Le grand triangle équilatéral a pour aire: S = a².(V3)/4, et les trois triangles autour du petit triangle équilatéral ont chacun pour aire: S/6 = a².(V3)/24 = (a-x).x.(V3)/4, d'où: (x/a)² - (x/a) + (1/6) = 0, ce qui donne: x/a = 1/2 - 1/V12, soit 0,2113 environ, qui est validé. Merci pour ce petit divertissement.

Edit: Par contre, la valeur validée 0,2113 est arrondie au dix-millième près (et pas au millième).

Les réponses sont bonnes, je voulais dire au dix-millième près, j'ai corrigé!

C'est ça!

La réponse est juste au fond, mais on sait que x ne peut prendre la valeur d'une seule racine

La réponse a étét totalement trouvée, je poste mon corrigé initial
[TeX]On~a~\widehat{B'OC'}+\widehat{B'AC'}=180^{\circ}~et~A_{B'OC'}=A_{B'AC'}[/TeX]
[TeX]
B'O \times OC' \times sin\widehat{C'OB'} \times \frac{1}{2}=B'A \times AC' \times sin\widehat{C'AB'} \times \frac{1}{2}[/TeX][TeX]B'O \times OC'=B'A \times AC'[/TeX][TeX]OC'^2=x(a-x)[/TeX][TeX]OH^2+HC'^2=ax-x^2[/TeX]
[TeX]
(\frac{1}{3}\times\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a}{2}-x)^2=xa-x^2[/TeX][TeX]\frac{a^2}{12}+3\frac{a^2}{12}-ax+x^2=xa-x^2[/TeX][TeX]2x^2-2ax+\frac{a^3}{3}=0[/TeX][TeX]\Delta =b^2-4ac=4a^2-4\times2\times\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}~~\sqrt{\Delta }=\frac{2a}{\sqrt{3}}
[/TeX]
[TeX]x\leq \frac{a}{2}~ donc~x=\frac{2a-2a\times\frac{1}{\sqrt{3}}}{4}[/TeX][TeX]x=\frac{a(1-\sqrt{3})}{2}[/TeX][TeX]\frac{x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\simeq 0,2113[/TeX]