Le grand triangle équilatéral a pour aire: S = a².(V3)/4, et les trois triangles autour du petit triangle équilatéral ont chacun pour aire: S/6 = a².(V3)/24 = (a-x).x.(V3)/4, d'où: (x/a)² - (x/a) + (1/6) = 0, ce qui donne: x/a = 1/2 - 1/V12, soit 0,2113 environ, qui est validé. Merci pour ce petit divertissement.

Edit: Par contre, la valeur validée 0,2113 est arrondie au dix-millième près (et pas au millième).

Les réponses sont bonnes, je voulais dire au dix-millième près, j'ai corrigé!

C'est ça!

La réponse est juste au fond, mais on sait que x ne peut prendre la valeur d'une seule racine

La réponse a étét totalement trouvée, je poste mon corrigé initial

$$On~a~\widehat{B'OC'}+\widehat{B'AC'}=180^{\circ}~et~A_{B'OC'}=A_{B'AC'}$$
$$B'O \times OC' \times sin\widehat{C'OB'} \times \frac{1}{2}=B'A \times AC' \times sin\widehat{C'AB'} \times \frac{1}{2}$$ $$B'O \times OC'=B'A \times AC'$$ $$OC'^2=x(a-x)$$ $$OH^2+HC'^2=ax-x^2$$
$$(\frac{1}{3}\times\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a}{2}-x)^2=xa-x^2$$ $$\frac{a^2}{12}+3\frac{a^2}{12}-ax+x^2=xa-x^2$$ $$2x^2-2ax+\frac{a^3}{3}=0$$ $$\Delta =b^2-4ac=4a^2-4\times2\times\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}~~\sqrt{\Delta }=\frac{2a}{\sqrt{3}}$$
$$x\leq \frac{a}{2}~ donc~x=\frac{2a-2a\times\frac{1}{\sqrt{3}}}{4}$$ $$x=\frac{a(1-\sqrt{3})}{2}$$ $$\frac{x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\simeq 0,2113$$