Enigmes

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 #1 - 30-01-2011 23:07:56

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Ensembl ede 55 éléments !

On considère un ensemble [latex]E[/latex] comprenant [latex]55[/latex] nombres entiers naturels non nuls et qui sont tous inférieurs ou égaux à [latex]100[/latex].
Montrez que E contient deux nombre [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex] tels que [latex]m-n=9[/latex].
Bonne chance !

Implicitement ; les nombres sont différents 2 à 2 !



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 #2 - 31-01-2011 11:16:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

nEsemble de 55 éléments !

Cette énigme ne marcherait-elle pas avec 51 entiers "seulement" ? Pour moi, le plus grand sous-ensemble de l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux (tu peux corriger l'énoncé big_smile) à 100 qui ne respecte pas cette condition est l'ensemble des entiers impairs de 1 à 99 (ou, de manière équivalente, celui des pairs de 2 à 100).

Ah non, au temps pour moi : en gardant les entiers de 1 à 9, puis ceux de 19 à 27, puis ceux de 37 à 45, etc. jusqu'à ceux e 91 à 99, on obtient 54 entiers différents. Donc c'est effectivement à partir de 55 que ça devient impossible.

Pas d'idée de démonstration hmm


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 #3 - 31-01-2011 11:20:00

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

ensemble de 55 élémznts !

J'arrive à trouver un ensemble de 54 nombres pour lesquels la différence de deux nombres quelconques n'est jamais égale à 9.
Dans E je mets les nombres :
- de 1 à 9
- de 19 à 27
- de 37 à 45
- de 55 à 63
- de 73 à 81
- de 91 à 99
(j'ai 6 groupes de 9 nombres)

Avec cette configuration, je ne peux pas ajouter un 55ème nombre sans qu'il ait une différence de 9 avec un de ceux déjà présents.

Mais je n'arrive pas à montrer facilement que c'est la seule configuration de 54 nombres que je puisse trouver, donc je m'y prends autrement

Soit [latex]F=\{n+9, n \in E\}[/latex]
On a donc évidemment [latex]card(F)=card(E)[/latex], car F est juste l'ensemble des nombres de E auxquels on a ajouté 9.
[TeX]card(E\cap F)=card(E)+card(F)-card(E\cup F)[/TeX]
Or l'élément le plus grand de F vaut 109 au maximum, celui de E vaut 100 au maximum, donc [latex]card(E\cup F) \le 109[/latex]
On en déduite que [latex]card(E\cap F) \ge 55 + 55 - 109 = 1[/latex]

E et F ont donc forcément un élément en commun, appelons-le n.
[TeX]n \in F[/latex] donc [latex] \exists m \in E / n=m+9[/TeX]
On a donc bien trouvé n et m dans E vérifiant n-m=9

 #4 - 31-01-2011 12:00:46

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Ensemble de 55 élémens !

C'est le principe des tiroirs ! Pas le temps de développer plus ! roll

 #5 - 31-01-2011 12:40:42

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,695E+3

nsemble de 55 éléments !

1 2 3 4 5 6 7 8 9
19 20 21 22 23 24 25 26 27
37 38 39 40 41 42 43 44 45
55 56 57 58 59 60 61 62 63 
73 74 75 76 77 78 79 80 81
91 92 93 94 95 96 97 98 99 = 54 nombres pas moyen de faire plus sans une différence de 9.

 #6 - 31-01-2011 13:20:05

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Ensemble de 55 éléments !!

Pourquoi 55?
Je trouve que 51 sont suffisant. Par exemple, tous les nombres pair plus un nombre impair quelconque. Le nombre impair est alors l'un des deux nombres n ou m.

corrigé plus bas...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 31-01-2011 13:27:13

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

ensemblr de 55 éléments !

@ dhrm77 et MthS-MlndN :
Il existe une combinaison de 54 nombres pour lesquels la différence de deux nombres quelconques n'est jamais égale à 9.


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #8 - 31-01-2011 13:28:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Ensemble de 5 5éléments !

Je sais, je l'ai trouvée (relis mon post). Du coup, il en existe au moins deux.


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 #9 - 31-01-2011 16:51:28

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Ensemble de 55 élémets !

On peut voir l'ensemble des entiers entre 1 et 100 comme un graphe tel que:
il y a une arête entre deux points i et j ssi |i-j|=9.
En enlevant un point du graphe, on lui retire au maximum 2 arêtes. En en enlevant 45, on retire au graphe un maximum de 90 arêtes.
Or le graphe en contient 91, donc il en reste forcément une.

 #10 - 31-01-2011 19:15:21

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Ensemble de 55 éléments

Dans n'importe quelle tranche de 18 nombres successifs, on ne peut en prendre qu'au maximum 9 sans qu'un écart ne soit égal à 9. En effet modulo 9, il n'y a que 9 valeurs possibles, une dixième valeur serait forcément égale à l'une des 9 déjà choisies (principe des tiroirs de Dirichlet). Dans une plage de 18 nombres consécutifs, la différence modulo 9 égale à 0 veut dire que la différence des nombres est 9 (les différences vont de -17 à +17).
On peut ensuite choisir effectivement 9 nombres dans chaque plage sans "interférence" d'une plage à l'autre (tous au même endroit dans la plage).
On effectue un recouvrement de [1,100] par 6 plages de 18 nombres consécutifs, la dernière étant tronquée à 10 nombres. Pour chaque plage, on peut choisir 9 nombres et pour la dernière (tronquée), on peut, pour maximiser le nombre de nombres, considérer que les 9 solutions sont dans l'intersection de cette dernière plage avec le segment [1,100]. Il y a donc au plus 54 nombres "indépendants" au vu de la relation m-n=9 dans [1,100].

Si on en prend un 55ème, il est forcément en relation avec l'un des nombres déjà choisis.

On peut effectivement construire un ensemble de 54 nombres indépendants:
[1,9]U[19-27]U[37,45]U[55,63]U[73,81]U[91,99]

Merci pour cette énigme amusante.

 #11 - 31-01-2011 19:20:36

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2174
Lieu: 94110

Ensemble de 55 élément !

Penons le problème à l'envers : Peut-on choisir 54 nombres entiers de 1 à 99 tels que aucun d'eux ne soit égal à un autre + 9 ?
Oui, par exemle les 54 nombres classés dans le tableau ci-dessous en 6 rangées de 9 nombres.

  1    2    3    4    5    6    7    8    9
       
19  20  21  22  23  24  25  26  27
    
37  38  39  40  41  42  43  44  45
   
55  56  57  58  59  60  61  62  63

73  74  75  76  77  78  79  80  81
   
91  92  93  94  95  96  97  98  99

L'ajout d'un 55ème nombre dans ce tableau est forcément égal à l'un des précédent + 9.

 #12 - 31-01-2011 19:40:33

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Ensemble de 55 léments !

Non c'est à partir de 55 exactement ! smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #13 - 01-02-2011 01:59:26

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

ensemvle de 55 éléments !

En fait il y a 7 combinaisons de 54 nombres pour lesquels la différence de deux nombres quelconques n'est jamais égale à 9.
La premiere:
1-2-3-4-5-6-7-8-9-19-20-21-22-23-24-25-26-27-37-38-39-40-41-42-43-44-45-55-56-57-58-59-60-61-62-63-73-74-75-76-77-78-79-80-81-91-92-93-94-95-96-97-98-99
La deuxieme:
1-2-3-4-5-6-7-8-9-19-20-21-22-23-24-25-26-27-37-38-39-40-41-42-43-44-45-55-56-57-58-59-60-61-62-63-73-74-75-76-77-78-79-80-81-92-93-94-95-96-97-98-99-100
etc...
Et la derniere:
2-3-4-5-6-7-8-9-10-20-21-22-23-24-25-26-27-28-38-39-40-41-42-43-44-45-46-56-57-58-59-60-61-62-63-64-74-75-76-77-78-79-80-81-82-92-93-94-95-96-97-98-99-100.
J'avais fait une erreur dans ma recherche initiale.
rajouter un nombre quelconque a une de ces suites et il existe forcement deux nombres qui ont une difference de 9 (celui rajouté et un autre).


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #14 - 01-02-2011 14:54:53

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Ensemble de 55 élémenst !

Je répartis les entiers entre 1 et 18 en 9 couples d'entiers (n, n+9) :
(1  , 10) ; (2  , 11); ... ; (9 , 18)
Je fais pareil pour les 4 paquets de 18 entiers suivants.
Et finalement je fais le couple (91, 100).
J'ai partitionné mes 100 entiers en 46 couples (n, n+9) et 8 singletons

Par le principe des tiroirs, si je tire 55 = 8 + 46 + 1, je vais forcément choisir deux entiers d'un même couple qui auront une différence de 9.

 #15 - 03-02-2011 09:25:02

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Enseemble de 55 éléments !

@Nicouj : Ta démo est d'une simplicité brillante, y'a même pas de besoin de connaitre cette histoire de tiroirs.


The proof of the pudding is in the eating.

 #16 - 03-02-2011 11:56:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

ensemble dz 55 éléments !

Ce qui me frustre un peu la-dedans, c'est qu'on ne prouve pas en revanche qu'on peut construire un ensemble de cardinal 54 pour lequel on ne peut pas trouver un couple (n,n+9) -- en considérant le couple (1;10) et le couple (19;28), par exemple, il est clair que prélever un et un seul entier de chaque couple n'est pas un modus operandi satisfaisant.

J'aurais plutôt réparti les nombres par modulo 9 :
(1;10;19;...;100) : 12 éléments
(2;11;20;...;92) : 11 éléments
(3;...;93) : 11 éléments
etc.

On peut choisir au plus 6 éléments dans chacun de ces ensembles pour ne pas avoir de couple de la forme (n;n+9) dans l'ensemble formé, en sautant un élément sur deux (tout simplement), d'où la limite a 54 éléments. Le 55me nous met dedans, et hop.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 03-02-2011 12:27:20

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Ensemmble de 55 éléments !

MthS-MlndN a écrit:

31/01/201 [...]  la réponse est l'ensemble des entiers impairs de 1 à 99 (ou, de manière équivalente, celui des pairs de 2 à 100) soit 50. [...] Pas d'idée de démonstration hmm
03/02/2011  et hop.

BRAVO pour le progrès ! smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #18 - 03-02-2011 13:01:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

ensemble de 55 éméments !

Merci beaucoup big_smile


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