Enigme Deux enveloppes 3/8 @ Prise2Tete

bagouze · #51

Wow, excellent sujet, je l'avais loupé celui là.
J'ai rien d'un mathématicien, et mon intime conviction a été plusieurs fois mise à mal, en particulier par cette partie de ton dernier message Hlbnet.

hlbnet a écrit:
Voici un autre calcul de probabilité, dis moi ce que tu en penses :

Au départ, on sait q'une enveloppe contient X et l'autre 2X et on ne sait rien sur X. En tirant au hasard, le joueur à une chance sur deux de tomber sur X et une chance sur deux de tomber sur 2X.

Calculons E1 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il ne change pas d'enveloppe.
E1 = 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en ne changeant pas d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Calculons E2 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il change d'enveloppe.
En changeant d'enveloppe, est-ce que le joueur augmente ses chances de tomber finalement sur 2X (ou X) ?
Non, les chances de tomber sur X ou 2X restent les mêmes, ça reste aléatoire, basé sur le tirage pile ou face de départ.
Donc, E2= 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en changeant d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Les deux stratégies conduisent donc à la même espérance de gain car E1=E2.

Ce qui (je pense) me gêne le plus, c'est que la seule donnée qu'on ait dans l'énoncée, c'est une somme X.
A partir de là, il y a une chance sur deux d'avoir 1/2x dans l'autre enveloppe et une chance sur deux d'avoir 2x....(je connais pas les organisateurs, je me base strictement sur l'énoncé qui ne me permet pas de modifier cette proba, même le pile ou face, une fois dans cette situation n'a servi à rien...)
Dès lors, les deux tactiques à analyser sont
1°) Je change d'enveloppe, E1 = 1/2 * 1/2X + 1/2 * 2X = 5/4 * X (je crois)
2°) Je garde l'enveloppe, E2 = X

Ce qui me gêne donc, c'est quand on parle de probabilité que x=100€ ou de probabilité de tomber sur 2x....
il n'y a pas à se poser la question, il y a 100% de chances qu'on soit tombé sur X, vu qu'on a ouvert une enveloppe. Et c'est là le point de départ de l'analyse, pas avant...... (ce n'est bien sûr que mon avis, mais je me retrouve donc dans le point de vue de Mathias....)

VanSS · #52

Je vais essayé de donner mon avis au débat qui à mon avis n'en est pas vraiment un, il faut se rapeller dans quelles circonstances on pose ce problème

-Si c'est un problème purement mathématiques, je comprends Hlbnet quand il dit qu'il n'y a pas d'information sur la probabilité que les organisateurs aient mis (50,100) ou (100,200), le mot équiprobable n'est pas écrit noir sur blanc pourtant il est sous-entendu.

J'aurais du mal à l'en convaincre, je sais bien mais je vais essayé quand même, mettons que je vous dise de tirer au hasard une carte dans un jeu de cartes et de calculer la probabilité d'avoir un coeur, normalement vous allez me répondre 1/4. Pourtant vous n'avez pas toutes les informations, peut-être que le jeu contient des jokers ou peut-être que c'est le jeu d'un magicien et que les cartes sont trafiquées mais vous n'avez pas cette information alors vous n'en tiendrez pas compte.

En maths, en particulier en proba, quand on regarde l'univers des resultats possibles et que l'on a pas d'informations particulières, on considerera toujours que l'on est dans un cas d'équiprobabilité, je ne peux pas vous le demontrer c'est une régle qui a été faite, en effet si on a des informations complémentaires, il doivent apparaitre dans l'énoncé.

-Si c'est un problème dans la réalité, on peut de notre protre initiative chercher d'autres informations, comme les statistiques sur les montants distribués dans ce genre de jeu, le comportement de l'animateur révelateur ou non et en déduire une probabilité différente de 1/2. En faisant cela, on améliore la modélisation de notre problème mais on ne peut le faire là, déjà parce que ce n'est pas passionant et ensuite parce que la question qui sous-entend tout problème de modélisation est quelles données utilisées et comment? Il n'y a pas de bonne réponse, juste des appréciations.

En effet jamais, je dis bien jamais, on ne pourra tout prendre en compte ne serait-ce que parce que dans la réalité on a toujours d'autes choix. Qui vous empeche d'arracher l'autre enveloppe des mains de l'animateur et de vous enfuir à toutes jambes avec les 2, votre morale j'espère mais dans la réalité c'est tout de même possible. Il faudrait alors calculer la probabilité de se faire attraper ou non...

Tout ça pour dire qu'il ne faut pas oublier à quoi servent les maths, c'est un outil pour résoudre les problèmes une fois modélisée. La modélisation elle peut prendre de multiples formes, on a plusieurs choix, c'est une question de point de vue et on peut en débattre ensuite la résolution est unique et Mathias a raison, probabilité de 1/2 et calcul standard d'ésperance.

Milou_le_viking · #53

Flying_pyros a écrit:
L'espérance de gain n'a t-elle pas pour définition le fait d'être un gain moyen ?
Wiki a écrit:
L'espérance mathématique est, en probabilités, une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire

Justement, Wikipedia ne dit pas que l'espérance mathématique est un résultat moyen mais permet de l'évaluer. D'ailleurs, plus bas dans le texte, Wikipedia fourni les formules qui permettent de faire le calcul.
Cela dit, j'ai eu comme un doute après ton objection parce que ça remonte à loin tout ça

hlbnet a écrit:
Lorsque tu dis :

50% de chance d'avoir X=100€
(et donc 2X=200€ dans l'autre enveloppe)

50% de chance d'avoir 2X = 100€
(et donc X=50€ dans l'autre enveloppe)

... je pense que tu viens d'introduire une probabilité (50%) qui n'est pas dans l'énoncé.

Ca découle pourtant directement de l'énoncé si tu suis les étapes 1, 2, 3 et 4.

Tu as 50% de chance d'avoir x dans la première enveloppe et 50% d'avoir 2x.
On te dit que la première enveloppe contient 100€ mais on ne te dit pas si c'est le plus petit ou le plus grand.
Tu as donc toujours les mêmes probabilités d'avoir x ou 2x dans la première enveloppe, à savoir 50%.

D'où il vient:

50% de chance d'avoir 100€ en tant que plus petite somme
et
50% de chance d'avoir 100€ en tant que plus grande somme

D'où encore:

50% de chance d'avoir x=100€
et
50% de chance d'avoir 2x=100€

Et finalement:

50% de chance d'avoir 2x=200€ dans la seconde enveloppe
et
50% de chance d'avoir x=50€ dans la second enveloppe

C'est limpide !!!

Flying_pyros · #54

Milou a écrit:
Cela dit, j'ai eu comme un doute après ton objection parce que ça remonte à loin tout ça

je te rassure, pour moi aussi ça remonte à loin tout ça...
Mais je ne faisais pas une objection puisque je suis à 100 % d'accord avec votre analyse à toi, mathias, vanss,... On est d'accord sur l'équiprobabilité et l'espérance de gain. C'est juste le terme de "statistiques" qui me gênait un peu puisqu'on partait d'un principe de tirage unique.

Milou_le_viking · #55

J'aurais peut)être du dire "probabilitiquement" mais ça n'existe pas alors je n'ai pas eu le choix

hlbnet · #56

Bon, comme je ne suis pas calé en maths, je ne peux pas vraiment répondre aux objections d'ordre mathématique. Désolé.

Par conséquent, je vais tenter de résoudre le problème sans écrire une seule équation !

Or, donc, je rencontre un animateur télé, appelons le Jean-Pierre.
Jean-Pierre me présente deux enveloppes, l'une contenant le double de l'autre.

Il lance une pièce de monnaie et dit "Si c'est face, je vous donne l'enveloppe 1, si c'est pile, l'enveloppe 2."

La pièce tombe sur face, il me donne donc l'enveloppe 1 et me dit que je peux encore changer si je veux.

A ce stade, je me dit que j'ai une chance sur deux de tomber sur la bonne enveloppe, celle qui contient la plus grosse somme. Mais, j'aimerais bien augmenter mes chances de tomber sur la plus grosse somme, et comme je suis nul en maths, je joue mon joker : j'appelle un ami.

Mon ami s'appelle Pascal, il est très calé en probabilités ... il va me résoudre ça à l'aise, blaise. Pascal me dit que, compte tenu du calcul de probabilité suivant ... bla, bla, bla (là j'ai pas suivi, désolé) ... dans ce type de jeu on a intérêt à changer systématiquement d'enveloppe et qu'ainsi, on augmente son espérance de gain de 25% par rapport à la situation où on ne change pas d'enveloppe. Donc, j'ai intérêt, mathématiquement parlant, à changer d'enveloppe. Ca raccroche. En 30 secondes, Pascal n'a pas le temps d'en dire davantage (il vaut mieux, car j'ai déjà mal à la tête).

Je me retrouve donc devant mon enveloppe avec un noeud au cerveau. Mais, je ne me décourage pas et je fais le raisonnement suivant :

Je me souviens de la règle annoncée par l'animateur au début du jeu : "Si c'est face, je vous donne l'enveloppe 1, si c'est pile, l'enveloppe 2." A ce stade, je sais que j'ai une chance sur deux de tomber sur la bonne enveloppe. J'ajoute la botte secrête de mon ami Pascal : j'inverse systématiquement le résultat du tirage aléatoire. En mélangeant les deux règles, j'obtiens au final la règle suivante : "Si c'est face, je prends l'enveloppe 2, si c'est pile, je prends l'enveloppe 1." C'est la formule magique, ma botte secrète, qui me permet d'augmenter mon espérance de gain de 25%. La règle de base, "Si c'est face, je prends l'enveloppe 1, si c'est pile, l'enveloppe 2." elle est carrément moins bonne, c'est clair !

Franchement, avec mon niveau en math, je ne peux pas juger de la pertinence de cette formule ... mais je trouve que les maths, c'est carrément de la magie !

Même si je fais entièrement confiance à mon ami Pascal, j'ai bien du mal à accepter ça. Alors, je joue mon deuxième joker : l'avis du public.

Je demande au public s'il pense que la seconde enveloppe contient plutôt 50€ ou plutôt 200€. Le public pense que, dans ce genre de jeu, ça fait un peu radin de proposer 50 €. En plus, dans les jeux, ils aiment bien les nombres rond. Et puis, perdre 50€, c'est pas la mort. La combinaison (100,200) semble plus crédible dans ce genre de jeu.

Finalement, je choisis de changer d'enveloppe, en laissant entendre que j'ai tout compris du calcul de Pascal, mais en pensant tout de même "Merci public".

(Après coup, je me dis que le public aurait peut-être réagi différemment si j'avais trouvé 800€ dans la première enveloppe ... mais heureusement, c'était 100€, j'ai eu chaud)

Flying_pyros · #57

eh, comme joker, t'aurais du prendre le 50/50

kosmogol · #58

excellent FP

papiauche · #59

Puisque ce problème semble vous passionner, je vous conseille la lecture de ça:

http://www.madore.org/~david/math/proba.html#game.sol

A partir de Des choix, des choix, et encore des choix

Ca reprend et complète tout ce qui a été dit ici.

Spoiler : [Afficher le message]

kosmogol · #60

On va commencer par du paracetamol

la prochaine fois ce sera de l'acide acétylsalicylique

hlbnet · #61

Franchement, croyez vous vraiment que la stragégie, suivante :

"Si la pièce tombe sur face, je prends l'enveloppe 2, si la pièce tombe sur pile l'enveloppe 1"

Permet de gagner en moyenne 25% de plus que celle là :

"Si la pièce tombe sur face, je prends l'enveloppe 1, si la pièce tombe sur pile, l'enveloppe 2".

Vous croyez vraiment qu'on peut mettre cette curiosité sur le compte d'une "mauvaise intuition" qui serait contraire aux "bonnes mathématiques" (comme les exemples qui sont dans l'excellent lien donné par patiauche).

Ne vous semble t-il pas clair, à cause de la symétrie du problème, pas par intuition, que les deux stratégies sont équivalentes et qu'aucune des deux ne permet d'augmenter l'espérance de gain ?

Pour moi, l'argument de symétrie du problème permet de conclure, sans le moindre calcul, que le calcul aboutissant au 25% de plus en changeant ne peut pas être correct !

En principe, je n'ai même pas à trouver ce qui cloche dans le calcul, puisque j'ai démontré par symétrie qu'il ne peut pas être correct !

Comme, malgré tout, j'essaie moi aussi de comprendre ce qui cloche dans ce calcul, je soupconne que c'est l'affirmation suivante qui n'est pas correcte :
"Une fois qu'on a trouvé une somme S dans la première enveloppe, les probabilités de trouver S/2 ou 2S dans l'autre enveloppe sont identiques (50% chacune)."

Si vous n'êtes pas d'accord, alors ... essayez au moins de décrire l'espace de probabilité dans lequel vous vous placez pour affirmer ça ?

bagouze · #62

J'ai l'impression que tu commence ton raisonnement trop tôt par rapport à l'énoncé que tu nous a proposé.
Le pile ou face ici est un leurre, vu qu'il ne nous offre pas le choix de l'enveloppe.
En simplifiant au maximum les données connues comme ça a déjà été fait, le problème se résume à : vous recevez 100€, et vous savez qu'il y a soit le double soit la moitié dans l'autre enveloppe qu'on vous propose. Que faites vous ?

Ce qui rend tout à fait correct :

hlbnet a écrit:
"Une fois qu'on a trouvé une somme S dans la première enveloppe, les probabilités de trouver S/2 ou 2S dans l'autre enveloppe sont identiques (50% chacune)."[/url]

Certaines de tes objections me posent problème, et me font remettre en question cette théorie, mais avec les données dont on dispose, je ne vois pas comment nier l'équiprobabilité sus-citée

Flying_pyros · #63

hblnet a écrit:
Comme, malgré tout, j'essaie moi aussi de comprendre ce qui cloche dans ce calcul, je soupconne que c'est l'affirmation suivante qui n'est pas correcte :
"Une fois qu'on a trouvé une somme S dans la première enveloppe, les probabilités de trouver S/2 ou 2S dans l'autre enveloppe sont identiques (50% chacune)."

Non, on est tous d'accord pour dire qu'il y a equiprobabilité entre les deux solutions. Entre gain et perte, c'est du 50/50 (et rien à voir avec Jean Pierre )
Ce qui te donne une espérance de gain de 125, c'est le fait que la somme du gain soit plus élévée que la somme de la perte.
Si tu avais 50 dans une enveloppe et 150 dans l'autre, tu aurais toujours 50% de chance d'avoir un gain et 50% de chance d'avoir une perte mais vu les sommes engagées ici, ton espérance de gain serait de 100 (50%*50 +50%*150=100). Tu n'aurais donc pas intérêt à changer.
N'étant pas un as des maths, j'espère avoir été clair.

hlbnet · #64

Mais, FP, moi je dis qu'il n'y a PAS equiprobabilité.

C'est ce qui me distingue de pratiquement vous tous.

Je dis que ceci est FAUX:
"Une fois qu'on a trouvé une somme S dans la première enveloppe, les probabilités de trouver S/2 ou 2S dans l'autre enveloppe sont identiques (50% chacune)."

Donc, lorsque tu dis que vous êtes tous d'accord pour dire que c'est VRAI ... c'est là que moi je dis que vous vous trompez !

Flying_pyros · #65

Alors là, je ne comprend pas ton point de vue...
Vanss et Mathias l'ont très bien expliqué...Lorsque tu n'as pas de données supplémentaires qui te permettent de déduire autre chose, la règle en mathématique est l'équiprobabilité.

kosmogol · #66

wouarf, c'est exactement ce qu'il te propose, l'équiprobabilité au final

hlbnet · #67

FP, en fait, je soupconne que cette "équiprobabilité" est incorrecte. Car c'est la seule explication que je trouve, vu mon médiocre niveau en maths, pour dire que le calcul d'espérance de gain est faux.

Mais, ce qui me permet d'affirmer que le calcul est faux c'est la symétrie du problème. Il est clair pour moi, sans aucun calcul, que changer d'enveloppe n'améliore pas l'espérance de gain du joueur ... par symétrie.

Comme je l'ai dit ... est-ce à moi de trouver pourquoi le calcul est faux ... à partir du moment ou j'ai prouvé que le résultat est faux ?

bagouze · #68

Tu prouves que le résultat est faux parce que tu recherches les probabilités d'avoir trouvé 100€ que tu fixes à 50%, alors que dans le problème tel qu'il est énoncé, la probabilité de trouver 100€ est de 100%, et c'est seulement là que le problème démarre

scarta · #69

hlbnet a écrit:
est-ce à moi de trouver pourquoi le calcul est faux ... à partir du moment ou j'ai prouvé que le résultat est faux ?

On peut cepandant montrer (c'est d'ailleurs un peu ce que tout le monde s'evertue à faire ^^) que ta démonstration qui affirme que le résultat est faux n'est pas correct ...

Ceci dit, je conçois tout à fait que pour certains, les maths parlent moins que l'intuition, c'est normal. Dans ce cas, le mieux est quand même de faire une simulation. Comme aucun animateur télé de m'a abordé 1 million de fois pour me poser cette question, il va falloir le faire par ordinateur. Le code ci-dessous (c#) permet de simuler 1 million de fois ce jeu. Voici les résultats (chaque ligne correspond à 1 million de tirages. Je pense que c'est sans appel

Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,87265% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,9949% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,89605% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,1245% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,1005% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,0468% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,90085% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,0138% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,94285% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,0204% de plus en changeant d'enveloppe

Code:

  Random r = new Random();
  double resultatTotal = 0;
  int nombreDeCoups = 1000000;

  for (int i = 0; i < nombreDeCoups; i++)
  {
    // L'animateur prépare ses petites enveloppes
    int petiteSomme = r.Next(1000000);
    int grosseSomme = petiteSomme * 2;

    int enveloppe1, enveloppe2 = 0;
    if (r.NextDouble() < 0.5)
    {
      enveloppe1 = petiteSomme;
      enveloppe2 = grosseSomme;
    }
    else
    {
      enveloppe2 = petiteSomme;
      enveloppe1 = grosseSomme;
    }

    // Alors, monsieur le joueur, vous prenez quoi ?

    // Je prends l'enveloppe 1, Jean Pierre
    int monPremierGain = enveloppe1;

    // Bon, je change d'enveloppe dans ce cas, Jean Pierre
    int monGainFinal = enveloppe2;

    // Au final, en changeant, j'ai gagné combien, en proportion ?
    double monGainFinalEnProportion = (100* monGainFinal) / monPremierGain;

    resultatTotal += monGainFinalEnProportion;
  }
Console.WriteLine("Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne " + (resultatTotal/nombreDeCoups) + "% de plus en changeant d'enveloppe");

scrablor · #70

Mon cher scarta, tu viens de perdre superbement ton temps.
Ta prétendue simulation ne prouve rien de plus puisque tu la fondes a priori sur une répartition fifty-fifty.

scarta · #71

scrablor a écrit:
Mon cher scarta, tu viens de perdre superbement ton temps.

Ca c'est mon grand truc

scrablor a écrit:
Ta prétendue simulation ne prouve rien de plus puisque tu la fondes a priori sur une répartition fifty-fifty.

Je suis pas sur de comprendre, là...
Il n'y a qu'un seul endroit où je fait un 50-50 comme tu dit, c'est la ligne "if (r.NextDouble() < 0.5)" et c'est tout à fait justifié !!!

Il y a deux sommes A et B. Il y a aussi 2 enveloppes, 1 et 2. Soit je met A dans 1 et B dans 2, soit je met A dans 2 et B dans 1. 2 cas, pas plus pas moins.
Les deux cas sont équiprobables ou bien ce mot n'a plus de sens ! et jusqu'à preuve du contraire, quand il n'y a que 2 cas possibles et qu'ils sont équiprobables, alors leur probabilité est de 50% chacun.
Et toc !!!

Flying_pyros · #72

Il y a deux sommes A et B. Il y a aussi 2 enveloppes, 1 et 2. Soit je met A dans 1 et B dans 2, soit je met A dans 2 et B dans 1. 2 cas, pas plus pas moins.
Les deux cas sont équiprobables ou bien ce mot n'a plus de sens ! et jusqu'à preuve du contraire, quand il n'y a que 2 cas possibles et qu'ils sont équiprobables, alors leur probabilité est de 50% chacun.

C'est justement ce que conteste Hlbnet...Pour lui, rien ne dis que c'est équiprobable alors que normalement, c'est l'inverse. Si rien n'est précisé, c'est que c'est équiprobable.

scrablor · #73

La ligne "if (r.NextDouble() < 0.5)" dit exactement "je suppose l'équiprobabilité".

[MODE pseudo-scienfifique ON]

Je voudrais cependant proposer un curieux modèle : oublions qu'il s'agit de billets, prenons au hasard deux valeurs X et 2X réelles positives.
Ensuite, nous prenons l'arrondi à l'entier le plus proche.
Pour être dans le cas (50/100), la valeur prévue dans l'enveloppe n°1 devait être comprise entre 99,50 et 100,50.
Pour être dans le cas (100/200) il faut que cette valeur soit comprise entre 99,75 et 100,25 sinon le double ne serait pas arrondi à 200.
Comparons les deux intervalles : le premier est double du second, les probabilités seront donc dans le même rapport : 2/3 et 1/3.
Calculons alors l'espérance pour l'enveloppe n°2 :
50*2/3+200*1/3=100

Même espérance que pour l'enveloppe n°1 : au moins, cet équilibre est respecté.

[MODE pseudo-scienfifique OFF]

PS : inutile de m'expliquer mes erreurs, c'est une escroquerie (de plus ?).

MthS-MlndN · #74

Exact : tu montres que si la proba est de 50-50 on a 25% de gain moyen, mais ce que dit hlbnet, c'est "pourquoi 50 %, ce n'est dit nulle part ?". Ta démonstration se résume donc à "si tu as tort, alors tu as tort"

Ce que nous disons ici, c'est que les probabilités ont besoin d'un modèle, qui dit : par défaut, si on n'a aucune info supplémentaire, on présuppose une équiprobabilité a priori. Ca ne veut pas dire que, dans les cas concrets, ça se passe comme ça : c'est un modèle. L'exemple du jeu de cartes de VanSS est probant quant à la différence entre "potentiellement" et "dans le cas concret", mais la proba s'intéresse uniquement au concret.

Cher hlbnet, je comprends tes difficultés à te représenter cela, mais dis-toi que c'est un modèle, un axiome, si tu préfères, qui permet de créer une théorie des probas la plus complète possible...

Comme l'axiome du choix en théorie des ensembles, qui dit que si on a plein d'ensembles de plein d'éléments, on peut toujours choisir un élément dans chaque ensemble. Dans le cas concret, c'est vrai pour un humain : si je te donne dix sacs de billes, tu es capable d'en prendre une dans chaque sac. Dans le cas purement mathématique, c'est indécidable : on ne peut pas montrer que c'est vrai, on ne peut pas montrer que c'est faux, mais on peut faire plus de choses en disant que c'est vrai, alors on le suppose.

Comme le principe du tiers exclu, qui dit que quelque chose est vrai ou faux, mais pas autre chose. Pourquoi quelque chose ne pourrait pas être mathématiquement autre chose que vrai ou faux ("ambigu", disons, ou alors "indécidable", ou alors "on manque d'éléments pour répondre" ) ? Juste parce que ça nous arrange

Ici, idem.

hlbnet · #75

Franchement, les gars.
On vous tends une enveloppe choisie au hasard parmis 2.
Vous inversez le choix fait au hasard en prenant celle qui n'a pas été retenue.
Ca change rien du tout, screugneugneu, vous n'augmentez pas votre espérance de gain !

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#51 - 01-12-2009 18:36:03

Deux enveloppse

hlbnet a écrit:

#0 Pub

#52 - 01-12-2009 19:29:51

Deux enveloppess

#53 - 01-12-2009 19:47:22

Deux enveolppes

Flying_pyros a écrit:

Wiki a écrit:

hlbnet a écrit:

#54 - 01-12-2009 20:11:43

Deux evneloppes

Milou a écrit:

#55 - 01-12-2009 20:17:17

Duex enveloppes

#56 - 01-12-2009 22:04:26

deux envemoppes

#57 - 01-12-2009 22:35:40

deux envrloppes

#58 - 01-12-2009 22:39:17

Deuux enveloppes

#59 - 01-12-2009 22:59:09

deux enveloppeq

#60 - 01-12-2009 23:10:50

deuc enveloppes

#61 - 02-12-2009 10:17:32

Deux envelopes

#62 - 02-12-2009 10:34:30

Deux envelopes

hlbnet a écrit:

#63 - 02-12-2009 10:45:58

deux envelopoes

hblnet a écrit:

#64 - 02-12-2009 11:06:34

Deux envelopppes

#65 - 02-12-2009 11:16:36

deux envzloppes

#66 - 02-12-2009 11:27:10

Deux eveloppes

#67 - 02-12-2009 11:28:19

Deux envelopes

#68 - 02-12-2009 11:42:01

eDux enveloppes

#69 - 02-12-2009 12:14:11

Deux envveloppes

hlbnet a écrit:

Code:

#70 - 02-12-2009 13:13:10

Dexu enveloppes

#71 - 02-12-2009 13:51:15

Deux enveloppe

scrablor a écrit:

scrablor a écrit:

#72 - 02-12-2009 13:58:50

Deeux enveloppes

#73 - 02-12-2009 14:02:26

eDux enveloppes

#74 - 02-12-2009 14:09:58

Deux envloppes

#75 - 02-12-2009 14:10:45

Deux eveloppes

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