Enigmes

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 #1 - 16-12-2011 17:21:26

123enigme
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

dimensions d'un cercle inscrut dans un carré

Salut à Tous,
Il me semble avoir déjà vu cette énigme sur le site mais impossible de retrouver ni le topic ni la solution :
Il faut déterminer les dimensions du cercle à partir de ça (le cercle est inscrit dans le carré et l'angle du rectangle touche le cercle :
http://www.prise2tete.fr/upload/123enigme-enigme.png



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 #2 - 16-12-2011 18:40:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

dimensions d'un cerclz inscrit dans un carré

Sauf erreur tu as un triangle rectangle de côtés R-2 , R-1 et R .

Vasimolo

 #3 - 16-12-2011 18:44:52

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Dimensios d'un cercle inscrit dans un carré

Salut.

Ça doit être faisable analytiquement :

On prend un repère d'origine le point du carré en bas à gauche.

Les coordonnées du centre O du cercle sont O (a;a) car O est sur la première bissectrice.

L'équation du cercle est :
(x-a)²+(y-a)²=a², c'est à dire :
x²+y²-2a(x+y)+a²=0

Le point A(2;1) est sur le cercle donc :
2²+1²-2a(2+1)+a²=0
a²-6a+5=0
Delta=36-20=16
a=(6+4)/2=5 ou (6-4)/2=1 (mais dans ce cas le cercle passe par le point A(2;1) au milieu à droite du cercle)

Le cercle a donc pour centre O (5;5) et pour rayon 5.

 #4 - 16-12-2011 19:18:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2709
Lieu: Luxembourg

DDimensions d'un cercle inscrit dans un carré

Bonjour,
Il me semble aussi avoir déjà vu ce problème sur le site.
M'enfin ... Le cercle a pour équation x² + y² = r².
Les points r-1 et r-2 (8 en tout) appartiennent au cercle.
On a donc (r-2)² + (r-1)² = r² soit r² - 6r + 5 = 0.
On a une racine évidente (r=1) et l'autre est (r=5).
Bonne soirée.
Frank

 #5 - 16-12-2011 19:18:37

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Dimensions d'un cercle inscrit dans u carré

 #6 - 16-12-2011 22:22:51

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

dimensions d'un cerclz inscrit dans un carré

C’était un exercice posé par Saint-Pierre.

c'est une bête appli du théorème de Pythagore
[TeX](r-1)^2+(r-2)^2=r^2[/latex] pour avoir le rayon [latex]r[/latex] du cercle

puis la résolution d'une équation du second degré qui se transforme facilement et/ou qui a une solution évidente.

on trouve [latex]r=5[/TeX]

 #7 - 17-12-2011 09:26:28

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Dimennsions d'un cercle inscrit dans un carré

On note R le rayon du cercle. Dans le triangle rectangle ABC on a par Pythagore
[TeX]AB^2 + AC^2 = BC^2[/TeX]
[TeX](R-2)^2+(R-1)^2=R^2[/TeX]
[TeX]R^2-6R+5=0[/TeX]
[TeX]R=1 \mathrm{\ ou\ }5[/TeX]
Or [latex]R>2[/latex] donc [latex]R=5[/latex]
http://www.prise2tete.fr/upload/masab-cercle-inscrit-carre.jpg

 #8 - 17-12-2011 11:40:51

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Dimensions d'un cercle inscrit ddans un carré

Il suffit de traduire que le triangle inscrit - dont hypoténuse est le diamètre horizontal - est rectangle.
Soir r le rayon. Les vecteurs (2,1-r) et (2r-2,r-1) ont pour produit scalaire (4+1-r)(r-1) après factorisation.
Comme r>2, il ne reste que la possibilité r=5.
Un joli test pour des lycéens !
Certains écrivent aussi dimension comme dans le titre lol


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 17-12-2011 11:57:25

algao
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 7
Lieu: Port-aux-Prunes

dimensions s'un cercle inscrit dans un carré

Bonjour,
Pas trop difficile.
Considérons-nous en repère orthonormé avec le centre du cercle en (0,0).
Son équation est alors : x²+y²=R²
Au sommet du rectangle qui touche le cercle on a x=-R+2 et y=-R+1.
Donc (2-R)²+(1-R)²=R²
ou R²-6R+5=0
Donc R=5.
Allez ! Je pars à la plage !
Bonne journée.

 #10 - 17-12-2011 12:32:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Dimensions dun cercle inscrit dans un carré

rayon 5 pour le cercle

 #11 - 17-12-2011 15:36:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

DDimensions d'un cercle inscrit dans un carré

Recherche "carré rectangle cercle", l'énigme est sur la première page de résultats.

Et voilà.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 17-12-2011 16:17:54

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Dimensions d'un cercle inscrit dans un carr

R²=(R-2)²+(R-1)^² => R=5 et C=10


The proof of the pudding is in the eating.
 

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