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 #1 - 31-08-2014 17:50:18

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

triangle équilatétal inscrit

Je ne sais pas si l'énigme a été postée, donc excusez moi qi elle existe déjà

On a un triangle équilatéral de côté [latex]a[/latex]. Sur chaque segment, on note une longueur [latex]x[/latex] qui part d'un sommet, et cycliquement, on pose trois points qui sont les sommets d'un triangle lui aussi équilatéral. L'aire de ce triangle est la moitié de l'aire du grand triangle.
http://img15.hostingpics.net/pics/847573Equimoitiaire.png

Combien vaut le rapport [latex]\frac {x}{a}[/latex]?


On considère [latex]x \le \frac {a}{2}[/latex]

La réponse sera arrondie au dix-millième près

Bonne chance smile



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 #2 - 31-08-2014 19:46:48

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

Triange équilatéral inscrit

Le grand triangle équilatéral a pour aire: S = a².(V3)/4, et les trois triangles autour du petit triangle équilatéral ont chacun pour aire: S/6 = a².(V3)/24 = (a-x).x.(V3)/4, d'où: (x/a)² - (x/a) + (1/6) = 0, ce qui donne: x/a = 1/2 - 1/V12, soit 0,2113 environ, qui est validé. Merci pour ce petit divertissement.

Edit: Par contre, la valeur validée 0,2113 est arrondie au dix-millième près (et pas au millième).

 #3 - 31-08-2014 21:13:56

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

TTriangle équilatéral inscrit

salut.

l'aire de chacun des 3 petits triangles se formule de 2 manières.
[TeX]A = a^2.\frac{\sqrt3}{24} = a.x.\frac{\sqrt3}{4}- x^2.\frac{\sqrt3}{4}[/TeX]
on obtient une équation du second degré en x
[TeX]\sqrt3.x^2 - a.\sqrt3.x +\frac{a^2.\sqrt3}{6} = 0[/TeX]
donne  [latex]x = \frac{a.(\sqrt3 - 1)}{2.\sqrt3} \approx 0.211325 \times{a}[/latex]

et [latex]\frac{x}{a} \approx 0.211[/latex] au millième près. sauf erreur .

 #4 - 31-08-2014 21:22:09

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

ttiangle équilatéral inscrit

Les réponses sont bonnes, je voulais dire au dix-millième près, j'ai corrigé! smile


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 #5 - 01-09-2014 15:57:46

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

troangle équilatéral inscrit

La réponse est
[TeX]\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6} = 0,21132486540518711774542560974902127218...[/TeX]
arrondi à [latex]0,2113[/latex]

Preuve
1) L'aire d'un triangle équilatéral est proportionnelle au carré de son côté.
2) Le côté du petit triangle équilatéral se calcule en utilisant Al-Kashi.

Voilà !

 #6 - 01-09-2014 16:34:10

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Trriangle équilatéral inscrit

C'est ça!


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 #7 - 02-09-2014 19:17:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Triangle éuilatéral inscrit

En prenant a=1 :

http://s10.postimg.org/81cy5x86x/La_moiti.png
[TeX]x=\frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}[/TeX]
Vasimolo

 #8 - 02-09-2014 21:29:08

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

triangme équilatéral inscrit

La réponse est juste au fond, mais on sait que x ne peut prendre la valeur d'une seule racine

La réponse a étét totalement trouvée, je poste mon corrigé initial
[TeX]On~a~\widehat{B'OC'}+\widehat{B'AC'}=180^{\circ}~et~A_{B'OC'}=A_{B'AC'}[/TeX]
[TeX]
B'O \times OC' \times sin\widehat{C'OB'} \times \frac{1}{2}=B'A \times AC' \times sin\widehat{C'AB'} \times \frac{1}{2}[/TeX][TeX]B'O \times OC'=B'A \times AC'[/TeX][TeX]OC'^2=x(a-x)[/TeX][TeX]OH^2+HC'^2=ax-x^2[/TeX]
[TeX]
(\frac{1}{3}\times\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a}{2}-x)^2=xa-x^2[/TeX][TeX]\frac{a^2}{12}+3\frac{a^2}{12}-ax+x^2=xa-x^2[/TeX][TeX]2x^2-2ax+\frac{a^3}{3}=0[/TeX][TeX]\Delta =b^2-4ac=4a^2-4\times2\times\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}~~\sqrt{\Delta }=\frac{2a}{\sqrt{3}}
[/TeX]
[TeX]x\leq \frac{a}{2}~ donc~x=\frac{2a-2a\times\frac{1}{\sqrt{3}}}{4}[/TeX][TeX]x=\frac{a(1-\sqrt{3})}{2}[/TeX][TeX]\frac{x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\simeq 0,2113[/TeX]


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