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#1 - 02-11-2010 08:43:21
coordonnées dans le rriangle des entiersUn petit concours organisé par Wild About Math (ça faisait longtemps)
#0 Pub#2 - 02-11-2010 10:10:42
coordonnées dzns le triangle des entiersF(R,1) = 1+ somme de 1 à (R-1)= 1+1+2+3+....+(R-1) #3 - 02-11-2010 10:53:21#4 - 02-11-2010 11:35:30
CCoordonnées dans le triangle des entiersF(R;C)=(R−1)×R2+C[/latex]carononalasommedesentiersde1àR−1avantd′ajouterCSoitNunentiernaturelalorsilexiste[latex]R∈NtelqueR2−R2<=N<R2+R2[/latex]donconvarésoudrel′équationR²+R−2NetonvaprendreRlapartieentièredelasolutionpositivedonc[latex]R=E(−1+√1+8N2)[/latex]et[latex]C=N−R2−R2 #5 - 02-11-2010 11:44:11
cootdonnées dans le triangle des entiersOn commence par remarquer que Donc −1+√1+8N2<=k<1+√1+8N2 La différence entre les deux bornes de k vaut 1, autrement dit il n'existe qu'un entier k entre ces deux bornes.Au final donc k=⌈−1+√1+8N2⌉ Ayant identifié la ligne k sur laquelle se trouve notre nombre N, il ne reste plus qu'à dérouler un peu les calculs: N = F(k,j) = F(k,k) + j-k = k(k+1)/2 + j-k = k(k-1)/2 + j j = N - k(k-1)/2 Au final, on a donc: =>F(k,j)=k(k−1)2+j =>N=F(⌈√1+8N−12⌉,N−⌈√1+8N−12⌉.⌈√1+8N−32⌉2) #6 - 02-11-2010 14:13:40
Coordonnées dans le riangle des entiers1. F(R,C) est le nombre situe dans la ligne en dessous du triangle comptant (R-1)R/2 elements, et c'est le C-ieme element de cette ligne, donc sa reciproque pour x est (valeurs >0) g(y)=√4y+1−12 Donc R=⌈√8N+1−12⌉ et finalement C=N−R(R−1)/2 #7 - 02-11-2010 20:23:08
Coordonnées dans le triangle des netiersExercice 1: Mais on a de nouveau une relation de récurrence: F(R,1)=F(R−1,1)+R−1 D'oùF(R,1)=1+R∗(R−1)2 Finalement: F(R,C)=C+R∗(R−1)2 Exercice 2: Soit N un entier. Notons G l'application qui a R associe F(R,1) G(R)≤N<G(R+1) Or G admet une application réciproque : G−1(X)=1+√8X−72 qui est strictement croissante; donc: R≤G−1(N)<R+1 donc R est la partie entière de G−1(N). R=E(1+√8N−72)[/latex].OnaaisémentqueC=N−F(R,1)+1,doncfinalement:[latex]{R=E(1+√8N−72)C=N−R∗(R−1)2 #8 - 02-11-2010 22:10:02
coordonnées dans le triangle deq entiersF(R,C)=R(R−1)2+C Le premier terme donne le nombre de nombres utilisés dans la pyramide jusqu'à la rangée R-1 (somme des R-1 premiers entiers), le second le nombre de nombres utilisés dans la rangée numéro R. Pour la réciproque, si N>0, F(R,C)=N⇔{R=[1+√8N−72]C=N−R(R−1)2 En effet, R est la plus grande solution entière de l'inéquation R(R−1)2≤N−1. Les entiers solutions de cette inéquation sont dans l'intervalle [1−√8N−72,1+√8N−72] . Le plus grand est la partie entière de la borne supérieure de l'intevalle. On obtient C d'après la formule ci dessus. #9 - 02-11-2010 22:32:24#10 - 04-11-2010 00:16:48
coordobnées dans le triangle des entiers1) Je commence par calculer le premier élément d'une ligne quelconque. Il suffit d'ajouter 1 à la somme des nombres d'éléments des lignes supérieures. Puis, il n'est n'est pas difficile de voir que: F(R,C)=F(R,1)+C−1 Ce qui donne: F(R,C)=\frac{(R-1)R}{2}+C 2) Moins facile que ça en a l'air! Soit un élément N du triangle. Alors il est plus petit que le premier de la ligne suivante et plus grand que le dernier de la ligne précédente, soit: F(R,1)−1<N<F(R+1,1) Ce qui est équivalent à: \frac 12\left(\sqrt{1+8(N-1)}-1\right)<R<\frac 12\left(\sqrt{1+8N}+1\right) R[/latex]estdoncl′uniqueentiervérifiantcesinéquations,puisonendéduitfacilement[latex]C[/latex]:[latex]C=N-\frac{(R-1)R}{2} #11 - 04-11-2010 06:59:45
coordonnées fans le triangle des entiers1/ 2/ ce qui donne à partir de n trouver le plus grand R tel que n−R(R−1)2>0 le reste donne C The proof of the pudding is in the eating. #12 - 05-11-2010 00:41:58
Coordonnées dans le trianggle des entiersAmusant. Je crois que j'ai croisé ça il y a quelques années dans le championnat FFJM mais je n'ai pas le courage de chercher quand. La première ligne contient 1 nombre, la seconde 2, donc le dernier nombre de la 2ème ligne est 1+2=3. La troisième ligne contient 3 nombres et le dernier nombre de la 3ème ligne est donc 1+2+3=6. On voit donc aisement que le dernier nombre de la ligne R est donc R(R+1)/2. Pour un nombre sur la ligne R, le dernier nombre de la ligne R-1 est R(R-1)/2 et le nombre n est le "C-ième" de la ligne R. On a donc F(L,C)=L(L−1)2+C (J'utilise L(igne) au lieu de R(ow) pour les lignes en français ![]() Pour trouver la formule inverse, c'est à peine plus compliqué. Il suffit de trouver sur quelle ligne il se trouve. Lorsqu'on à la ligne L, on en déduit la colonne par: C=n−L(L−1)2. Pour trouver la ligne L(n) pour le nombre n, on remarque que: L(L−1)2<n≤L(L+1)2 L(L−1)2<2n⇒(L−12)2−14−2n<0⇒L<12+sqrt2n+14[/latex](vunosconditionsdepositivité)L′égalitén′étantjamaispossible(l′égalitéseraitvraiepourlepremiernombredelalignesuivante).Demêmeavecl′autreinéquationonmontreque:[latex]sqrt2n−14−12≤L<12+sqrt2n+14 On en déduit: L(n)=E(sqrt2n−14+12)[/latex],oùE(x)désignelapartieentièredexet[latex]C(n)=n−L(n)(L(n)−1)2 Voila, voila. Merci pour avoir partagé cette énigme et comme je n'ai pas besoin de la calculatrice, je la laisse à quelqu'un d'autre ![]() #13 - 05-11-2010 17:29:29
Coordonnées dans le triangle ddes entiers1. Par récurrence on démontre que: Initialisation: f(1,1)=1∗(1+1)/2 Hérédité: f(R+1,R+1)=f(R,R)+R+1=R∗(R+1)/2+(R+1)=(R+1)∗(R+2)/2 Ensuite, il vient que : f(R,C)=f(R−1,R−1)+C=R∗(R−1)/2+C 2. Pour tout N, pour trouver la ligne R: f(R−1,R−1)<N<=f(R,R)R2−R<2N<=R2+R On recherche sqrt(2N) La valeur arrondie à l'entier le plus proche donne R. La colonne C vaut: N−R∗(R−1)/2 "Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde #14 - 15-11-2010 09:27:55
Coordonnées dans le triangle dess entiersLe hasard a décidé que le gagnant était Nate Burchell, sa solution : http://wildaboutmath.com/2010/11/14/ti- … ay-winner/ #15 - 15-11-2010 12:00:40
Coodonnées dans le triangle des entiersLe même genre de petits trucs rigolos que son problème de l'an dernier sur la spirale d'entiers, j'aime bien. Etonnant, d'ailleurs, que je n'ai pas pris le temps de répondre à celui-là, moi qui me régale tant d'habitude ^^ Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298 Réponse rapideSujets similaires
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