Bonjour,
Le pauvre hlbnet c'est si bien battu pour exprimer son point de vue, pour ne convaincre que si peu de monde que j'ai du mal à m'empecher de le défendre. D'autant que le calcul d'espérance proposé (qui fonde le "paradoxe" et pousse à changer d'enveloppe) est basée sur une supposition fausse (plusieurs intervenants l'ont déjà fait remarqué, dylasse par exemple à la premiere page).
Dire que la probabilité d'obtenir 50 (ou 200) en changeant d'enveloppe est 1/2 signifie qu'en répétant plusieurs fois l'expérience la fréquence d'apparition de 50 serait de 1/2.
Tentons de modéliser cette expérience pour la répéter :
1ere mauvaise méthode :
les enveloppes contiennent toujours les même nombres (choisi par l'animateur) 50 et 100 (ou 100 et 200). Cela ne reflète pas du tout notre expérience puisqu'avant de procéder à l'expérience, nous n'avons aucune information sur les sommes présentes dans les 2 enveloppes;
2eme mauvaise méthode :
On considère que les enveloppes contiennent ou bien 50 et 100, ou bien 100 et 200, ces 2 cas étant équiprobables. Si on répète cette expérience un grand nombre de fois (i.e. 50% des cas 50/100 et 50% des cas 100/200) alors sachant qu'on tire 100 oui ici il vaut mieux changer d'enveloppe, le calcul d'espérance est évidemment correct.
Le problème n'est pas tant dans le calcul d'espérance, mais dans la modélisation. En effet, au moment de l'énoncé du jeu, nous n'avons aucune indication des sommes mises dans les enveloppes alors pourquoi modéliser cette expérience en le limitant à uniquement 2 cas : 50/100 et 100/200.
Rien n'interdit les enveloppes de contenir 1000 et 2000 par exemple.
La situation aurait différente par exemple si avant l'ouverture de l'enveloppe le présentateur avait dit "l'une des 2 enveloppes contient 100 et l'autre contient ou bien la moitié ou bien le double". Dans ce cas, la modélisation colle assez bien (sans autre indication que celle là, on suppose l'équiprobabilité des 2 possibilités), et sachant qu'on tire 100 il vaut mieux changer pour maximiser ses gains.
Pour mieux modéliser cette expérience, il faut donc prendre en compte qu'on ne connait pas à priori les sommes des 2 enveloppes :
3eme méthode, meilleure dans l'idée mais irréalisable :
Pour signifier qu'on ne connait pas les 2 sommes, on suppose qu'elle ont été choisies aléatoirement par l'animateur. Cela revient à choisir un nombre positif x pour une enveloppe et mettre le double dans l'autre.
Le problème est le suivant, suivant quelle loi de probabilité on choisit x ?
Sans autre indication, on est amener à supposer que le nombre est choisi de manière uniforme, mais c'est là qu'est le problème : il n'existe pas de loi uniforme sur R+. Dit autrement, pour se fixer une idée (parce que ce n'est pas tout à fait juste), il est impossible de choisir un nombre positif quelconque de sorte que chaque nombre ait la même probabilité d'apparaitre.
Ainsi, si on veut choisir un nombre positif, de manière nécessaire, certains nombres apparaitrons plus souvent. On est donc bloqué et on ne peut pas modéliser notre expérience de cette manière.
Pour terminer, une pirouette :
Même si il existait une manière de tirer un nombre positif au hasard, l'expérience résultante n'aurait pas été crédible ! En effet on imagine mal l'animateur avoir mis dans l'enveloppe un cheque de 10^10 euros, il est clair que certains nombres sont bien moins probables. Cela nous amène au raisonnement suivant :
On se fixe une valeur fixée M qu'on estime être un maximum aux sommes mises dans les enveloppes (mettons M = 1000000, basé sur notre expérience des jeux télévisés, mais on pourrait se fixer beaucoup moins en connaissant ce jeu particulier). En l'absence d'info sur ces sommes, on suppose alors qu'ils sont uniformément réparti dans [0;M].
Si la premiere somme rencontrée est supérieure à M/2, c'est que nécessairement c'est la plus grande des 2 sommes et il ne faut pas changer.
Mais si elle est inférieure, le calcul de l'espérance (toujours le même) nous pousse à changer. Ce calcul est bien juste, puisque dans notre modèle la moitié et le double on bien autant de chance de se trouver dans l'autre enveloppe.
Concrètement dans le problème initial, notre expérience de ce genre d'émission télévisée nous poussera peut être à supposer que les sommes sont inférieures à 1000 et en découvrant 100 on changera d'enveloppe pour maximiser notre espérance de gain.
Sans autre information que celles de l'énoncé, un modèle ne peut pas être plus valable qu'un autre et parler d'espérance n'a pas de sens.
LRG
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