusement, supposons que notre verre fasse 0,5L. Après le premier versement, on a 0,5L d'eau et 1,5L de mélange, deux tiers vin, un tiers eau. Notre verre de mélange aura alors 0.5/3=0.1667 L d'eau et 0.3333L de vin. Ajouté à notre eau cela donne 0.66667eau + 0.3333vin ; soustrait à notre mélange de vin cela donne 1-0.333=0.66667vin et 0.5-0.1667=0.3333L d'eau. Soit autant d'eau dans le vin que de vin dans l'eau =)
Enfin, si notre verre fait 0L, le résultat est immédiat :p

Soit $V$ le volume d'eau et de vin. Soit $v$ le volume d'un verre $(v<V)$ . Il y a $V-v$ qté d'eau dans le premier pichet, et $V+v$ mélange vin + eau dans le second ( $\frac{V}{V+v}$ de vin, $\frac{v}{V+v}$ d'eau).
On prend une qté $v$ de ce mélange, soit $v\times\frac{V}{V+v}$ de vin, et $v\frac{v}{V+v}$ d'eau. Lorsque l'on ajoute ce verre à $V-v$ d'eau , on obtient $v\frac{V}{V+v}$ de vin, et $V-v+v\frac{v}{V+v}$ d'eau. Soit $\frac{v\frac{V}{V+v}}{V-v+v\frac{v}{V+v}}$ rapport vin/eau; ou encore, en simplifiant par $V+v$ , un rapport de $\frac{vV}{V^2-v^2+v^2}=\frac{v}{V}$ .
De même, lorsque l'on on retire ce verre au mélange, on obtient : $v-v\frac{v}{V+v}$ volume d'eau et $V-v\frac{V}{V+v}$ volume de vin. Soit un rapport eau/vin de $\frac{v-v\frac{v}{V+v}}{V-v\frac{V}{V+v}}$ . Ou, en simplifiant par $V+v$ : $\frac{v(V+v)-v^2}{V(V+v)-vV}=\frac{uv}{V^2}=\frac{u}{V}$ . et donc le même rapport.

À noter que le pichet fait 1L, mais il n'est peut-être pas plein... Et qu' s'il est plein, le pichet déborde lorsque l'on verse le verre... Argggh

szwip · #7

Spoiler : [Afficher le message] Il y a plus d'eau dans le vin

golipe · #8

A condition que la contenance du verre soit inférieure à celle du pichet, sinon ça déborde. (hic !). Si, si ça existe !!! Hic ! Hic ! Par exemple un « verre » de bière bavaroise avec un pichet d’un quart de rosé de provence. Et ce n’est qu’un exemple (Hic ! Bloug !hic !)

Je peux afffirmer serrrreinemmmment pour avoir TOUT tessssté, qu’il y a (Beurgh, Hic ! Huuic !) autant de viiinnn dans l’eaauuu que d’eaaauuuu dansl’viiiinnnnng.
Argheuuh ! Hic ! Blaourfffff !

Excusez-moi !
Je vais reprendre mes esprits (de sel).

Morale de l'histoire: ça sert à rien de mettre de l'eau dans son vin.

Golipe

papiauche · #9

Réponse : Pareil

P le pichet, V le verre
e l'eau v le vin

Au départ:

Côté eau: P*e
Côté vin: P*v

On prend un verre qu'on remplit côté eau qu'on ajoute côté vin sans déborder pour faire un mélange homogène donc P>=V.

On a:

Côté eau: (P-V)*e
Côté vin: P*v +V *e = (P+V)*(P/(P+V)*v + V/(P+V) *e)

On prend un verre de mélange soit V*(P/(P+V)*v+V/(P+V)*e) qu'on remet dans le pichet de départ.
On calcule et on dit:

Côté eau: P/(P+V) (P*e+V*v)
Coté vin: P/(P+V) (P*v+V*e)

Comme vu plus haut, on a P>=V

Donc autant d'eau dans le vin que de vin dans l'eau, mais plus d'eau (que de vin) dans l'eau et plus de vin (que d'eau) dans le vin.

Santé

Guavagelie · #10

il y a plus d'eau dans le vin que de vin dans l'eau

dhrm77 · #11

Spoiler : [Afficher le message]

sauny · #12

Comme c'est une énigme mathématique et non chimique, je pense que l'on doit considérer que les volumes sont des grandeurs additionnelles (chimiquement faux). Dans ce cas, la conservation du volume oblige à avoir les mêmes quantités dans les 2 cas.

Sinon aussi d'un point de vue composition chimique, au départ il y a déjà beaucoup d'eau dans le vin (~85%). Et si l'on tient compte de cette eau dans la phrase énoncant la fameuse égalité il faut que les volumes prélevés soit au moins de 85% du volume du pichet ...

EfCeBa · #13

Bonnes réponses de pierdebzak, Bert3, scarta, sensini, golipe, papiauche, dhrm77 et sauny.

Je ne remets pas en cause les savants calculs de scarta ou de sensini mais effectivement la démonstration la plus simple est de partir de la conservation du volume :
si les volumes de départ et ceux d'arrivée sont les mêmes alors il y a autant d'eau dans le vin que de vin dans l'eau peu importe les étapes de transvasement.

Remarque : dans l'énoncé la mention "supposé homogène" est donc inutile.

sensini · #14

Moui.... Mais bon, pourquoi faire simple si on peut faire compliqué hein !?

Guavagelie · #15

Bon c'est décidé, j'arrête les maths

szwip · #16

Rha, quel idiot je fais ! J'avais mal posé mes équations
Sinon j'aime beaucoup l'explication de dhrm77

zak · #17

EfCeBa a écrit:
On dispose de deux pichets de même volume, le premier contient du vin et le second contient de l'eau.

On prend un verre d'eau que l'on met dans le vin, puis du mélange obtenu (supposé homogène) on prend un verre que l'on met dans l'eau.

Y a-t-il plus d'eau dans le vin ou de vin dans l'eau ?

salut!!!
si la solution est homogène,on est dans la configuration de la loi de la conservation de la matière qui dit que si la soluté est uniformement reparti donc Vo.Co = V1.C1 ce qui implique que si on preleve un volume Vo et de concentration Co et que l on dilue dans un volume V1 on a : Co.Vo C1.V1
C1 = _____ Co = _____
V1 Vo

on peu donc en deduire qu il ya autant d eau que de vin que de vin dans l eau!!!

MthS-MlndN · #18

Relire l'énoncé pourrait être une bonne idée, sur ce coup-là

kosmogol · #19

je crains que tu ne dises cela en vain !

MthS-MlndN · #20

Ouais, sans doute, mais j'avais quand même envie, au cas où

kosmogol · #21

Question subsidiaire : quel est le ratio de paroles dites en vain sur le nombre d'essais qui tombent à l'eau ?

dhrm77 · #22

Difficile a dire, mais je pense que tu detiens le record, quel qu'il soit.

De mon coté, avec Mathias j'ai besoin d'apprendre à mettre de l'eau dans mon vin, sinon ca risque de chauffer, et le vin chaud c'est pas bon.

MthS-MlndN · #23

Ca dépend. Si Kosmogol apporte la cannelle, on se fera un grog

JSG_92 · #24

Les quantités sont identiques,
au final il n’y a pas plus de vin dans l'eau que d'eau dans le vin !

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