Enigmes

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 #1 - 23-01-2008 10:15:27

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

a/bc + d/ef +g/hi + j = 1

Petite énigme avec les chiffres compris entre 0 et 9 : je cherche à trouver comment les placer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 de telle manière que soit vérifiée l'équation :

a/bc + d/ef + g/hi + j = 1

Je précise que a, b,...., j sont des chiffres et dans "bc", b est le chiffre des dizaines et c celui des unités.



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 #2 - 23-01-2008 11:08:14

4get9
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 16

a/bc + d/ef g/hi + j = 1

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5347689120

 #3 - 23-01-2008 11:24:33

4get9
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 16

a/bc + d/ef + g/hi + jj = 1

Spoiler : [Afficher le message]
mais aussi :
5349127680
7685349120
7689125340
9125347680
9127685340

Code:

For a = 0 To 9
 For b = 0 To 9
  If b <> a Then
   For c = 0 To 9
    If c <> b And c <> a Then
     For d = 0 To 9
      If d <> c And d <> b And d <> a Then
       For e = 0 To 9
        If e <> d And e <> c And e <> b And e <> a Then
         For f = 0 To 9
          If f <> e And f <> d And f <> c And f <> b And f <> a Then
           For g = 0 To 9
            If g <> f And g <> e And g <> d And g <> c And g <> b And g <> a Then
             For h = 0 To 9
              If h <> g And h <> f And h <> e And h <> d And h <> c And h <> b And h <> a Then
               For i = 0 To 9
                If i <> h And i <> g And i <> f And i <> e And i <> d And i <> c And i <> b And i <> a Then
                 For j = 0 To 9
                  If j <> i And j <> h And j <> g And j <> f And j <> e And j <> d And j <> c And j <> b And j <> a Then
                   If (a / (10 * b + c) + d / (10 * e + f) + g / (10 * h + i) + j) = 1 Then
                    MsgBox a & b & c & d & e & f & g & h & i & j
                   End If
                  End If
                 Next j
                End If
               Next i
              End If
             Next h
            End If
           Next g
          End If
         Next f
        End If
       Next e
      End If
     Next d
    End If
   Next c
  End If
 Next b
Next a

 #4 - 23-01-2008 13:35:11

Archibal
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 8

a/bc d/ef + g/hi + j = 1

Voici une équation qui a fait parlé beaucoup de très grand mathématiciens, voici ce que je te propose :
il faut commencer par éliminé j car je pense qu'il sera impossible de résoudre l'équation donc :
j=0
ensuite : a=9, b=3, c=4 --> a/bc=0,26  (arrondi à 0.26 car inférieur à 0.265)
ensuite : d=5, e=7, f=6 --> d/ef=0,07  (arrondi à 0.07 car supérieur 0.065)
ensuite : g=8, h=1, i=2 --> g/hi=0.67 (arrondi à 0.67 car supérieur 0.665)

donc a/bc+d/ef+g/hi+j = 0.26+0.07+0.67+0 = 1

j'attend ta réponse avec impatience car , il a beaucoup de chose à dire sur ma démonstration

A++
Eric Alias Archibal

 #5 - 23-01-2008 16:01:48

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

a/bc + d/ef +g/hi + j = 1

Tout d'abord, tout les termes de la somme sont poisitifs (ou nul pour au plus un d'entre eux), et j est entier: on en déduit qu'il est nécessairement inférieur strictement à 1 (sinon la somme serait supérieure à 1). Donc j=0.

Après, je trouve une solution unique (qui en fait en vaut 6 en changeant l'ordre des fractions)
[TeX]\frac{5}{34}+\frac{7}{68}+\frac{9}{12}=1[/TeX]

 #6 - 23-01-2008 21:27:40

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

a/bc + d/ef + g/hi + k = 1

Une seule solution:
Spoiler : [Afficher le message]
5/34+7/68+9/12+0=1


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 23-01-2008 21:43:55

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

a/bc + d/ef g/hi + j = 1

Comme on est sur les rationnels positifs, on doit avoir j=0.

Je n'ai de solution exacte mais j'arrive à un total de 1,00393... avec

(9/12)+(7/36)+(5/84)+0

Curieux de la réponse exacte et de la manière de l'obtenir hors force brute.hmm


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #8 - 23-01-2008 22:46:55

bidipe
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1081
Lieu: Côte basco-landaise

a//bc + d/ef + g/hi + j = 1

j=0 car si j ≥ 1 => a/bc + d/ef + g/hi ≤ 0
donc a/bc + d/ef + g/hi  = 1
J'en suis là, et j'y reste tongue
c'est pas que je m'y plaise, mais... roll

 #9 - 23-01-2008 23:00:53

golipe
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 82

a/bc + d/ef + g/h + j = 1

Ayant considéré en préalable que j=0, j'en suis réduis à rechercher 3 fractions  dont la somme est égale à 1.


... / ...
La nuit portant conseil, j'ai effacé toutes les âneries que j'avais écrites.
Je laisse l'essentiel.

... / ...

Je n'ai donc pas de solution à présenter et je dis que le problème m'apparait impossible.

A moins que j'ai mal lu l'énoncé, ce qui est possible, ou que j'ai mal raisonné, ce qui m'est fréquent, je rends ma langue au chat.

J'attends avec impatience la solution.

 #10 - 24-01-2008 13:32:06

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

a/bc + s/ef + g/hi + j = 1

Bonné réponse de 4get9, scarta et dhrm77

Je n'ai pas de véritable méthode parfaite pour trouver ces chiffres mais sans trop chercher on y arrive :

Déjà la première des choses à remarquer c'est que j=0 et que toutes les fractions sont inférieures à 1.

C'est important de noter qu'il faudra avoir au moins une grande fraction avec un petit dénominateur et un grand numérateur.

On suppose qu'un des dénominateurs est "1x", vérifions ce qui se passerai si ce n'était pas le cas : x/2x+x/3x+x/4x+0
La plus grande équation possible à obtenir serait 9/21 + 8/35 + 7/46 +0 < 1

Donc au on a déjà placé un 0 et un 1.

On autre problème auquel il faut réfléchir est la somme des fraction qui doit être égale à 1 il faut donc que deux des dénominateurs aient un multiple commun pour pouvoir s'ajouter.

La première fraction est donc de la forme a/1c avec a "grand" et "c" tel que 1c soit un bon multiple commun.
La seconde est de la forme x/yz  et la troisième x/(n*xy) de manière à avoir un multiple commun, il se peut que le multiple soit commun avec la première fraction également.
Il faudra aussi trouver les deux fractions de manière à ce que tous les chiffres soient présents et que la somme fasse 1.
Pour déterminer les chiffres, ceux du bas seront connus, il restera ceux du haut à deviner.

Commençons :

Choisissons 9/12 qui est la plus grand fraction possible. La somme des deux autres factions doit donc être 1/4.
Parmi les chiffres restants 3-4-5-6-7-8 il reste à vérifier quels peuvent avoir un multiple commun.

Il y a 36 et 48 (multiple 12 qui est aussi le dénominateur de notre première fraction)
Il y a 34 et 68 (multiple commun 17 et 34)
Il y a 43 et 86 (multiple commun 43)

Pour avoir 1/4 avec 5/36 et 7/48 = 43/144 c'est raté !
Mais 5/34 + 7/68 = 17/68 = 1/4 gagné !

Donc il existe au moins une solution :
[TeX]\frac{9}{12}+\frac{5}{34}+\frac{7}{68}+0=1[/TeX]
Si vous voulez en chercher d'autre la technique est la même avec par exemple 8/12 = 2/3 ou 9/13

Il n'y en a pas beaucoup à essayer car rapidement la somme 1 devient inaccessible.

Une vérification informatique permet de se rendre compte qu'il n'y a qu'une solution.

 

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