D'accord Rivas.
Je trouve le même résultat sans avoir utilisé l'informatique mais sans avoir eu   non plus l'assurance du meilleur possible. Cette solution correspond au premier triangle de base à partir duquel on peut construire celui demandé.

D'accord Gwen. Celui là est le bon, jusqu'à nouvel avis, mais on le trouve sans chercher au hasard....c'est même le premier qui se présente quand on s'y prend bien.

Merci aux participants.

Mon raisonnement:
Il faut au préalable trouver des triangles acutangles sinon les hauteurs seraient projetées à l'extérieur du triangle. Si les cotés entiers sont A<B<C, alors il faut A²+B²>C² ou A²>C²-B².
Le plus petit A est donc 4 (3,4,5 ne donne qu'un triangle rectangle)
Donc le plus petit triangle acutangle à cotés entiers distincts est (4,5,6)
Les angles a,b,c, respectivement opposés aux cotés A,B,C sont tels que dans un triangle quelconque on a cette équation bien utile:
C²=A²+B²-2ABcosc.
et depuis c, les segments A' et B' respectivement sur A et B et tronqués par les hauteurs valent A'=Bcosc et B'=Acosc.
D'où il vient que:
A'=(A²+B²-C²)/2A et B'=(A²+B²-C²)/2B.
Et en changeant d'angle on trouve C':
C'=C²+A²-B²/2C

On peut alors calculer A',B',C': (5/8, 1/2, 9/4)

Maintenant si on multiple (A',B',C') par 8, qui donnera (5, 4, 18), les termes A²,B² et C² seront mutipliés par 8², et en regardant les équations de A',B',C', on voit bien que les résultats seront entiers (A'*8²/8=8A')
(A,B,C)=(32,40,48) a ses hauteurs qui coupent les cotés en valeurs entières (5,4,18).

En poussant un peu, on montre qu'il n'est pas possible qu'un triangle à cotés premiers entre eux puisse donner des segments coupés par les hauteurs en parts entières. Il faudrait donc pour trouver un triangle plus petit un multiplicateur moindre que 8 car (4,5,6) est le min. La recherche informatique entreprise par les participants montre que ça n'existe pas.

(32,40,48) est donc ce plus petit triangle.