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 #1 - 10-08-2011 11:05:08

nodgim
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Traingle de Diophante

Trouver le plus petit triangle (plus petit périmètre) à cotés entiers distincts et dont les 3 hauteurs partagent ces cotés en segments eux mêmes entiers non nuls.

Bon amusement



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 #2 - 10-08-2011 18:05:32

rivas
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Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
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triangle de diopjante

Un triangle de longueur de côtés 32, 40 et 48 semble convenir.
Son périmètre est de 120.

Les hauteurs coupent les côtés en segments comme suit:
32: 27+5
40: 36+4
48: 18+30

Geogebra confirme que ce rectangle remplit bien les conditions. Je pense que c'est le plus petit.
Je n'ai pas trouvé d'autre manière qu'un petit programme.

Merci pour l'énigme.

 #3 - 10-08-2011 19:15:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

triangle de diophanre

D'accord Rivas.
Je trouve le même résultat sans avoir utilisé l'informatique mais sans avoir eu   non plus l'assurance du meilleur possible. Cette solution correspond au premier triangle de base à partir duquel on peut construire celui demandé.

 #4 - 11-08-2011 17:13:32

gwen27
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Triangel de Diophante

Après beaucoup de tatonnements, je trouve ça; sans preuve que ce soit le plus petit...

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-trianglequedescarres.jpg

 #5 - 12-08-2011 08:10:10

nodgim
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Enigmes résolues : 0
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truangle de diophante

D'accord Gwen. Celui là est le bon, jusqu'à nouvel avis, mais on le trouve sans chercher au hasard....c'est même le premier qui se présente quand on s'y prend bien.

 #6 - 12-08-2011 11:20:21

gwen27
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Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Triangle de Diophane

Je n'ai pas vraiment cherché au hasard... J'ai surtout tatonné pour trouver une équation que puisse résoudre Wolfram alpha. big_smile

solve
a+b=??
(a+b)^2-f^2=(c+d)^2-e^2
(e+f)^2-a^2=(c+d)^2-b^2
(a+b)^2-c^2=(e+f)^2-d^2
over the integer

La première solution valide autre qu'un triangle isocèle ou équilatéral est obtenue pour a+b=32

Par acquis de conscience, je viens de poursuivre jusqu'à 40 : pas d'autre solution.
Or 41+42+43 > 32+40+48 . C'est donc bien le plus petit.

 #7 - 13-08-2011 13:24:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
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rTiangle de Diophante

Merci aux participants.

Mon raisonnement:
Il faut au préalable trouver des triangles acutangles sinon les hauteurs seraient projetées à l'extérieur du triangle. Si les cotés entiers sont A<B<C, alors il faut A²+B²>C² ou A²>C²-B².
Le plus petit A est donc 4 (3,4,5 ne donne qu'un triangle rectangle)
Donc le plus petit triangle acutangle à cotés entiers distincts est (4,5,6)
Les angles a,b,c, respectivement opposés aux cotés A,B,C sont tels que dans un triangle quelconque on a cette équation bien utile:
C²=A²+B²-2ABcosc.
et depuis c, les segments A' et B' respectivement sur A et B et tronqués par les hauteurs valent A'=Bcosc et B'=Acosc.
D'où il vient que:
A'=(A²+B²-C²)/2A et B'=(A²+B²-C²)/2B.
Et en changeant d'angle on trouve C':
C'=C²+A²-B²/2C

On peut alors calculer A',B',C': (5/8, 1/2, 9/4)

Maintenant si on multiple (A',B',C') par 8, qui donnera (5, 4, 18), les termes A²,B² et C² seront mutipliés par 8², et en regardant les équations de A',B',C', on voit bien que les résultats seront entiers (A'*8²/8=8A')
(A,B,C)=(32,40,48) a ses hauteurs qui coupent les cotés en valeurs entières (5,4,18).

En poussant un peu, on montre qu'il n'est pas possible qu'un triangle à cotés premiers entre eux puisse donner des segments coupés par les hauteurs en parts entières. Il faudrait donc pour trouver un triangle plus petit un multiplicateur moindre que 8 car (4,5,6) est le min. La recherche informatique entreprise par les participants montre que ça n'existe pas.

(32,40,48) est donc ce plus petit triangle.

 

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