Enigmes

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 #1 - 03-01-2010 20:58:35

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Mettre de l'eau ddans son vin

Une énigme citée dans "Le Théorème du Perroquet" de Denis Guedj, et que je n'aurais pour ma part pas su résoudre sans Wolfram Alpha hmm

Un tonneau est rempli de vin pur. On en retire chaque jour deux seaux que l'on remplace par deux seaux d'eau. Au bout de six jours, il y a moitié vin et moitié eau. Quelle est la contenance du tonneau ?

Cette énigme est une de celles que Niccolo Fontana Tartaglia, mathématicien du XVI° siècle, posa à Antonio Del Fiore. Il semblerait qu'il avait su en trouver la solution ; del Fiore sécha autant sur celle-ci que sur les 29 autres.

Del Fiore avait lui aussi posé 30 problèmes à Tartaglia, qui impliquaient tous la résolution d'équations du troisième degré. Tartaglia les résolut toutes en quelques jours (ou quelques heures selon les versions de l'histoire).



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 #2 - 03-01-2010 21:07:08

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3057
Lieu: Au sud du Nord

Mettre de l'eau dans on vin

Quelle horreur, gaspiller de l'eau lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 03-01-2010 21:39:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Mettre de ll'eau dans son vin

lol Idiot !


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 #4 - 03-01-2010 22:40:04

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Mettre d el'eau dans son vin

il suffit de poser ((x-2)/x)^6 = 1/2
et de resoudre....
ce qui nous donne:
(x-2)/x=racine 6eme de 1/2 soit 0.890898718
donc:
x-2=0.890898718x
2 seaux = 0.109101282x
d'ou x = 18.331590274 seaux
en supposant bien sur qu'apres chaque jour l'eau et le vin se melangent parfaitement.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 03-01-2010 23:00:35

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

mettre de l'eau dans son bin

Trouvé sur le ouaibe, je n'ai pas trop regardé ce que cela disait

Si l'on raisonne sur le vin : au départ, le tonneau contient n (avec n le nombre de seaux) le premier jour nous enlevons deux seaux donc il reste n-2. Le deuxième jour, nous enlevons deux seaux contenant chacun (n-2)/n il reste donc n-2-2((n-2)/n) soit (n²-4n+4)/n identité remarquable !... nous avons donc maintenant (n-2)²/n.

    Le troisième jour, nous enlevons deux seaux contenant chacun (n-2)²/n² il reste donc ((n-2)²/n)-2((n-2)²/n²) soit (n(n-2)²-2(n-2)²)/n² c'est à dire : ((n-2)(n-2)²/n² que l'on peut écrire : (n-2)3/n².

    De la même manière, nous aurons au quatrième jour : (n-2)4/n3, le cinquième jour : (n-2)5/n4 et enfin le sixième jour (n-2)6/n5.

    Nous savons que le sixième jour, il y a la moitié de vin soit n/2 donc nous pouvons écrire n/2=(n-2)6/n5 et n environ 18,33


http://enigmusique.blogspot.com/

 #6 - 03-01-2010 23:18:48

eglantine52
Expert de Prise2Tete
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Messages : 641

Mettre de l'eau dans son viin

18 seaux + 1/3


Chaque coup de colère est un coup de vieux, chaque sourire est un coup de jeune!

 #7 - 04-01-2010 13:12:36

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 175

mettee de l'eau dans son vin

soit v la quantité de vin dans le tonneau (exprimée en seaux)

1er jour on retire 2 seaux : il reste v-2 seaux de vin

2eme jour : chaque seau retiré va contenir : (v-2)/v vin, il reste donc :
(v-2) - 2(v-2)/v soit (v²-2v-2v+4)/v soit (v-2)²/v

3eme jour : chaque seau retiré va contenir : (v-2)²/v², il reste donc :
(v-2)²/v - 2(v-2)²/v² soit v(v-2)²-2(v-2)²/v² soit (v-2)^3/v²

ainsi de suite : 4eme jour : (v-2)^4/v^3
6eme jour : (v-2)^6/v^5
donc au 6eme jour : v/2 = (v-2)^6/v^5

résolu dans excel : v = 18.33159


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #8 - 04-01-2010 13:31:46

djeuns
Habitué de Prise2Tete
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Mettre d el'eau dans son vin

bonjour
sans réfléchir je dirais que le bidon contient 48 sceaux
mais je pense plutot que comme le vin se melange a l eau il est presque impossible d avoir moitié vin moitié eau
a moins de le calculer en pourcetage de vin dans l eau

 #9 - 04-01-2010 17:21:17

falcon
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 106

Mettre de l'eeau dans son vin

20 sceau


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #10 - 04-01-2010 18:50:50

foldingo83
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1921
Lieu: Somewhere in time...

mettre de l'eau dand son vin

J'aurais dit qu'un sceau contient en moyenne 10 litres donc ça ferais 240 l pour le tonneau complet, a condition bien sur que je ne sois pas passer dans le secteur avec mon cubis !
Et si j'en crois le nombres de réponse qu'il y a avant moi je pense qu'on peu enlever au moins 50 litres ! lol

 #11 - 04-01-2010 23:28:11

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

mrttre de l'eau dans son vin

après chaque journée, le tonneau contient t-2s du mélange du jour précédent et 2s d'eau (t et s étant les volumes du tonneau et du seau).

La concentration en vin c(n) à la fin de la journée n est donc : c(n) = c(n-1) * (t - 2s)/t.
C'est une suite géométrique de premier terme c(0) = 1 et de raison (t-2s)/t, donc c(n) = ((t-2s)/t)^n.

On veut c(6) = 1/2 donc t = 2s/(1 - racine sixième (1/2))

Donc le tonneau a la contenance d'environ 18,33 seaux.

 #12 - 05-01-2010 11:30:20

juju
Visiteur

Mettre de leau dans son vin

24 seaux, on en a mis 12 en 6 jours et c'est la moitié du tonneau

 #13 - 05-01-2010 13:28:05

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Metrte de l'eau dans son vin

Je trouve que le tonneau fait 18.3315902976 seaux.

Soit X la capacité du tonneau en seaux,
Vi le volume de vin contenu dans le tonneau le jour i après transvazation.
Ni le titrage du vin après i transvazation.

V0 = X ; N0 = 100 %

Vi = V(i-1) - 2*N(i-1) ; Ni = Vi / X

V6 = X/2 ; N6 = 50 %

On obtient un système de 14 équations à 14 inconnues.

EDIT : j'ai envie de dire que ça dépend de la qualité du vin. Si le vin est sucré, le fait de le diluer et donc de diminuer le taux alcoolique, peut relancer le processus de fermentation et refaire du vin. Donc, c'est le mega bordel pour les calcul.
Et puis bon courage pour différencier du vin à du vin avec un peu d'eau sachant qu'il y a de l'eau dans la vin et que le pourcentage doit varier d'un vin à l'autre.
Bref, je fais le difficile. Au moins j'ai un excuse si j'ai pas bon big_smile

 #14 - 05-01-2010 15:30:52

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

Mettre de l'ea dans son vin

Au départ, le tonneau contient n seaux.

Le premier jour, on enlève deux seaux donc il reste (n-2).

Le deuxième jour, on enlève deux seaux contenant chacun (n-2)/n de vin, il reste donc n-2-2((n-2)/n) soit (n²-4n+4)/n donc il reste (n-2)²/n.
Le troisième jour, on enlève deux seaux contenant chacun (n-2)²/n² il reste donc ((n-2)²/n)-2((n-2)²/n²) soit (n(n-2)²-2(n-2)²)/n² c'est à dire : ((n-2)(n-2)²/n² que l'on peut écrire : (n-2)^3/n².

Ensuite:
au quatrième jour : (n-2)^4/n^3,
au cinquième jour : (n-2)^5/n^4
et enfin au sixième jour (n-2)^6/n5.

Au sixième jour, il y a la moitié de vin soit n/2 donc :
n/2 = (n-2)^6/n^5.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … -n%2F2%3D0

Il y a deux solutions réelles positives : 1,0577 et 18,3316.

Le tonneau contient au moins douze seaux donc 18,3316.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 05-01-2010 17:25:21

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

mettre de l'ezu dans son vin

Si l'on raisonne sur le vin : au départ, le tonneau contient n (avec n le nombre de seaux) le premier jour nous enlevons deux seaux donc il reste n-2. Le deuxième jour, nous enlevons deux seaux contenant chacun (n-2)/n il reste donc n-2-2((n-2)/n) soit (n²-4n+4)/n identité remarquable !... nous avons donc maintenant (n-2)²/n.

    Le troisième jour, nous enlevons deux seaux contenant chacun (n-2)²/n² il reste donc ((n-2)²/n)-2((n-2)²/n²) soit (n(n-2)²-2(n-2)²)/n² c'est à dire : ((n-2)(n-2)²/n² que l'on peut écrire : (n-2)3/n².

    De la même manière, nous aurons au quatrième jour : (n-2)4/n3, le cinquième jour : (n-2)5/n4 et enfin le sixième jour (n-2)6/n5.

    Nous savons que le sixième jour, il y a la moitié de vin soit n/2 donc nous pouvons écrire n/2=(n-2)6/n5 et n environ 18,33

 #16 - 05-01-2010 23:14:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Mettre de l'eau dans sonn vin

Je me suis certainement trompé quelque part car j'ai trouvé la solution trop facilement smile

En notant [latex]x[/latex] la capacité du tonneau et [latex]y[/latex] celle de deux seaux , la quantité de vin dans le tonneau le nième jour serait [latex]\frac{(x-y)^n}{x^{n-1}}[/latex] . D'après la condition sur le sixième jour : [latex]\frac yx=1-\sqrt[-6]{2}[/latex] .

Mais bon , tout ça semble bien simple , nos anciens étaient tout sauf bêtes sad

Vasimolo

Edit : ce qui donne un tonneau d'environ 9,165795149 seaux

Edit2 : fois 2 ( j'avais oublié ce qu'était y mad )

 #17 - 05-01-2010 23:45:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

mettre de l'eay dans son vin

@Vasimolo : donne une valeur numérique pour la contenance (en seaux) du tonneau et je saurai si tu as bon smile


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 #18 - 06-01-2010 09:56:29

minos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 13

Mettre de l'eau dans son in

je trouve l'équation (x-2)(1-2/x)^5-x/2=0
que je ne sais pas résoudre .
mais grâce au résolveur de  sinequanon j'obtiens une capacité de 18,332 seaux

 #19 - 06-01-2010 11:51:44

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 931

Mttre de l'eau dans son vin

Sans trop réfléchir, je dirais 18,33159 seaux roll
A condition de verser les deux seaux d'eau après les deux prélèvements.
_____________

Explication demandée ci-après : le premier jour, la quantité de vin passe de T (un tonneau) à (T-2s) où s est la contenance d'un seau. J'y vois la multiplication par (T-2s)/T=1-2s/T.
La suite, jour après jour, a une bonne tête de suite géométrique et j'ai admis - sans réfléchir à une preuve éventuelle - que c'est bien le cas. Alors (1-2s/T)^6=0,5.
J'en tire : 1-2s/T=0,5^(1/6)
puis 2s/T=1-0,5^(1/6)
et T=2s/[1-0,5^(1/6)].
Si mon intuition est bonne : T=18,33159...*s.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #20 - 06-01-2010 12:55:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

mettre de m'eau dans son vin

@scrablor : une réponse à six chiffres significatifs "sans trop réfléchir" ? lol


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 #21 - 06-01-2010 16:09:37

E271828
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 62

mettre de l'eau dans sob vin

Ce problème ressemble plus ou moins à un calcul d'intérêts composés.
Soit T le volume du tonneau et S le volume d'un seau tous deux exprimés dans le même système d'unités.
Après un premier prélèvement, la concentration 'résiduelle' en vin dans le tonneau est:
(T - 2S)/T  ; appelons cette fraction 'C' (de concentration).
Après de deuxième prélèvement, la nouvelle concentration en vin vaut la précédente diminuée de la même proportion:
C.C = C^2
et ainsi de suite jusqu'au sixième prélèvement où la teneur en vin sera tombée à
C^6 = 1/2  comme dit dans l'énoncé.   
Ceci revient à écrire:
((T - 2S)/T)^6 = 1/2   en extrayant la racine 6ème des deux membres il vient:
(T - 2S)/T  = 1/(2^1/6) d'où ou finit par tirer que:
T = (2.(2^1/6))S/(1 - (2^1/6))
T = 18,33159... S       
Ce qui me semble une réponse 'possible', du moins par son ordre de grandeur.
Meilleurs voeux à tous.

 #22 - 06-01-2010 17:28:08

karemaca
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 1

mzttre de l'eau dans son vin

environ 18,33 sceaux si mes calculs sont bons

 #23 - 06-01-2010 19:25:27

Gilbot
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 1

mettre de l'ezu dans son vin

contenance de 24 sceau du liquide vin/eau

soit 12 sceau de vin et 12 sceau d'eau si on pouvait les prendre separement

 #24 - 07-01-2010 13:03:44

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Metre de l'eau dans son vin

juju a écrit:

24 seaux, on en a mis 12 en 6 jours et c'est la moitié du tonneau

foldingo83 a écrit:

J'aurais dit qu'un sceau contient en moyenne 10 litres donc ça ferais 240 l pour le tonneau complet, [...]

Gilbot a écrit:

contenance de 24 sceau du liquide vin/eau
soit 12 sceau de vin et 12 sceau d'eau si on pouvait les prendre separement

Ah, je vois d'ou vient les '24'...
Il semblerait que "comptable" ou "banquier" ne soient pas dans vos destinées professionnelles.
Sinon, en fonction de quel coté la balance penche, ca peut etre interessant de faire des affaires avec vous trois.


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 #25 - 07-01-2010 13:50:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

mettre de k'eau dans son vin

Wouah.

Il semblerait que "négociateur" ou "assistant social" n'ait jamais été dans les destinées professionnelles de Dan smile


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